1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ox1 , x2 , x3 −→ϕ22. ON, x02 , x3 −→ON, x002 , ξ3x1ON1.  x2  = A1  x02 x3x3ONON2.  x02  = A2  x002 x3ξ3ONξ13.  x002  = A3  ξ2 ξ3ξ3ϕ33. ON, x002 , ξ3 −→Oξ1 ξ2 ξ3cos ϕ1 − sin ϕ1 0cos ϕ1 0A1 =  sin ϕ1001100A2 =  0 cos ϕ2 − sin ϕ20 sin ϕ2cos ϕ2cos ϕ3 − sin ϕ3 0cos ϕ3 0A3 =  sin ϕ3001ϕ1 ,ϕ2 ,ϕ3В результате трех поворотов : Ox1 , x2 , x3 −−−−−→ Oξ1 ξ2 ξ3 , матрица A переходаот Oξ1 ξ2 ξ3 к Ox1 , x2 , x3 принимает вид : A = A1 · A2 · A3 : ρ̄(t) = A(t)eρЗамечание: Т.к. операция перемножения матриц – некоммутативна, значитконечные повороты, определяемые каждой матрицей – тоже некоммутативны.Т.е. в общем случае, получаемая в результате 3-х последовательных поворотовориентация тела – зависит от порядка выполнения этих конечных поворотов.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.8 / 18Движение твёрдого тела с неподвижной точкойкак ортогональное преобразованиеЕсли всё время движения у твёрдого тела остаётся неподвижной одна точка O,то говорят, что тело – вращается вокруг точки O, или совершает– сферическое движение. Т.е. в сферическом движении r̄ O = const VIDEOПусть при t = 0 системы координат Oξ1 ξ2 ξ3 и Ox1 x2 x3 совпадают, тогдаe. Когда тело начнёт сферическое движение, то оноA|t=0 = E ⇒ ρ̄|t=0 = ρe и систему координат Oξ1 ξ2 ξ3 ,будет «переносить» с собой (в себе) вектор ρe перейдёт вповорачивая их вокруг точки O.

Через какое-то время t вектор ρвектор ρ̄(t) = A(t)eρ, т.е.te→ρ− ρ̄(t) = A(t)eρЭта формула определяет ортогональное преобразование пространства, вкотором выбрана система координат Ox1 x2 x3 .Матрица A(t) - ортогональна: AA∗ = E, следовательно (det A)2 = det(E) = 1,значит det A = 1 или det A = −1. Но т.к. det A = 1 в начальный моментвремени (A(0) = E), стать det A = −1 в какой-то момент времени t он неможет т.к. непрерывно зависит от t. Значит: движение твёрдого тела вокругнеподвижной точки задаёт собственное ортогональное преобразованиепространства. A(t) – матрица (тензор) поворота. При этом, как былопоказано, элементы A определяются только выбором трёх углов Эйлера.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.9 / 18Поступательное движение телаЕсли во всё время движения твёрдого тела любая прямая, связанная с теломостаётся параллельной самой себе в любой момент времени, такоедвижение называется – поступательное (трансляционное).VIDEOЯсно, что при поступательном движении тела всеlточки выбранной прямой описывают геометрическиt1l одинаковые траектории (конгруэнтные).t2Так как прямая в теле выбирается произвольно,значит все точки тела двигаются одинаково.Т.е. достаточно знать движение одной точки тела,чтобы определить положения всех остальных точек(движение кабины в лифте, в колесе обозрения).В этом смысле можно говорить, чтотело двигается как одна точка.Поэтому определение самой точки как материального объекта можнотрактовать как тело, вращательным движением которого можно пренебречь.(т.е. размеры, габариты тела не важны).

Тогда выбирая некоторую точку Oв теле и задавая закон движения её в системе координат Oa x1 x2 x3 : r̄ O = r̄ O (t)мы определим поступательное движение, называя её – полюсом тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.10 / 18Интерпретация произвольного движения телаЕсли обратиться к начальной формуле: r̄(t) = r̄ O (t) + A(t)eρ, определяющейположение какой-то точки тела в абсолютной системе координат в момент t,мы заключаем, что самое общее движение тела раскладывается на:• поступательное движение – вместе с выбранным полюсом O: r̄ O (t)• сферическое движение вокруг полюса (как около неподвижной точки): A(t)eρТаким образом:OO• r̄ O (t) = (xO1 (t), x2 (t), x3 (t)) – определяет положение полюса тела O,• A(t) = A(ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t)) – определяет ориентацию сопутствующейсистемы координат Oξ1 ξ2 ξ3 по отношению к системе Ox1 x2 x3 , т.е.описывает вращение тела вокруг полюса O (сферическое движение).©ª(α = 1, 2, 3) – однозначно определяютЗначит 6 параметров xOα , ϕαположение тела в пространстве относительно абсолютной системыкоординат.

Тогда решение кинематической задачи о движении телаопределяется заданием 6 функций (6 – число степеней свободы тела):OxOα = xα (t), ϕα = ϕα (t)(α = 1, 2, 3)уравнения движения твёрдого телаБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.11 / 18Независимость сферического движения тела от выбора полюсаВыбор полюса – точки тела – никак не конкретизирован – она любая.OУравнения движения полюса xOα = xα (t) – зависят от его выбора.Но вращение вокруг разных полюсов – будет одинаковым.ТЕОРЕМА: Вращательное движение тела не зависит от выбора полюса.rOaO’Mx3rO’OrOx2x1Доказательство:Пусть r̄, r̄ O , r̄ O0 – радиус-вектораточек тела M, O, O0 (в системе координат Oa xα ).−−→ g0−−→e = OM , ρe 0 = O0M , OOОбозначим: ρ– вектора,заданные в сопутствующей системе координатξ1 , ξ2 , ξ3 (т.е.

постоянные).g0 + ρeиρe 0 – очевидная связь: ρe = OOe0Между ρg0Для любых точек тела M и O0 с полюсом O: r̄ = r̄ O + Aeρ, r̄ O0 = r̄ O +A OOe0Для другого полюса O0 (со своей матрицей поворота A0 ): r̄ = r̄ O0 + A0 ρ´³0g = r̄ O0 +Aee − OOρ0Вычитая первые 2 одно из другого имеем: r̄ = r̄ O0 +A ρ0∀eρВычитая последние 2 одно из другого, имеем: (A − A0 )eρ 0 = 0 −−→ A = A0Т.е. матрица A от выбора полюса не зависит! И определяется углами Эйлера.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.12 / 18Основные теоремы о конечных перемещениях твёрдого телаТЕОРЕМА Эйлера (-Даламбера): Произвольное перемещение твердоготела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить одним конечнымповоротом (вращением) вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку.VIDEO 1VIDEO 2ТЕОРЕМА Шаля: Самое общее перемещение твёрдого тела разлагается напоступательное перемещение, при котором произвольно выбранный полюс перемещается из своего первоначального положения в конечное, и на конечныйповорот вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс.Винтовым перемещением — называется совокупность поступательногоперемещения и вращения, в котором поступательное перемещениепроисходит вдоль оси вращения.ТЕОРЕМА Моцци: Самое общее перемещение твёрдого тела является винтовым перемещением.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.13 / 18Скорости точек телаТЕОРЕМА: Существует единственный вектор ω̄, который называется– угловая скорость тела, с помощью которого скорость v̄ точкиM тела может быть представлена в виде v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄ , где v̄ O –скорость полюса O. Вектор ω̄ от выбора полюса не зависит.Доказательство: Продифференцируем формулу r̄ = r̄ O + ρ̄ по времениv̄ =dr̄dr̄ Odρ̄=+= v̄ O + ρ̄˙dtdtdtиспользуя формулу ρ̄(t) = A(t)eρ после дифференцирования по te = const)получим (учитывая что ρρ̄˙ = Ȧeρ = ȦA−1 ρ̄Матрица ȦA−1 – кососимметрическая (антисимметрическая)(свойство кососимметричности матрицы C означает: C ∗ = −C).В самом деле, учитывая ортогональность A (A∗ = A−1 ) имеем:AA∗ = AA−1 = E. Дифференцируя это выражение по t получим:∗∗ȦA∗ + AȦ = 0⇒ȦA−1 = −AȦ = −(ȦA∗ )∗ = −(ȦA−1 )∗Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.14 / 18Поскольку в R сопряжение матрицы является её траспонированием:C ∗ = C T , свойство кососимметричности матрицы C: C ∗ = −C = C Tозначает для её элементов cij = −cji . Отсюда понятно, что вседиагональные элементы матрицы – нулевые: cii = 0.Среди остальных элементов только 3 – независимых.0 −ω3ω2Тогда вводя новые обозначения,0 −ω1 ȦA−1 =  ω3вид ȦA−1 должен быть такой:−ω2ω10Если составить вектор ω̄ = (ω1 , ω2 , ω3 ) с компонентами, заданными всистеме координат Oa xα , то результат умножения матрицы ȦA−1 навектор ρ̄ может быть представлен в виде векторного произведения:ȦA−1 ρ̄ = ω̄ × ρ̄Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.15 / 18В самом деле  0 −ω3ω2x1ω2 x3 − ω3 x20 −ω1  ·  x2  =  ω3 x1 − ω1 x3 ȦA−1 ρ̄ =  ω3−ω2ω10x3ω1 x2 − ω2 x1ē1 (ω2 x3 − ω3 x2 ) +ē1 ē2 ē3ω2 x3 − ω3 x2ω̄×ρ̄ = det  ω1 ω2 ω3  = + ē2 (ω3 x1 − ω1 x3 ) + =  ω3 x1 − ω1 x3 x1 x2 x3+ ē3 (ω1 x2 − ω2 x1 )ω1 x2 − ω2 x1Откуда и следуетформула распределения скоростей точек твёрдого телаv̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄Попутно мы доказали и формулу Эйлера: ρ̄˙ = ω̄ × ρ̄Независимость ω̄ от выбора полюса следует из того что онопределяется из матрицы A и её производной, а матрица A от выбораполюса не зависит.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.16 / 18Свойства скоростей точек твёрдого тела(следствия из формулы распределения скоростей)vAAaABvBaB• В каждый момент времени проекции скоростейлюбых двух точек твёрдого тела на прямую, проходящую черезэти точки, равны между собой:vA cos αA = vB cos αBМеханический смысл равенства: т.к. расстояние AB = const,точка A не может «ни догнать», «ни отстать» от B.Как принцип недеформируемости (абсолютной твёрдости) тела.−−→¯¯ −−→−−→−−→Доказательство: v̄ B = v̄ A + ω̄ × AB ¯·AB ⇒ v̄ B ·AB = v̄ A ·AB⇒ прAB v̄ A = прAB v̄ B(прAB − проекция на AB)• Аналогично в каждый момент времени проекции скоростей на прямую,коллинеарную ω̄ – равны между собой: прω v̄ A = прω v̄ B(прω − проекция на ω̄)• Если скорости 3-х точек тела, не лежащих на одной прямой, в некоторыймомент времени, равны между собой, то говорят, что тело совершаетмгновенное поступательное движение (т.е.

Характеристики

Список файлов лекций