1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 19
Текст из файла (страница 19)
когда по сути: J1O∗ 2∗ = J1O∗ 3∗ = 0.Значит чтобы координатная ось Oξα , проходящая через точку O, былаглавной осью инерции тела для этого центра, необходимо и достаточнообращение в нуль центробежных моментов инерции содержащих индекс этойOOоси Jαβ= Jαγ= 0.Если проводить анализ главных осей инерции с точки зрения геометрии тела(или системы точек), т.е. производить определение осей, обладающихсвойством главных осей (у которой соответствующие центробежные моментыинерции - ноль), то можно указать некоторые важные, частные, случаи:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.19 / 20• Если у системы есть ось материальной симметрии, то она является главной осьюинерции для всех точек на оси. Например, для оси Oξ1 : µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = µ(ξ1 ,−ξ2 ,−ξ3 )OJ12=ZZZξ1 ξ2 µ dV =(V )ξ1 ξ2 µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dV +(V∗ )ξ1 (−ξ2 )µ(ξ1 , −ξ2 , −ξ3 ) dV = 0(V∗ )где V∗ – объём одной из двух равных частей объёма V тела, на которые оноOделится плоскостью Oξ1 ξ2 . Аналогично для J13разделяя V плоскостью Oξ1 ξ3 (илилюбой другой плоскостью, содержащей ось симметрии Oξ1 ).• Если у системы есть плоскость материальной симметрии, толюбая прямая, перпендикулярная этой плоскости материальной симметрии,является главной осью инерции системы для точки, в которой эта прямаяпересекает плоскость симметрии.
Например плоскость Oξ1 ξ2 : для плотностиматериала имеем: µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = µ(ξ1 , ξ2 , −ξ3 )OJ13=ZZξ1 ξ3 µ dV =(V )Zξ1 ξ3 µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dV +(V0)ξ1 (−ξ3 )µ(ξ1 , ξ2 , −ξ3 ) dV = 0(V0)где (V 0 ) – объём одной половинки тела, на которые оно делится плоскостью Oξ1 ξ2 .OАналогично для J23.• Для однородного тела вращения – ось вращения и любые две перпендикулярныеей взаимно-перпендикулярные оси образуют систему главных осей инерции.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.20 / 20ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 13ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.1 / 18В основе всех выражений основных динамических величин длятвёрдого тела, характеризующих или описывающих движение тела,лежит формула распределения скоростей точек твёрдого тела, котораякак раз и содержит необходимую информацию о специфике иособенности рассматриваемого объекта – твёрдое тело:v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄где v̄ O – скорость фиксированной точки тела (полюса O), ω̄ – угловая−−→скорость тела, ρ̄ – радиус-вектор точки тела: ρ̄ = OM – записанный внеподвижной системе координат.
Эта формула представленакомпонентами, т.е. разложением по координатам – в неподвижной(абсолютной) системе координат (Oa xα ) или, что то же самое, в осях,поступательно перемещающихся с телом – кёниговых осях (Cxα ).В дальнейшем, для удобства и простоты, в качестве полюса мы будембрать точку тела, совпадающую с положением центра масс C тела –потому что положение центра масс тела не изменяется относительноточек тела, так как взаимные расстояния между любыми точками телавсегда постоянные.
Т.е. центр масс твёрдого тела – можноотождествить с фиксированной «точкой тела» – полюс O.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.2 / 18Теорема о распределении скоростей в твёрдом теле приобретёт вид:v̄ = v̄ C + ω̄ × ρ̄−−→где ρ̄ = CM – радиус-вектор точки тела M относительно центра масс C.Отметим, что данная формула может быть представлена компонентами(координатами) и в сопутствующей, т.е. подвижной системе координатCξα , жёстко связанной с телом.
Для этого достаточно вспомнитьформулу перехода (представления произвольного вектора) изподвижной системы координат Cξα (ec) к неподвижной Oa xα или, чтото же самое – к кёнинговой системе координат Cxα (c̄):x3x3c̄ = Aecи учесть свойство для векторного произведенияпри ортогональном преобразовании A (A−1 = A∗ ):e)ω̄ × ρ̄ = Aeω × Aeρ = A(eω×ρx3x2COax2x1 x1x1x2Т.е. либо вектора сначала повернуть (Aeω , Aeρ), а потом их умножить,e), а потом повернуть A(ee).либо сначала их умножить (eω×ρω×ρБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.3 / 18Поэтому в сопутствующей системе координат вид формулыраспределения скоростей в твёрдом теле – не изменится:e=veC + ωe ×ρeveC 6= 0, хотя иОбратим внимание, что вектор скорости центра масс vпредставлен компонентами в сопутствующей, «вмороженной» в тело,системе координат Cξα .
Потому что изначально v̄ C – это скоростьцентра масс относительно точки Oa , т.е. относительно абсолютнойeC = A−1 v̄ C – выражение этого вектора всистемы координат Oa xα , а vсопутствующих осях (но v̄ Cr = 0, где v̄ Cr – относительная скорость C).e = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = const, т.к. рассматривается точка тела.Причём здесь ρСлагаемые формулы распределения скоростей в твёрдом теленаглядно демонстрируют принятую схему разложения любого общегодвижения тела на 2 составляющих движения:• поступательное движение тела со скоростью центра масс (полюса);• вращательное (сферическое) движение вокруг центра масс (каквокруг неподвижной точки) с мгновенной угловой скоростью ω̄.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.4 / 18Количество движения телаПредставляя твёрдое тело разделённым на большое число N частей, каждаяν-ая часть которого имеет ∆mν – массу, ∆Vν – объём, ρ̄ν – радиус-вектор,v̄ ν – абсолютную скорость, а затем совершая традиционный предельныйпереход при N → ∞, ∆Vν → 0 получим:Q̄ =NXZmν v̄ ν →ν=1Zv̄ dm =(M )v̄µ dV−(V )количестводвижениятелагде v̄ – скорости точек тела.
С учётом формулы распределения скоростей втвёрдом теле v̄ = v̄ C + ω̄ × ρ̄, получим другое выражение количествадвижения тела:ZZQ̄ = M v̄ Cт.к.ω̄ × ρ̄ dm = ω̄ ×(M )ρ̄ dm = ω̄ × M ρ̄C = 0(M )Однако эта величина не содержит в себе вращения тела, и описывает лишьпоступательное движение тела как одной материальной точки массой телаM со скоростью центра масс v̄ C . Для определения динамической величины,характеризующей вращательное движение тела, рассмотрим для началапростейший случай – сферического движения, т.е.
найдём для твёрдого тела:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.5 / 18Кинетический момент твёрдого тела, движущегосявокруг неподвижной точкиПримем неподвижную точку O тела за полюс и началосистемы координат Oξα – оси которой неподвижныx3относительно тела. В этой системе координат−−→x2e = OP = const.радиус-вектор точки P тела: ρe на оси Oξα (т.е. его координаты):Проекции ρOae = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).ρx2x1x1Проекции на эти же оси мгновенной угловой скоростиe = (ω1 , ω2 , ω3 ).ωВычислим абсолютный кинетический момент тела относительно точки O.Представим его в виде разложения по осям сопутствующей системы Oξα :e O = (LO1 , LO2 , LO3 ).Le O = A−1 L̄O = A∗ L̄O , где L̄O – абсолютный кинетический момент тела(т.е. Lотносительно точки O, координатно представлен в неподвижных осях Oxα ).e=ωe ×ρe в этихУчитывая выражения для скоростей точек тела vжеZX¡¢сопутствующих осях Oξα , получим L̄O =ρ̄ν × mν v̄ ν →ρ̄ × v̄ dm :x3νБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13(M )Новосибирск, 2017 г.6 / 18ZZeO =LZe×ve dm =ρ(M )Z=(M )e × (ωe ×ρe) dm =ρ(M )e) − ρe (ee )]dm =[eω (eρρρω(M ) 33ω1ξ1LO1XX ω2 ξα2 − ξ2 ξα ωα = LO2 α=1α=1ω3ξ3LO3=⇒Отсюда получим выражение для компонент абсолютного кинетического#момента:Z " X33X2ωβLOβ =ξα − ξβξα ωα dm (β = 1, 2, 3)(M )α=1α=1сокращая одинаковые слагаемые при α = β получим:ZZZ¡ 2¢2LOβ =ωβ ξβ+1+ ξβ+2dm −ξβ ξβ+1 ωβ+1 dm −ξβ ξβ+2 ωβ+2 dm(M )(M )(M )учитывая независимость ωα от точек тела (угловая скорость – этоуниверсальная характеристика для всего тела) имеем:ZZZ¢¡ 22dm − ωβ+1ξβ ξβ+1 dm − ωβ+2ξβ ξβ+2 dmLOβ = ωβξβ+1 + ξβ+2(M )Батяев Е.
А. (НГУ)(M )ЛЕКЦИЯ 13(M )Новосибирск, 2017 г.7 / 18из выражения осевых и центробежных моментов инерции тела для точки Oотносительно осей Oξα имеем:OOLOβ = ωβ JβO − ωβ+1 Jβ,β+1− ωβ+2 Jβ,β+2(β = 1, 2, 3−ограничен по модулю 3)Формулы можно записать более компактно – используя оператор инерциитела JO для точки O (постоянный в сопутствующей системе координат):e O = JO ωeL−кинетический момент телапри вращении вокруг неподвижной точкиВ частном случае – когда оси Oξα представляют собой главные оси инерциитела Oξα∗ для точки O, имеем что матрица JO – диагональная, т.е.
всецентробежные моменты инерции равны нулю, а её диагональные элементыявляются главные осевые моменты инерции тела для точки O:LOβ ∗ = JβO∗ ωβ∗Если твёрдое тело вращается только вокруг неподвижной оси, например,вокруг оси Oξ3 (т.е. выберем так, что Oξ3 = Ox3 ), тогдаOOω1 = ω2 = 0=⇒LO1 = −J13ω3 , LO2 = −J23ω3 , LO3 = J3O ω3Видно, что при вращении тела вокруг неподвижной оси – направленияоси вращения и кинетического момента тела, вообще говоря – различны.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.8 / 18Теперь удобно определить относительный кинетический момент твёрдоготела относительно центра масс, т.е. в относительном движении тела поотношению к центру масс в кёниговых осях – вращении вокруг центра масс.Переходя от системы точек к телу (после разбиения тела на бесконечноеколичество частей бесконечно малых размеров) абсолютный кинетическиймомент тела по отношению к центру масс C принимает вид:ZNXL̄C =ρ̄ν × mν v̄ ν → L̄C =ρ̄ × v̄ dmν=1(M )Причём, мы выяснили, что он совпадает с относительным кинетическиммоментом тела относительноZ центра масс C:L̄Cr =ρ̄ × v̄ r dm=L̄C(M )где v̄ r – скорости точек тела в кёниговой системе координат с началом вцентре масс и поступательно с ним перемещающейся.
Для тела v̄ r = ω̄ × ρ̄.В сопутствующей системе координат Cξα с началом в центре масс, как ужеer = ωe ×ρe, тогдаZговорилось, ve Cr =eCe × (ee) dm = LLρω×ρ(M )и получим уже знакомое выражение:Батяев Е. А. (НГУ)e Cr = JC ωeCe =LLЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.9 / 18Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегосявокруг неподвижной точкиZПолучим выражение для кинетической энергии тела:1NT=v 2 dmX ∆mν v 2 N →∞, ∆Vν →02ν−−−−−−−−−−→Для системы точек: T =(M )2ν=1e=ωe ×ρe, a v 2 = ve·ve = (ee) · (ωe ×ρe) = ωe · (ee ×ρe))Так как vω×ρρ × (ωZимеем:11 ee·e × (ωe ×ρe)dm = ωe LOρT = ω22(M )кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точкиT =1e1e = L̄O ω̄LO ω22Напомним здесь, что скалярные произведения векторов представленныхкомпонентами в абсолютной или сопутствующей осях – совпадают.e O – есть выражение через оператор инерции: Le O = JO ωeКроме того, для L=⇒Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
