1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 21
Текст из файла (страница 21)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.7 / 20Тогда i-ая компонента этого векторного уравнения имеет вид (i = 1, 2, 3):333XXXC dωjCCi:Iij+ ωi+1 ·Ii+2,jωj − ωi+2 ·Ii+1,jωj = MCidtj=1j=1j=1=⇒3X¡ C¢CCIij ω̇j + Ii+2,jωj ωi+1 − Ii+1,jωj ωi+2 = MCij=1=⇒3X¡ C£ C¤ ¢CIij ω̇j + Ii+2,jωi+1 − Ii+1,jωi+2 ωj = MCi(2)j=1Если оси Cξα являются главными центральными осями инерции тела —для которых центробежные моменты инерции равны нулю, т.е. всенедиагональные элементы оператора инерции, у которых разноимённыеиндексы – тогда из (2) легко получить новое выражение теоремы обизменении относительного кинетического момента тела относительно C:¡ C¢C− Ji+1ωi+1 ωi+2 = MCJiC ω̇i + Ji+2(i = 1, 2, 3)iназываются — динамические уравнения Эйлера (для центра масс).Здесь JiC = IiiC – главные осевые моменты инерции тела относительноглавных центральных осей инерции сопутствующей системы координат Cξα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.8 / 20Отметим, что в общем случае главный вектор сил F̄ и главныймомент сил относительно центра масс M̄C являются функциямивремени t, координат r̄ и скоростей v̄ точек их приложения:F̄ = F̄ (t, r̄, v̄),M̄C = M̄C (t, r̄, v̄)Однако,r̄ = r̄ C (t) + ρ̄(t) = r̄ C (t) + A(t)eρ,v̄ = v̄ C (t) + ω̄(t) × ρ̄(t) = r̄˙ C (t) +ȦA−1 ρ̄ = r̄˙ C (t) +Ȧ(t)eρe = const – радиус-векторы точек приложенния сил вгде ρсопутствующих осях считаются заданными, а ортогональная матрицаповорота A является функцией эйлеровых углов:A(t) = A(ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t)),поэтомуr̄ = r̄(xCα , ϕα ),v̄ = v̄(ẋCα , ϕα , ϕ̇α )©ªCСледовательно F̄ и M̄C будут функциями от t, xCα , ϕα , ẋα , ϕ̇α .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.9 / 20Дифференциальные уравнения движения телаВ динамических уравнениях Эйлера стоят выражения ωi и чтобы получиласьзамкнутая система к (1)-(2) необходимо добавить или просто выразить ωiчерез углы Эйлера ϕα и их производные ϕ̇α с помощью кинематическихуравнений Эйлера: ω1 = ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ̇2 cos ϕ3ω2 = ϕ̇1 sin ϕ2 cos ϕ3 − ϕ̇2 sin ϕ3(3)ω3 = ϕ̇1 cos ϕ2 + ϕ̇3Полученная система дифференциальных уравнений (1)-(2)-(3)M ẍCα = Fα ,(α = 1, 2, 3)3X¡ C£ C¤ ¢CIij ω̇j + Ii+2,jωi+1 − Ii+1,jωi+2 ωj = MCi(1)(i = 1, 2, 3)(2)j=1содержит 9 уравнений для определения 9 функций: xCα , ϕα , ω α .Она определяет математическую модель механической системы (т.е.описывает движение) — «свободное абсолютно твёрдое тело».Уравнения (1)-(2) называются — динамические уравнения движениятвёрдого тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.10 / 20Плоское движение телаx2x2x2x1Пусть все точки тела движутсяпараллельно плоскости Oa x1 x2 .x1Получим дифференциальные уравнения,описывающие это плоское движение тела.j3Cx1OaБез ограничения общностиможно считать, что центр масс движетсяв плоскости Oa x1 x2 поэтому xC3 =0 .Также можно считать, что оси Cξ1 и Cξ2 , связанной с телом системыкоординат Cξα , движутся в плоскости Oa x1 x2 , т.е. ось Cξ3перпендикулярна плоскости движения.Тогда полагая ϕ1 ≡ 0, ϕ2 ≡ 0 из кинематических уравнений Эйлераимеем:ω1 ≡ 0, ω2 ≡ 0, ω3 = ϕ̇3 ,Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.11 / 20Подставляя данные выражения в уравнения (1)-(2) получим:M ẍC1 = F1 ,M ẍC2 = F2 ,0 = F3i=1:C ω̇ − I C ω 2 = MCI13323 31i=2:C ω̇ + I C ω 2 = MCI23313 32i=3:J3C ω̇3 = MC3CУсловия F3 = 0 и i = 1, i = 2 для MC1 , M2 накладываютограничения на геометрию масс тела, внешние силы и частично наначальные условия, при которых плоское движение возможно.Например, в главных центральных осях выражения для i = 1, i = 2Cимеют вид MC1 = 0, M2 = 0. Остальные 3 уравнения:M ẍC1 = F1 ,M ẍC2 = F2 ,J3C ϕ̈3 = MC3дифференциальные уравнения плоского движения телаC– для определения функций xC1 (t), x2 (t), ϕ3 (t).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.12 / 20Следует отметить, что плоское движение тела является случаем такназываемого движения несвободного твёрдого тела, т.е. когда естьограничения на перемещение и скорости тела.Вообще, наличие геометрических связей упрощает движение тела, т.е.оно не может быть произвольного вида, определяемого лишьвнешними активными силами, а имеет некоторый специальныйхарактер.
Это приводит к уменьшению числа независимых параметров,определяющих движение тела – часть из них задаются как известныефункции времени или выражаются через остальные величины.Однако, поскольку динамические уравнения движения пишутся длясвободного тела, в них, наряду с заданными силами, войдут и заранеенеизвестные реакции связей. Получается так называемаясмешанная задача: по части заданных (известных) уравненийдвижения (включающих дифференциальные уравнения и уравнениясвязей) и внешних сил, с помощью дифференциальных уравнений иначальных условий требуется определить остальные уравнениядвижения и силы (реакции).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.13 / 20При решении такой смешанной задачи для несвободного телавместо динамических уравнений (приведенных выше)Md2 r̄ C= F̄ ,dt2dL̄Cr= M̄Cdtиногда удобнее использовать альтернативную систему уравненийдвижения тела – в которой уравнение об изменениикинетического момента относительно центра масс заменяетсяаналогичным уравнением, но относительно какого-тонеподвижного центра O:MБатяев Е. А. (НГУ)d2 r̄ C= F̄ ,dt2dL̄O= M̄OdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.14 / 20Из дифференциальных уравнений движения тела следует, чтодвижение тела зависит не от вида и расположения отдельныхсил, а от суммарных характеристик, приложенных к телу:главного вектора F̄ и главного момента M̄C сил.Тогда понятно, что две системы сил будут оказывать на телоодинаковое воздействие, т.е.
могут быть заменены одна на другуюбез изменения движения тела (такие системы сил называютcя —эквивалентные) — если у них равны главные векторы иглавные моменты сил относительно одного и того же центра.Очевидно верно и обратное: если тело двигается одинаково привоздействии двух разных систем сил, то их главные векторы сили главные моменты сил относительно некоторого одного центрадолжны быть равны. Таким образом для них справедлив:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.15 / 20Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к телуДля того, чтобы две системы сил были эквивалентными, необходимо идостаточно, чтобы они имели одинаковые главные векторы сил иглавные моменты сил относительно некоторого центра.Получим связь между главными моментами одной и той же системысил, вычисленных относительно разных центров:XX³X−−→´−−→ XM̄A =r̄ Ar̄ Br̄ BF̄ νν × F̄ ν =ν + AB × F̄ ν =ν × F̄ ν + AB×ννFrBnBABν=⇒−−→M̄A = M̄B + AB × F̄νPn Итак, при изменении центра (центра приведения)rAn главный момент сил меняется на величину равнуюAмоменту главного вектора сил, приложенногов старом центре, относительно нового центра.Следствие.
Если у двух систем сил одинаковы главный вектор F̄ иглавный момент относительно какого-либо центра M̄A , то главныемоменты этих двух систем сил для другого центра – тоже одинаковы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.16 / 20Покажем свойство, достаточно простое и оченьполезное для понятия эквивалентности системèëû Fñÿèâсил приложенных к телу. Оно вытекает изäåéñòFëèíèÿопределения момента силы относительно точки.PF,При перемещении силы вдоль её линии действия,rP,т.е. при выборе точки приложения силыrOна линии действия силы мы не изменяемни саму силу, ни её момент относительно точки:³−−→´−−→m̄O (F̄ ) = ρ̄ × F̄ = ρ̄0 + P 0 P × F̄ = ρ̄0 × F̄ + P 0 P × F̄ = ρ̄0 × F̄−−→−−→т.к. P 0 P k F̄ - коллинеарны и P 0 P × F̄ = 0.
Таким образом:Свойство сил. Воздействие силы на твёрдое тело не зависит от точкиприложения силы на её линии действия (скользящий вектор).Из критерия эквивалентности систем сил понятно, что если у какой-тосистемы сил главный вектор и главный момент относительно некоторогоцентра – нули: F̄ = 0, M̄A = 0, то добавление или отбрасывание такойсистемы сил не изменит движение твёрдого тела (или механической системыТакие системы сил называются — уравновешенные или эквивалентныенулю.
А выражения для F̄ и M̄A являются необходимым и достаточнымусловием уравновешенности системы сил.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.17 / 20Статика твёрдого телаЕсли же на твёрдое тело изначально и всё время действует толькоуравновешенная система сил, причём в начальный момент времени телопокоилось, то тело будет всё время покоиться (находиться в равновесии).Верно и обратно, для покоящегося тела главный вектор и момент сил – ноль.ТЕОРЕМА.
Для равновесия первоначально покоившегося (v̄ C = 0, ω̄ = 0при t = 0) тела необходимо и достаточно равенство нулю главного вектора иглавного момента сил, приложенных к телу, относительно любого центра O:F̄ = 0,M̄O = 0Доказательство. Докажем теорему для центра масс C (M̄C = 0), аучитывая полученную выше связь между моментами сил−−→M̄O = M̄C + OC × F̄ получим и общую теорему для любого центра O.e ≡ 0, тогдаНеобходимость очевидна: если тело покоится, т.е. v̄ C ≡ 0, ω̄ = ωиз динамических уравнений движения тела следует:F̄ = MБатяев Е. А. (НГУ)dv̄ C≡0dtωf C = JC dee × JC ωe ≡0M+ωdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.18 / 20Достаточность: если выполнены условия на главный вектор и момент силимеем:¯dv̄ C¯M= F̄ = 0⇒v̄ C ≡ const = v̄ C ¯=0dtt=0¯¯e Cre CredLdLe Cr = MfC = 0 ⇒e Cr ¯¯·Le Cr ⇒ Le Cr · dLCr = 0+eω ×L= −eω×L¯dtdtdt¯e21 dL¯Cre Cr = JC ωe ≡ const = JC ωe¯e ≡0⇒=0 ⇒ L= 0 ⇒ JC ω2 dtt=0JC – оператор инерции определяется только геометрией масс тела и всегдапостоянный (в сопутствующих осях), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
