1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешнихсил, действующих на систему, равна нулю2 т 0(Л*) = 0.Тогда из уравнения (35) следует, что при этом /С0= const. Такимобразом, если сумма моментов относительно данного центра всехприложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный моментколичеств движения системы относительно этого центра будетчисленно и по направлению постоянен. Приложение этого результа­та к случаю движения планеты было рассмотрено в § 86.2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, чтосумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Огравна нулюIm t (FD = 0.Тогда из уравнений (36) следует, что при этом /C2=const.

Такимобразом, если сумма моментов всех действующих на систему внешнихсил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный моментколичеств движения системы относительно этой оси будет величи­ной постоянной.Эти результаты выражают собой закон сохранения главного мо­мента количеств движения системы. Из них следует, что внутренниесилы изменить главный момент количеств движения системы'немогут.Случайвращающейсясистемы.Рассмотримсистему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей черезцентр масс) оси г.

Тогда по формуле (32) K z= J zm . Е сл и в этом слу­чае hmz(F ek)= 0, то/ гю=const.Отсюда приходим к следукйцим выводам:а) если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то J z~=const и, следовательно, co=const, т. е. твердое тело, закрепленноена оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью;б) если система изменяема, то под действием внутренних (иливнешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вы­зывает увеличение J t, или приближаться к оси, что приведет куменьшению J z.

Но поскольку y zto=const, то при увеличении мо294мента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, апри уменьшении момента инерции — увеличиваться. Таким обра­зом, действием внутренних сил можно изменить угловую скоростьсистемы, так как постоянство К г не означает вообще постоянства <о.Рассмотрим некоторые примеры.а) О п ы т ы с п л а т ф о р м о й Ж у к о в с к о г о . Для демонстрациизакона сохранения момента количеств движения удобно пользоваться простымприбором, называемым «платформой Жуковского».

Это круглая горизонтальнаяплатформа на шариковых опорных подшипниках, которая может с малым тре­нием вращаться вокруг вертикальной оси г. Для человека, стоящего па такойплатформе, 2mt (F%)—0 и, следовательно, J zio=.const. Если человек, разведяруки в стороны, сообщит себе .толчком вращение вокруг вертикальной оси, а за­тем опустит руки, то величина J г уменьшается и, следовательно, угловая ско­рость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости широкопользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т.

п.Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (K t =0), может повергуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противопо­ложном направлении. Угловая скорость человека при этом будет такой, чтобыв сумме величина K t системы осталась равйой нулю.б) Р а с к а ч и в а н и ек а ч е л е й . Давлением ног (сила внутренняя)человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следую­щим образом. Когда качели находятся в левом верхнем положении А9, человекприседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется.

Тогдамассы приближаются к оси вращения г, величина У, уменьшается и угловая ско­рость о скачком возрастает. Это увеличение ш приводит в конечном счете к тому,что качели поднимутся выше начального уровня Аа. В правом верхнем поло­жении, когда ш=0, человек опять приседает 11 J z увеличивается, но о» остаетсяравной нулю; при прохождении через вертикаль он снопа выпрямляется и т. д.В результате размахи качелей будут возрастать.Происходящие при этом вынужденные колебания качелей называются пара­метрическими, так как они совершаются не под действием периодически меняю­щейся силы (см. § 96), а вследствие периодического изменения параметров систе­мы: ее момента инерции и положения центра тяжести.в) Р е а к т и в н ы й м о м е н т в и н т а .

Если рассматривать корпус вер­толета (вместе с двигателем), его винт и отбрасываемую массу воздуха.кыЦоднусистему, то силы взаимодействия между двигателем и винтом и между винтоми воздушной средой будут для этой системы внутренними и не могут изменитьее суммарный момент количеств движения, равный до пуска двигателя нулю.Поэтому корпус вертолета должен начать вращаться в сторону, противополож­ную направлению вращения винта и воздушной среды. Действующий при этомна вертолет вращающий момент называют реактивным моментом. Чтобы предот­вратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовойчасти устанавливают соответствующий рулевой винт.

У многовинтового вертолетавинты делают вращающимися в разные стороны.Появление реактивного момента можно использовать для эксперименталь­ного определения вращающего момента авиационного двигателя, так как этимоменты равны друг другу по модулю, а реактивный момент можно измерить,установив двигатель с вращающимся винтом на соответствующих весах.§ 118. РЕШ ЕН И Е ЗАДАЧТеоремой моментов пользуются для изучения вращательногодвижения тел (см. § 128, 131, 132).Закон сохранения момента количеств движения позволяет повеличине или по скорости перемещения одной части системы опре­делить изменение угловой скорости (или угол поворота) другой еечасти. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвест­295ные внутренние силы, а также внешние силы, пересекающие осьвращения или ей параллельные.Задача ISO.

Д г а диска насажены на сбщий вал (рис. 297). В некоторыймомент времени вал слегка закручивают и предоставляют самому себе. Пренебре­гая массой вала, определить зависимость между угловыми скорбстями и угламиповоротов дисков при их крутильных колебаниях,если моменты инерции дискови / 2 относительнооси х известны.Р е ш е н и е .

Чтобы исключить неизвестные си­лы упругости, вызывающие колебания дисков, рассмот­рим оба диска и вал как одну систему. ДействующиеРис. 297на ЭТУ систему внешние силы (реакции подшипников исила тяжести) пересекают ось х; поэтому Zmx(/ *)= Ои /f*=const. Но так как в начальный момент времениК х= 0 , то и во все время колебаний должно быть /Сх=/хШ14 -У,юг= 0 (кинети­ческий момент системы относительно оси х равен сумме кинетических моментовкаждого из дисков относительно той же оси). Отсюда<0j =—и ф1~ —^2ф2/А>где ф] и ф2 — углы закручивания дисков, отсчитываемые от начального положе­ния (последний результат получается интегрированием первого равенства).Таким образом, колебания будут происходить в противоположные стороны,а угловые амплитуды колебаний будут обратно пропорциональны моментаминерций дисков. Неподвижное сечение будет ближе к диску, момент инерции ко­торого больше.Задача 181.

У вертолета с двумя соосными винтами, вращающимися.в раз­ные стороны, один винт в полете внезапно останавливается, а другой продол­жает вращаться вокруг вертикальной оси г с угловой скоростью d>j.-Момент инер­ции относительно оси г вращающегося винта равен J u а вертолета вместе с оста­новившимся винтом —Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить,с какой угловой скоростью <о2 станет вращаться вертолет.Р е ш е н и е . Силы взаимодействия между двигателем и валом винта не­известны, но они станут внутренними, если рассмотреть в качестве механическойсистемы вертолет вместе с винтами.

Остановку винта вызвали тоже внутреннийсилы, которые не могут изменить кинетический момент К г системы, равный доэтого (когда оба винта вращались в разные стороны) нулю. Следовательно, и послеостановки винта должно быть /С2=У 1(й),+ш2)+ У 2ыа= 0 , где /JW j+ W j) — ки­нетический момент вращающегося винта (винт, вращаясь еще и вместе с верто­летом, будет иметь абсолютную угловую скорость e>ae= tOj-f-о 2), а Л<о2— ки­нетический момент вертолета вместе с остановившимся винтом. В результатемаходимш2=—/^/(Л+Л)Знак указывает, что направление ш2 противоположно со,.При решении задач необходимо обращать внимание на то, что в исходные,выражения величины К г (или К о ) входят абсолютные скорости точек и тел сис­темы.Задаче 132.

В регулятйре А В , имеющем вертикальную ось вращения Ог(величина У* регулятора известна), помещены два симметрично расположенныхгруза массой т каждый, прикрепленных к пружинам (рис. 298). Когда грузы на­ходятся в точках С, отстоящих от оси Ог на расстояниях I, регулятор вращаетсяс заданной угловой скоростью о)0. В некоторый момент времени угловая скоростьизменяется н грузы начинают совершать около центров С одинаковые затухающиеколебания. Пренебрегая трением в оси, найти, как будет изменяться угловая ско­рость ш регулятора в зависимости, от положений грузов, считая их материаль­ными .точками.Р е ш е н и е .

Чтобы исключить неизвестные нам силы упругости пружини силы трения грузов о направляющие, рассмотрим регулятор и грузы как однусистему. Тогда, поскольку силы тяжести параллельны оси Ог, а реакции подшип­ников пёресекают эту ось,-2 т х(/г* )= 0 и должно быть K r= K z er+ 2K P>=const2S6Найдем сначала КгР- Скорость груза и=иот+ упер и К гР=етг(ти0Т)+-\-m,(mv„ер). Но вектор v0T направлен по оси Сх, пересекающей ось Ог; следо­вательно, т г(тиот)—0. Скорость t^,ep перпендикулярна плоскости х,г, а еемодуль tinep=b)(Z-(-Jc).

Характеристики

Список файлов книги