1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.13 / 18Теорема об изменении относительной кинетической энергииТеорема об изменении относительной кинетической энергии Trсистемы, для её движения в неинерциальной системе координат:dTr = δr Ae + δr Ai + δr AJeNTr =1X2mν vνr– кинетическая энергия относительного движения,2 ν=1δr Ae , δr Ai – элементарная работа внешних и внутренних сил, приложенныхρν точек системы:к системе, но на относительных перемещениях deeδr A =NXδr Aeνν=1δr AJe =NXeeJν=NXe e · deFρννiδr A =ν=1NXν=1δr Aiν=NXe i · deFρννν=1· deρν – элементарная работа переносных сил инерции.ν=1Здесь отсутствует работа кориолисовых сил инерции так как она равна нулю:e c = −2mν ωe ×veνrкориолисова сила инерции Jνeνr · dt.перпендикулярна относительному перемещению deρν = vБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.14 / 18Заметим, что векторные теоремы динамики системы (кроме скалярнойтеоремы о кинетической энергии), записанные выше в неинерциальной(подвижной) системе координат, можно представить (покомпонентноразложить) в инерциальной (неподвижной) системе координат,заменив абсолютную производную по времени от относительнойвекторной величины в подвижных осях – на относительнуюпроизводную той же величины, но выраженную в неподвижных осях,edc̄decиспользуя связь= A , где A – матрица поворота от Oξα к Oxα :dtdtdeQ̄reec= F̄ + J̄ + J̄dtQ̄r =NXdeL̄ArJeJ= M̄A + M̄Ae + M̄Acdtmν v̄ νr ,eJ̄ = −ν=1L̄Ar =NXρ̄νA × mν v̄ νr ,mν āeν ,ν=1NXM̄A = −ν=1Батяев Е. А. (НГУ)eNXρ̄νA × mν āeνν=1ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.15 / 18Если неинерциальная система координат перемещается поступательно (не вращается)тогда угловые скорость и ускорение равны нулю: ω̄ = ε̄ = 0, а переносное ускорениеточек: āeν = āO + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν ) равно ускорению āO любой точки Oдвижущейся среды с которой связана подвижная система координат: āeν = āOОтсюда главный вектор переносных сил инерции:eJ̄ = −NXmν āeν = −ν=1NXmν āO = −M āO ,ν=1а главный момент переносных сил инерции:JM̄Ae = −NXρ̄νA × mν āeν = −ν=1NX−→mν ρ̄νA × āO = −M AC × āO ,ν=1−→где AC – радиус-вектор центра масс C, M – масса системы точек.Кроме того, видно, что кориолисовы силы инерции для всех точек системы такжеcравны нулю: J̄ ν = −2mν ω̄ × v̄ νr = 0, а значит и главные вектор и момент системыcJкориолисовых сил инерции зануляются: J̄ = M̄Ac = 0.Более того, при поступательном переносном движения совпадают относительная иeedc̄dc̄dc̄=+ ω̄ × c̄ =и c̄ = ec потому что вабсолютные производные вектора:dtdtdtотсутствии вращения матрица поворота A = const и можно положить A ≡ E –единичная.
Тогда теоремы для неинерциальных систем координат приобретают видdQ̄re= F̄ − M āOdtБатяев Е. А. (НГУ)−→dL̄Are= M̄A − M AC × āOdtЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.16 / 18Если āO = āC , т.е. неинерциальная система координат двигаетсяпоступательно со скоростью и ускорением центра масс механической системы– является кёниговой, тогда относительное количество движения системыNXточек в этой системе координат равно нулю: Q̄r =mν v̄ νr = M v̄ Cr = 0. Аν=1теорема об изменении количества движения системы принимает известныйвид теоремы о движении центра масс: M āC = F̄eКроме того, для кёниговой системы, относительно которой центр масс C−→неподвижен, как и точка A (AC = const) относительно которой вычисляетсякинетический момент системы L̄Ar , с учетом полученной выше формулыдля абсолютного кинетического момента относительно центра A имеем:´ dL̄−→−→dL̄ArdL̄Ar −→dv̄ Cd ³A+M AC × āC =+ AC ×M=L̄Ar + AC × M v̄ C =dtdtdtdtdtТогда теорема об изменении относительного кинетического моментаотносительно неподвижной точки A в неинерциальной системе координат,dL̄Aeявляющейся кёниговой, принимает вид:= M̄A аналогичный как иdtдля абсолютной, инерциальной системы координат.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.17 / 18В кёнинговой системе координат теорема об изменении кинетическойэнергии системы в её движении относительно центра масс также упрощаетсяи принимает вид такой же как и для инерциальной системы координат.δr AJe – слагаемое, обусловленное неинерциальностью системы отсчета:ÃN!NNNXXXXeJeeδr A =J̄ ν dρ̄ν = −mν āν dρ̄ν = −mν āC dρ̄ν = −mν dρ̄ν āCν=1ν=1ν=1ν=1Сумма в скобках равна нулю, т.к. в кёнинговой системе отсчетаXmν ρ̄ν = M ρ̄C = 0 из-за выбора начала системы координат в центре масс,νXследовательно суммаmν dρ̄ν — также ноль. Отсюда окончательно имеемνвыражение для дифференциала кинетической энергии движения системыотносительно центра массdTr = δr Ae + δr Aiт.е. в целом у нее вид такой же как и для инерциальной системы отсчета.Отличие заключается только в том, что элементарная работа внешних ивнутренних сил системы вычисляется на перемещениях точек их приложения(приложения сил к точкам) – по отношению к центру масс (т.е.
как если быцентр масс был неподвижен).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 12ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.1 / 20Материальное тело — является частным видоммеханической системы, у которой точки системы сплошнымнепрерывным образом заполняют некоторую область пространствавсё время движения.Абсолютно твёрдое тело — это такое материальноетело, у которого расстояния между любыми точками остаютсяпостоянными (сохраняются) в любой момент времени.Абсолютно твёрдое тело является моделью реальных тел.Эта модель тем точнее отражает свойства реального тела, чемменьше тело способно деформироваться под действиемприложенных сил.Абсолютно твёрдое тело обладает рядом особенных свойств,которые мы рассмотрим.
Теория движения твёрдого тела будетпостроена как частный случай основной механической теории –системы материальных точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.2 / 20Масса и центр масс твёрдого телаx3DmnDV nrnOax1x2Введённое нами ранее понятие центра масс системыматериальных точек распространим на случай тела.Для этого разобьём тело каким-либо образом набольшое число N частей и через ∆mν и ∆Vν –обозначим массу и объём ν-ой части тела.Если рассмотреть предел отношения массы этойчасти к её объёму при устремлении объёма ∆Vνк нулю, то получим так называемуюплотность тела в данной точке r̄ = r̄ν :dm∆mν=∆Vν →0 ∆VνdVµ = limТ.е. µ = µ(r̄) – скалярная, неотрицательная функция.Обычно плотность считается известной и является функцией координатточки тела. Вообще говоря, её можно задавать и в сопутствующих осях, т.е.µ = µ(ρ̄) или µ = µ(eρ) (ρ̄ = Aeρ).Если µ = const – постоянная, то говорят, что тело – однородное.Иначе тело называют – неоднородное.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.3 / 20Масса и центр масс твёрдого телаМасса тела — называется предел, к которому стремится сумма массего частей, когда число частей N бесконечно увеличивается, а ихразмеры ∆Vν , соответственно, уменьшаются до нуля:M=limNXN →∞ν=1∆Vν → 0Z∆mν−→M=dm(M )Выражая элемент массы dm через плотность µ материала тела иэлемент объёма dV по формуле: dm = µ dV можно выразить массутела в виде интеграла по объёму:ZZZZM=µ dV =µ(r̄) dx1 dx2 dx3(V )(V )В частности для однородного тела: M = µ V .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.4 / 20Масса и центр масс твёрдого телаЦентр масс твёрдого тела — называется предел, к которомустремится центр масс системы его частей, когда число делений телаN растёт до бесконечности, а размеры его частей ∆Vν ,соответственно, уменьшаются до нуляNPr̄ C =limN →∞∆Vν → 0r̄ ν ∆mνν=1NPν=1∆mν1−→ r̄ C =MZ(M )1r̄dm =MZµ r̄dV(V )Замечание. Так как взаимные расстояния между любыми точкамитела всегда сохраняются, как бы тело ни двигалось, то и положениецентра масс тела по отношению к точкам тела никогда не изменится.А значит всегда найдётся такая «точка тела», которая совпадает сположением центра масс тела и движение этой точки будет таким жекак движение центра масс тела.
Таким образом центр масс твёрдоготела – можно отождествить с фиксированной точкой тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.5 / 20Момент инерции системы точек и тела относительно осиМерой инерции системы точек и тела во вращательном движении вокругнекоторой оси является осевой момент инерции.Пусть расстояние точки Pν механической системыl(ν = 1, . . .
, N ) до некоторой оси l равно hνP1(если ось l движется, тогда hν – в некоторыйPx32hnфиксированный момент времени).P3 Т.е. hν – длина перпендикуляра опущенного изPn,mnточки Pν на ось l.Введём величину:x2OJl =x1NXмомент инерции системыmν h2ν − точек относительно оси l(осевой момент инерции)ν=1Для тела, как обычно, необходимо совершить известный предельныйпереход (N → ∞, ∆Vν → 0), в результате которого получим выражение:ZZмомент инерции телаотносительно оси lJl =h2 dm =h2 µdV −(M )(V )(осевой момент инерции)где h = h(r̄) – функция расстояний точек тела до оси l.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.6 / 20Момент инерции системы точек и тела относительно осиТ.к. координаты точек тела можно задавать в разных системах координат,далее мы для удобства будем использовать декартову прямоугольнуюсопутствующую систему координат Oξα (жёстко связанную с телом), началоO которой находится на оси l, тогда h = h(ξ1 , ξ2 , ξ3 ). И будем обозначать:Zмомент инерции тела (системы тел или точек)JlO =h2 µdV −относительно оси l, проходящей через точку O(V )Понятно, что расстояние до любой оси ξα определяется выражением:22h2 = ξα+1+ ξα+2. ТогдаZZZ22JξOα =(ξα+1+ ξα+2) µ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) dξ1 dξ2 dξ3(V )– моменты инерции тела относительно координатных осей Oξα –декартовых прямоугольных (нижний индекс ограничен по модулю 3).Величина ρ – называется радиус инерции тела относительно оси l, еслиJl = M ρ2Батяев Е.
А. (НГУ)где M – масса тела.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.7 / 20Моменты инерции тела относительно параллельных осейОчевидно, что момент инерции относительно оси зависит как от выборанаправления оси, так и от точки через которую она проходит. Оказывается,можно установить зависимость между моментами инерции относительноразных параллельных осей.Теорема Гюйгенса-Штейнера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
