1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для определения искомого числа оборотов N 0t воспользуемся уравнением (51)Г 1- Г 0 = 2 Л -(а)При вычислении кинетической энергии надо всегда иметь в виду, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел.По условиям задачи 7’1= 0 , а Т0= Т Т д + Гр. Учитывая, что начальные скоростивсех точек ремня V p ^ u i o R ^ a o r , где to0 и г — начальная угловая скорость и радиусшкива В, найдем по формулам (43) и (8):= J /сои/2 = (P^/?5/4g) а>о, Tf) — J— (Pn/^g) / - W = (PB/4g) У?*о>о»T P = Pvlo/28 = p R H / 2 g .Последнее равенство следует из того, что все точки ремня движутся с одной и тойже по модулю скоростью.
Окончательно, так как Я д + Я д = Я , получаемT0= ( P + 2 p ) R W 0Ag.Вычисляем работы сил. В данном случае работа сил тяжести равна нулю,так как центры тяжести колес и ремня при движении системы не перемещаются.Сила трения FTf—fQ. Ее работу найдем по формуле (47')A Tf=-(JQR)-4>l = —fQ R -2 n N o6.Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получим окончательно», .(P + p)R<dNo6~ ‘ T x g f Q ' Задача 141. Тележку тянут вверх по наклонной плоскости е углом наклона а = 3 0 ° , приложив к ней постоянную силу Q =160 Н (рис.
312). Вес платформы тележки Я = 180 Н, вес каждого из четырех ее сплошных колес р— 20 Н.Определить: 1) какую поступательную скоростьбудет иметь тележка, пройдяпуть 1=4 м; если ио= 0 ; 2) с каким ускорением движется тележка. Качение колеспроисходит без скольжения; сопротивлением качению пренебречь.Р е ш е н и е . 1. Для определения vt воспользуемся уравнением (51)T y -T ^ Z A t.(а)В данном случае 7’0= 0 , а 7’1= 7'пл+ 4 7 ’КОд.
Тележка движется поступательно, а кинетическая энергия сплошного катящегося колеса была вычисленав задаче 136 (см. § 121); следовательно,Т , = Pv\l2g + 4 (3pvj/4g) = (Р - f 6p)vl/2g.Работу совершают сила Q и сила тяжести Я ,, равная Я + 4р. Работа силы трения,препятствующей скольжению, и нормальных реакций плоскости равна нулю(см. § 122). Вычисляя, находим:A (Q) = Q4,- А = (Я,) — — (Я + 4p) hc = - (Я + 4р) I sin а .Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем<Я+6рК2/2 £ = [(2 -(Я -Н р )з1 п « 1 1,(б)311откудар1 = j / ~ W l Q - (p + 4P )sin g l ^ 2 8 м/с.2.
Д ля определения ускорения а, поскольку нами уже получено равенство (б), поступим следующим образом: будем считать в равенстве (б) величиныо и I (параметр, определяющий положение всей системы) переменными. Тогда,продифференцировав по времени обе части равенства, найдем[(Р + 6p ) / g l » - g ^ = l Q — (Я + 4р) sin a ] - j j .Н о d l/dt= v, a dw/dt= a. Окончательно, сокращая на v, получимQ — (Р - f Щ sin а ■ п.°— Р + ' б р ------- £ = °.98 м/с*.Обращаем внимание на использованный в этой задаче прием определенияускорения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.Задача 142.
На цилиндрический каток радиусом R и массой М намотананить, перекинутая через блок О (рис. 313) и несущая на конце груз D массой т.Определить, какую скорость г с будет иметь центр С катка, пройдя путь s, еслиос 0= 0 .. Найти, чему равно ускорение ор этого центра. Коэффициент трения качения катка равен *, радиус инерции катка относительно его оси равен рс .
Массойнети и блока О пренебречь.Р е ш е н и е . 1. Д ля определения скорости i'c воспользуемся уравнениемT - T t = X A ‘k .(а)В данном случае 7’в= 0 , а Г = 7 ,К1Т+ 7 д , причем по формулам (42), (44) и (4)TD = mv})/2,T Ktr = Mvb/2-\- Mpba>*/2.Так как точка В является мгновенным центром скоростей, то (o=vc/R и vD=**=vx=2vc . Следовательно,Т = [4m + М ( I - f р?:/Я •)] vb/2.Работу совершают сила Q=mg и пара N, Р (P= M g ).
Поскольку »д=2Ор,то перемещением. груза D будет h=2s, где s — перемещение центра С катка, иA (Q)=mg-2s. Работу сил сопротивления качению вычисляем по формуле (48'),так как N —P = M g = const. Тогда2 A i = 2mgs— (k/R) Mgs.Подставляя найденные значения в уравнение (а), получим[4 m + A f ( 1 + p i/* » ) ] vb/2 = (2m - kM /R) gs,откуда2 g (2m/? - кМ) Rs4 m R * + M (R * + p t)’312(б)2. Д ля определения ас , как и в предыдущей задаче, дифференцируем обечасти равенства (б) по t. Окончательно, учитывая, что d s/d /= t'c , найдем(2mR - кМ) Rgас = 4тЯ2+М(/?2 + р*.) *Задача 143. Шестерня 1 радиусом г и массой тх, насаженная на кривошип 2длиной 0 С = / и массой т 2 и связанная с ним спиральной пружиной, может кататься по неподвижной шестерне 3 радиусом R == 1—г (рис.
314). Момент, действующий со стороны пружины, Мпр- с а , где а — угол повороташестерни / относительно кривошипа. Пренебрегая трением в осях, найти период колебаний, которые будет совершать кривошип, если его вывести из положения равновесия. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.Р е ш е н и е . Будем определять положениекривошипа углом <р, отсчитываемым от положения равновесия.
Чтобы исключить неизвестнуюреакцию оси С, рассмотрим шестерню / и кривошип как одну систему и составим дифференциальное уравнение ее движения с помощьюуравнения (49).Сначала вычисляем кинетическую энергиюТ системы, выражая ее через угловую скорость<i>Kp кривошипа (так как мы ищем закон движения кривошипа). ПолучаемТ — Тър-\-Тш — J OKp^Jp/S-f-mxvcl2-y J сш шш/2 .(а)Считая кривошип однородным стержнем, а шестерню — диском и учитывая,что точка касания является для шестерни / мгновенным центром скоростей,найдем, чтоJ,OkP = « j* , /3, J Ciu = mirt/2,^с = “ крЛ шш= г с//-=<окр//л.Подчеркиваем, что в формулу (44), по которой вычисляется Тш, входит абсолютная угловая скорость шестерни, а не ее относительная скорость поворотапо отношению к кривошипу.
Подставляя все найденные значения в равенство (а),получим окончательноT = (9ml + 2mt) /*coJp/l2 .(б)Теперь вычисляем элементарную работу. Внешние силы в данном случаеработу не производят; следовательно, сМ *=0. Элементарная работа силы упругости пружины (внутренняя сила), когда шестерня повернута вокруг кривошипана угол ос, равна d ^ = —Afnpd a = —cada (знак минус потому, что момент направлен в сторону, противоположную углу поворота шестерни). Поскольку мы ищемзакон движения кривошипа, то выразим угол а через <р. Так как a j)= a xb, тоR if= га или (V—г)<р=«х, откудаа = [ ( / —г)/г]ф и ЛА‘ = —с [(/—г)*/г*] ф dq).Составляя теперь уравнение d T = d A ‘, получим[(9/Л! + 2 ота) /*/6 ] Q)Kp'do)Kp = —с [(/ — г)Чгг\ ф d 9 .Но так какdcoк рd ^..d ф— ^ d t —ci)Kp dt, a dcoMp— •dT~*d7r’то окончательно, после сокращения на d /t найдем следующее дифференциальноеуравнение движения системы:*£.+*N>=0,гдеА *=6 с (/-!■ )*(9mj -j- 2m*) rtlПолученное уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний (см.
§ 94). Следовательно, кривошип, выведенный из положенияравновесия, будет совершать гармонические колебания, пернод которых_2я~k=lr9mt + 2m ,~ r У -----6?---- •Решенная задача показывает, как может использоваться теорема об изменении кинетической энергии для составления дифференциального уравнениядвижения системы, положение которой определяется одной координатой (здесьуглом <р).'Задача 144. Трос, имеющий длину I и массу т , , намотанный на барабанмассой т » несет на конце груз массой т , (см. рнс. 300).
Считая массу барабан»равномерно распределенной по ободу и пренебрегая толщиной троса и трениемв оси (AfTр = 0 ), определить зависимость скорости о груза от длины х свешивающейся частя троса. В начальный мОмент времени 0 = 0 и приближенно х = 0 .Р е ш е н и е .
Д л я определения искомой зависимости воспользуемся ’ уравнениемАТ = 2 (М*.(а)Поскольку груз, все частицы троса и все точки обода барабана движутсяс одной и той же скоростью о, то T —Mt?l2, где М —Ш у+ щ + щ . Кроме того, таккак вес свешивающейся части троса равен (mig/l)x, то(m1gx/H~ff*ag)d*■ уравнение (а) примет видМА (и*/2)= (m i*// + ma)gdx.Отсюда, интегрируя и учитывая что при х —0 v= 0, получимi» = У (mig/MI) jc * + 2 (mtg/M) х.| 126*.
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИВ ряде случаев получить решение задачи с помощью одной изобщих теорем не удается, но решение легко находится, если использовать одновременно, например, две общие теоремы. Несколько таких задач и рассматривается ниже.Задача 14S. Горизонтальная трубка А В , масса которой щ и радиус инерции ржотносительно вертикальной оси А г известны, вращается вокруг этой осис угловой скоростью щ (рис. 315). В некоторый момент времени находящийся втрубке шарик массой щ , чуть смещенныйот точки А , начинает двигаться без начальной скорости вдоль трубки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
