1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 77
Текст из файла (страница 77)
2). Тогда силы инерции будут представлены двумя составляющимиRx и Rn главного вектора R" и парой с моментом М д. При этом по формулам(89') и (91) модули этих составляющих и момента пары имеют значения:ЯР „Rx = TР /„РС^ Т ~2 ' Rn~ T_ РIСп~ т 2P /sЛ Ч - 'л - е - ^ е .(a)где I — длина стержня; <о и е — его угловая скорость и угловое ускорение.Составляя для этой плоской системы сил уравнения равновесия ZF/,x = 0,2 f * r/= 0 , 2 m,4(F * )= 0 , получим:Х А— Pcos<p + f lS = p , Y а — Р в1пф — /?Я = 0, М А— Я (//2 )с о в ф = 0. (б)Из последнего уравнения, -заменив МА его значением, найдем е:e= (3 g /2 /) cos <р.(в)Для определения величины ш, входящей в выражение /?", можно или проинтегрировать уравнение (в), или воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии.
Избирая второй путь и учтя, что Т0= 0, получим: JАиР1%—■=(Р//2) sin <р или (PPI3g)ai = PI sin <р, откуда<|>*=(3g/t) sin ф.При найденных значениях е и <о* равенства (а) дают:R" = (ЗР/4) cos <р,ЛЯ = (ЗР/2)81пф.Подставив эти величины в первые два из уравнений (б), найдем искомые реакции:Х а =>0,25Р cos ф,К,» = 2,5Р sin ф.В начальный момент времени (ф = 0 ) X ,4=0,25Р , Y а —0. В мойеит, когда стерженьпроходит через вертикаль (ф=90°), Х д = 0 , Y A=2,5P,Задачаниром А к(рис.
349).под углом160. Однородный стержень А В длиной / и весом Р прикреплен шарвертикальному валу, вращающемуся с угловой скоростьюconstНайти натяжение Т горизонтальной нити, удерживающей стерженьа к валу.351Р е ш е н и е. Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к действующим на стержень внешним силам Я, Т, Х а , Y a силы инерции.
Д ля каждого элемента стержня с массой Дm центробежная сила инерции равна ДтаАс, где х —расстояние элемента от оси вращения Оу. Равнодействующая этих-распределенных по линейному закону параллельных сил (см. § 21 ) проходит через центртяжести треугольника АВЕ, т. е. на'расстоянии h=(2//3) cos а от оси Ах. Таккак эта равнодействующая равна главному вектору сил инерции *, то по формуле (89)R H= тас - т агхс = (P/g) ш* (//2) sin а(здесь х с — координата центра тяжести стержня).Составляя теперь уравнение статики0, получимT l cos а — R 'h —Р (//2) sin а = 0 .Подставляя сюда значения R* и й, найдем окончательноsin a + 0 , 5 t g а ) .Д р у г о е р е ш е н и е . Задачу можно решить, не пользуясь результатами§21, а вычисляя сумму моментов сил инерций относительно центра А непосредственно путем интегрирования. Проведем вдоль стержня АВ ось А \. Для каждого элемента d£ стержня с координатой | сила инерции будет oAtdm. Ее моментотносительно центра Л равен —учРх&т.
Тогда уравнение моментов'даст(В)2/пл (Ft) ва T l cos а — Р (//2) sin a — J а*ху d m = 0 .(а)М>Выражая все величины, стоящие под знаком интеграла, через £, получим:х = \ sin a , .у = | cos a , dm= (m/Qd|.В результате будет(В)l\ <£>*ху dm = (m/Г) со* sin a cos a \ 6* dg = (P/3g) Ло* sin о cos a .(Д )0Подставляя это значение в равенство (а),- находим для Г то же выражение, чтон при предыдущем решении.§ 136*. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕНА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛРассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловойскоростью © вокруг оси, закрепленной в подшипниках А я В(рис.
350). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуг;преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координатыцентра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными.Пусть на тело действуют заданные силы F[, F\, . , ., F*n. Обозначимпроекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуг через R‘x,R I, Rx (Rx=%Fix и т. д.), а их главные моменты относительно тех•Из статики изв<?стно, что доя любой системы сил равнодействующая (еслиона существует) равна главному вектору этих сил._Следовательно, равнодействующая сил инерции, когда она существует, равна Ra, но при непоступательномдвижении эта равнодействующая вообще не проходит через центр масс тела, что иимеет место в данном случае.352же осей — через М ех, М ‘у, М ‘г [Mx= 2 m x (F‘k) и т. д.]; при этом, таккак co=const, то Л1*=ч=0.Для определения динамических реакций Х л , Y A, ZA, Х в , Y Bподшипников, т.
е. реакций, возникающих при вращении тела, присоединим ко всем действующим на тело заданным силш и реакциямсвязей силы инерциивсех частиц тела, приведя их к центру А(см. § 134). Тогда силы инерции будут представлены одной силой,равной R* и приложенной в точке А , и парой сил с моментом, равным 7Лял = 2m A (F$). Проекции этого момента на оси х и у будут:M J|= 2m x(F*), M 5=2m„(F8); здесь опять Л12=0, так как co=const.Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (88)в проекциях на оси Ахуг (или соответствующие им уравнения равновесия из § 30) и полагая АВ=Ь, получимХ А~h+ R'x + R" — 0;Y a + Y B + Ry + Ку = 0;-2 д + Я*+ R" — 0;—Y J + M i + M'^O-, Хд6 + Л1Л-Л1- = 0.Последнее уравнение A lj+ A f;= 0 удовлетворяется тождественно,так как М ег—0 и М \= 0.__Главный вектор сил инерции R ”——тас , где т — масса тела[см.
формулу (89)]. При <o=const центр масс С имеет только нормальное ускорение acn=u>*hc , где Лс -^ расстояние точки С от оси вращения. Следовательно, направление вектора R ■ совпадает с направлением ОС. Вычисляя проекции R" накоординатные оси и учитывая, чтоhccos а = х с , *csin а = у с , где х с н У с — координаты центра масс, найдем:Ry =/?£= /шо*Ас cos а = т(о*хс;sin а = ггш>*ус ; R% = 0.Чтобы определить М*х и Му, рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массойтк, отстоящую от оси на расстоянии Л*.Для нее при <о=const сила инерции тожеимеет только центробежную составляющуюFj==mk<i),AA, проекции которой, как и увектора R H, равны:Fix = mkсо’ **,Щ®г-Ук’Рис.
350= °-Тогда [см. § 28 формулы (47)]:тх (Рк) = — FkU2k = — тк<й'укгк,2 3 - '8 7 0ти (Н ) -= ткш*хкгк.353С оставляя такие выражения для всех точек тела, склады ваяих и вынося общин множитель за скобки, придем к равенствам:М*х - — ( 2 ткукгк) со* — /„ хсо*; М* = ( 2 щ х кгк) ш* = /„ и * , (93)где J xt и J yt — соответствующие центробежные моменты инерции *.
Подставляя все найденны е значения в равенства (92), полу*ЧИМх л + х в = — Rx— mxc и»; Y a + Г в *= — f lj —тусш \ЛУ>= - M J — /„со*;Уравнения (94) и определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осьювращения является ось г.Назовем статическими реакциями те значения реакций, которыедают уравнения (94), если в них положить (о=0. Как видно из уравнений (94), .динамические реакции могут вообще быть значительнобольше статических, причем это зависит не только От значения со,но и от величин х с , Ус, 1*г> J Vt, характеризующих распределениемасс тела по отношению к оси вращения Ог.Однако из уравнений (94) видно, что наличие вращения не будетвлиять на значения реакций подшипников А и В, если* с = о , у с = 0;J хг= 0, J уг~ 0.(95)(96)Равенства (95) и (96) выражают условия того, что динамическиереакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статическим реакциям или> как говорят, условия динамической уравновешен'ности вращающегося тела при его вращении вокруг оси г.Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать наоси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна бытьглавной осью инерции тела для начала координат А .
При одновременном же выполнении условий (95) и (96) ось Аг будет главнойцентральной осью инерции тела (см. § 104). Таким образом, динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равныстатическим, если ось вращения является одной аз главных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, когда тело, вращается неравномерно.Рассмотренная задача Позволяет одновременно уяснить механический смысл величин J xz и J yz, а именно: центробежные моментыинерции J xt и J уг характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси г.Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляетсобой важную техническую задачу, которая, как мы видим, сводится к определению главных центральных осей инерции тела.
В § 104*См. § 104, формулы (10). В равенствах (93) величины l x t , J y t входят в выражения моментов центробежных сил инерций; этим можно объяснить появлениетермина «центробежный момент инерции».354было указано, что любое тело имеет, по крайней мере, три взаимноперпендикулярные главные центральные оси инерции.Докажем другое, практически не менее важное положение:Любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральнойосью инерции прибавлением к телу двух точечных масс. Пусть длятела массой т величины х с , у с, Jxz, J Vz известны и не равны нулю.Прибавим к телу две массы /щ и т 2 в точках с координатами (xi,у и zO и (*,, г/,, z,). Тогда из формул (1) и (10) следует, что если удовлетворить равенствамm x c + m ^ + m t x t ^ 0, m yc + m 1y 1+ m 2y t =0,J *»+m1*1z1+ m t**z,=0, J y z + m t y ^ + m t y t Z ^ O ,(97)то для полученного тела будет х ’с —у'с =J'Xz—J yz = 0 , т. е.
ось zстане* главной центральной осью инерции. Подбирая массы т „т , и их положения так, чтобы удовлетворялись уравнения (97),мы и решим поставленную задачу. Частью величин при этом следует,конечно, задаться наперед. Например, можно задать значения mi,л ь и Zj, zs (но так, чтобы было z ^ z j ) , а х и y lt х %,у г найти из уравнений (97) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
