1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 12
Текст из файла (страница 12)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.7 / 14Принцип относительности ГалилеяРассмотрим частный случай, когда подвижная система координат Oξαдвижется поступательно, прямолинейно и равномерно. Тогда легко видеть,что āO = ε̄ = ω̄ = 0 и матрица поворота A = const. Значитe e = −mee c = −2mee+ωe × (ωe ×ρe)) = 0,er = 0,Jae = −m(eaO + eε×ρJω×vосновной закон динамики относительного движения точки принимает вид:µ¶ed2 ρdeρee,m 2 = F t, ρdtdtтакой же как и уравнение абсолютного движения (II Закон Ньютона).Т.е. при данном движении среды, относительное движение будет происходитьпо тем же законам, что и абсолютное.
Следовательно любая подвижнаясистема координат, двигающаяся указанным способом, также будетинерциальной. Значит инерциальных систем отсчёта оказываетсябесчисленное множество и справедлив уже известный намПринцип Галилея: Всякая система отсчёта, движущаяся поступательно,прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы —также будет инерциальной.Во всех инерциальных системах отсчёта динамические уравнения движенияимеют одинаковый вид, и, значит, все такие системы – равноправны.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.8 / 14Относительное равновесие точкиЧастным видом относительного движения является относительный покой приe ≡ const.
Условие его даётся вкотором ρТЕОРЕМА: Для относительного равновесия точки необходимо и достаточно,чтобы точка первоначально покоилась и равнялась нулю равнодействующаяобычных (действительных) сил и переносной силы инерции.Доказательство: Необходимость. Если точка находится в относительном покое:eerdρdve c = −2mωe ≡ const, тогда: ver (t) =er =e ×ver = 0 иρ= 0, a= 0, Jdtdteeуравнения относительного движения дают: F + J e = 0.e +Je e = 0 тогда изer (0) = 0 и FДостаточность. Если точка вначале покоилась v2ed ρe ×ver . Умножаязакона относительного движения точки следует: m 2 = −2mωdt2eedρd ρer =er получим: ver · 2 = 0.
Учитывая, что vотсюдавыражение скалярно на vdtdt2eerd ρ1 ddver · 2 = ver )2 = 0, следовательно (ver )2 ≡ const, а в силуer ·имеем: v=(vdtdt2 dter (t) ≡ 0.начальных условий получаем v¥e +Jee = 0FБатяев Е. А. (НГУ)− уравнения относительного равновесия точкиЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.9 / 14Равновесие точки в окрестности ЗемлиРассмотрим равновесие точки подвешеннойна нити вблизи поверхности Земли.Условие относительного равновесия будетḠ + P̄ = 0RMW FaGJeOгде Ḡ – реакция нити,PP̄ – та сила, которая уравновешивает Ḡ.j yСилу P̄ пружинный динамометр регистрируетýêâàòîðOкак силу тяжести, таким образомнаименование её тяжестью – вполне оправдано.Ω̄ = const – угловая скорость вращения Земли.Направление веса P̄ даёт направление «вертикали» в данной точки земнойповерхности.
Эта вертикаль, вообще говоря, не обязана совпадать снаправлением земного радиуса, если учитывать вращение Земли.Угол ϕ между радиусом и плоскостью экватора называют геоцентрическойширотой места. Угол ψ между вертикалью и плоскостью экватораназывают географической широтой. Из рисунка видно ψ = ϕ + α, где α –угол отклонения радиуса от вертикали.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.10 / 14Появление отклонения и сама величина силы тяжести P̄ являетсяравнодействующей двух сил:1) так называемой гравитационной силы F̄ O , направленной кцентру O Земли и вблизи поверхности Земли численно равнойmḡ 0 = F̄ O(ḡ 0 - ускорение свободного падения, g0 = 9.81 м/с2 );2) переносной силы инерции−−→−−→J̄ e = −m(āO + ε̄ × OM + Ω̄ × (Ω̄ × OM )) = mΩ2 R̄где R̄ – радиус-вектор вращения вокруг земной оси, R = ρ cos ϕ, (ρ –радиус Земли).
Из-за направления силы инерции J̄ e от оси вращения(в данном случае), она называется центробежной силой инерции.Таким образомP̄ = F̄ O + J̄ eБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.11 / 14sin αsin(π − ψ),=JeFOОценим α. Из теоремы синусов:sin(π−ψ) = sin ψ = sin(ϕ+α) ⇒Ω2 ρcos ϕ(sin ϕ + cos ϕ tg α)g0µ 2¶,µ¶Ω2 ρ cos ϕ sin ϕΩ ρΩ2 ρ2=tg α =sin2ϕ1−cosϕg0 − Ω2 ρ cos2 ϕ2g0g0⇒⇒sin αsin ϕ cos α + cos ϕ sin α=2m Ω ρ cos ϕmg0tg α =Конкретные значения: ρ = 6370 км = 6.37 · 106 м,µ¶12π11−5Ω = 7.29 · 10≈≈=Следовательносекунд24 ч4ч14400 сΩ2 ρ1≈≈ 0.0034 ∼ ε — очень малая величина (по сравнению с 1).g0289Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.12 / 14Учитывая ограниченность тригонометрических функций| sin | 6 1, | cos | 6 1 после обозначенийΩ2 ρΩ2 ρsin 2ϕ, ε2 =cos2 ϕ2g0g0– каждая из которых очень малая величина, имеем:ε1 =tg α =ε1Ω2 ρ= ε1 (1 + ε2 + ε22 + ε32 + .
. .) ≈ ε1 =sin 2ϕ1 − ε22g0(использовали бином Ньютона или, что то же самое, разложение в рядМаклорена – ряд Тейлора в окрестности нуля). Отсюдаtg α ≈ 0.0017 sin 2ϕ – очень малая величина.Учитывая, что в окрестности нуля α ≈ tg α, окончательно получаем:αmin = 0 при ϕ = 0, π/2αmax ≈ 0.0017 ≈ 0◦ 60 − 0◦ 70на широте ϕ = 45◦ — Харбин (КНР)Итак, наибольшее отклонение вертикали от радиуса Земли в среднихширотах и совсем отсутствует на экваторе и полюсах.Видно, что это отклонение невелико, поэтому часто им пренебрегают.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.13 / 14Зависимость веса от широты местаВычислим теперь величину силы веса P̄ . Спроектируем P̄ = F̄ O + J̄ e навертикаль:P = FO cos α − Je cos ψ = FO cos α − Je cos(ϕ + α)Ввиду малости угла α можно положить α = 0, тогда22P = FO − Je cos ϕ = FO − mΩ ρ cos ϕ = FOmΩ2 ρ cos2 ϕ1−FO= P (ϕ)Получается, что гравитационная сила FO больше силы тяжести P везде на Землекроме полюсов, где ϕ = ±π/2 т.е.
cos ϕ = 0 ⇒ P (±π/2) = FO = mg01Ω2 ρ cos2 ϕcos2 ϕΩ2 ρВеличина≈, значит P (ϕ) = FO 1 −= FO 1 −g0289g0289отсюда получимнаименьшееP(ϕ)приϕ=0(cosϕ=1),т.е.наэкваторе,где1P (0) = FO 1 −= Pmin . Отсюда ясно, что наибольшее относительное289Pmax − Pmin1≈ 0.0034 , т.е. составляет всего 0,34%.изменение веса:=Pmax289В большинстве технических вопросов этой разницей обычно пренебрегают. Тем неменее эта разница существенна в задачах космических полётов ракет, из-за чеговсе космодромы стараются сделать поближе к экватору, чтобы минимизироватьрасход горючего на старте ракеты, т.к.
основная его часть тратится за это время.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.14 / 14ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 9-10ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ,КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА,КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.1 / 40Механической системой называетсятакое множество материальных точек,где движение каждой точки зависитот положений и движений остальных точек.Механическая система— это совокупностьвзаимодействующих материальных точек.Пример: Солнечная система, механизмы машин.Но горсть песчинок, подброшенных в воздух, систему не образуют,т.к.
не взаимодействуют, т.е. двигаются независимо друг от друга.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.2 / 40Внутренние и внешние силыP1x3PnFnmirnFmnirmOax1x2P2P3PmРассмотрим произвольную механическуюсистему из N материальныхточек Pν (ν = 1, . . . , N ), с массами mν .Силы, действующие на точкисистемы (приложенные к точкам) можноусловно разделить на внутренние и внешние:Внутренние силы – силы взаимодействиямежду точками данной системы.Будем их обозначать индексом i .Внешние силы – силы, действующие на точки системы от точекне включённых в рассматриваемую систему. Обозначаем индексом e .Итак, силу, действующую на точку Pν – можно представить из двухсоставляющих:ieF̄ ν = F̄ ν + F̄ νБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.3 / 40Отметим, что под силой F̄ ν , действующей на точку Pν системы,которая участвует выражении II закона Ньютона, подразумевается –iравнодействующая :eF̄ ν = F̄ ν + F̄ νт.е. сумма всех сил от точек системы (внутренних) на точку PνформируетiF̄ νравнодействующая внутренних сил,−а сумма всех остальных сил – от точек не включённых в систему(внешних) определяетeF̄ ν−равнодействующая внешних силт.е. равнодействующая внутренних сил выражается в виде:iF̄ ν=NXiF̄ νµµ=1iF̄ νµгде– сила, действующая на точку Pν со стороны остальных точекPµ системы (µ = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
