1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 4
Текст из файла (страница 4)
без вращения),равномерно и прямолинейно движется – то она тоже инерциальна,поскольку относительно неё точка, не подверженная действию сил,также будет покоится либо равномерно и прямолинейно двигаться.Такие системы эквивалентны: Принцип относительности Галилея.3 утверждение: только силы (как причины) могут вывести точку из естественногосостояния. Только сила может сообщить материальной точкеускорение, т.е. изменить её равномерное прямолинейное движениеили вывести из покоя. Именно в этом смысле мы говорим осуществовании силы, приложенной к материальной точке.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.6 / 17Масса«Способность» материальных тел «сохранять» свою скорость (направление ивеличину) при отсутствии сил называют – инерция.Наблюдение и опыт показывают, что все материальные тела обладают«врождённым» (внутренним) свойством, из-за которого тело «с трудом» (несразу, а постепенно, т.е. когда это можно увидеть или зафиксировать) выводитсяиз состояния покоя или изменяет свое движение.«Способность» материальной точки «сопротивляться» «видимому» изменениюеё скорости называют – инертность.У каждого материального тела существует какая-то внутренняя характеристикакоторая приводит к различным «откликам» (т.е.
изменениям движения) —для различных тел — при одинаковом силовом воздействии.Количественная мера инертности материальной точки, пропорциональнаяколичеству вещества, заключённого в точке, называется – масса (m, кг)Материальная точка – геометрическая точка, обладающая инертностью,и, следовательно, с динамической стороны характеризуется своей массой.Масса – скалярная, существенно положительная величина, обладающая свойствомаддитивности: массы материальных точек складываются.Масса материальной точки – постоянная величина, не зависящая от обстоятельствдвижения (если скорость ¿ скорости cвета ≈ 299 792 458 м/с)Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.7 / 17II Закон Ньютона (основной закон динамики)Произведение массы точки на её ускорение равно силе, действующей на точкуmā = F̄Т.к. m > 0, то вектор ускорения ā всегда направлен так же как и вектор силы F̄ т.е.Faускорение ā и сила F̄ направлены в одну сторону.MАльтернативная математическая запись основного закона динамики: ā = F̄ /mВ подобном виде сформулировал основной закон динамики И.Ньютон:ускорение ā приобретаемое свободной материальной точкой в результате действиясилы F̄ , направлено в ту же сторону что и сила, и пропорционально этой силе.Коэффициентом пропорциональности между получаемым ускорением идействующей силой является мера инертности точки – масса m.
Значит чембольше масса m, тем меньше по величине (по модулю) получаемое ускорение ā.F̄ , m – динамические величины, ā – кинематическая величина.dv̄= ā = 0, значит v̄ ≡ const – т.е. получили законПри F̄ = 0 имеем ā = 0, т.е.dtинерции. Но хоть I Закон Ньютона и получен здесь как следствие из II ЗаконаНьютона (при частном случае силы), важность его не утрачивается, поскольку самII Закон Ньютона изначально справедлив только в инерциальной системе отсчета(существование которых как раз и постулируется в I Законе Ньютона).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.8 / 17III Закон Ньютона (закон равенства действия ипротиводействия)Две материальные точки действуют друг на другас силами равными по величине ипротивоположно направленными вдоль прямой, соединяющей точкиДействию всегда есть равное и противоположное противодействиеAFAFB BF̄ A – сила на A со стороны B,F̄ B – сила на B со стороны A.Взаимодействие 2-х тел определяется закономF̄ A = −F̄ Bматематическая запись III Закона Ньютона.Замечание 1: Если одна материальная точка действует на другую, то ивторая точка тоже действует на первую.Замечание 2: Классическая механика рассматривает взаимодействиематериальных точек только по III Закону Ньютона.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.9 / 17Аксиома независимости действия сил (Закон сложения сил)Аксиома независимости действия силСилы взаимодействия двух материальных точек не могут быть измененывозможными действиями на них других материальных точек, еслиположение и скорости этих точек остаются неизменными.Это значит: если точки Mi одновременно действуют на точку M с силами F̄ i ,то полное ускорение ā точки M складывается из ускорений āi , получаемыхточкой M , при действии каждой силы от точек Mi - по отдельности:Xā =āiУчитывая, что по II Закону Ньютона āi = F̄ i /m, где m - масса точки, имеем:X1 X1ā =āi =F̄ i = F̄m imiPгде обозначено F̄ = F̄ i − равнодействующая сил F̄ i .
Итак получилиЗакон сложения сил (другая формулировка аксиомы независимостидействия сил): ускорение точки, получаемое в результате действиянескольких сил F̄ i равно ускорению сообщаемому точке одной силой F̄ ,являющейся равнодействующей системы действующих сил (векторнойсуммой системы сил F̄ i ).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.10 / 17Дифференциальные уравнения движения материальной точкиОсновной закон динамики, устанавливающий зависимость междукинематическими и динамическими характеристиками движения точки,позволяет получить дифференциальные уравнения, которым должныудовлетворять координаты точки. По содержанию II Закон Ньютона в форм嵶dr̄d2 r̄(t)m= F̄ t, r̄,dt2dtявляется дифференциальным уравнением движения свободной точки ввекторной форме, относительно инерциальной системы отсчёта, т.е.дифференциальным уравнением 2-го порядка на r̄(t).Каждому векторному уравнению соответствует 3 скалярных покомпонентныхв фиксированной системе координат.
Для этого необходиморазложитьXX обе∗части векторного уравнения в нужном базисе: ā =ai ēi , F̄ =Fi∗ ēi∗∗(например ортогональном криволинейном базисе), где ai , Fi – физическиекомпоненты ускорения и силы, т.е. проекции на оси выбранной системыкоординат. Таким образом получим скалярные дифференциальныеуравнения движения материальной точки в инерциальной системе отсчета:ma∗i = Fi∗ ,Батяев Е. А.
(НГУ)(i = 1, 2, 3)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.11 / 17Дифференциальные уравнения движения материальной точкиВ декартовых осях:mẍi (t) = Fi (t, x1 , x2 , x3 , ẋ1 , ẋ2 , ẋ3 )(i = 1, 2, 3)В цилиндрических осях:ma∗r =ma∗ϕ =ma∗z =m(r̈ − rϕ̇2 ) = Fr (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)m(rϕ̈ + 2ṙϕ̇) = Fϕ (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)mz̈= Fz (t, r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż)– радиальное– трансверсальное– осевоеВ естественных осях:maτ =man =mab =Батяев Е. А. (НГУ)ms̈= Fτ (t, s, ṡ)mṡ2 /ρ = Fn (t, s, ṡ)0= Fb (t, s, ṡ)ЛЕКЦИЯ 3– касательное– нормальное– бинормальноеНовосибирск, 2017 г.12 / 17Основные задачи динамики точкиПрямая задача – определение силы по заданному движению точки.Обратная задача – определение движения по заданным силам иначальному состоянию.Для решения прямой задачи необходимо знание движения точки вкакой-либо инерциальной системе отсчёта (закон движения).Например, в криволинейных координатах: qα = qα (t) - уравнениядвижения. Причём считаем (предполагаем), что qα (t) ∈ C 2 , т.е.являются дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями.Тогда из дифференциальных уравнений движения (в криволинейныхкоординатах в общем виде):· µ¶¸m d∂ v̄∂ v̄∗˙maα =− v̄ ·= Fα∗ (t, q̄, q̄)v̄ ·hα dt∂ q̇α∂qα3Xопределим силу в любой момент времени, где вектор v̄ =hα q̇α ēα ,α=1и обозначено q̄ = (q1 , q2 , q3 ).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.13 / 17Разрешимость обратной задачи динамики точкиДля ответа на вопрос о существовании и единственности решения обратнойзадачи динамики, вначале сформулируем теорему из теории обыкновенныхдифференциальных уравнений (ДУ) о разрешимости начальной задачи длянормальной системы ДУ (первого порядка) – без доказательства: duk (t)dtuk (0)Задача Коши: (начальная задача)= fk (t, u1 , . . . , un )= u0k ,− нормальная система ДУ(k = 1, . . . , n) − начальные условияТЕОРЕМА: Пусть правые части ДУ из задачи Коши fk (t, u1 , .
. . , un )являются непрерывными функциями и обладают непрерывнымипроизводными (непрерывно-дифференцируемые) в некоторой окрестностиначальных значений u0k , тогда на некотором интервале начальных значенийсуществует единственная система функций uk (t), удовлетворяющаяуравнениям системы и начальным условиям (т.е.
решение задачи).Замечание: требование гладкости правых частей ДУ на самом деле можноослабить формулируя их отдельно для t и uk , а именно необходима лишьнепрерывность по t и непрерывная дифференцирумость по uk .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.14 / 17Представим наши дифференциальные уравнения движения в нормальнойформе. Для ускорения точки в криволинейном базисе справедливопредставление:·¸331 d ∂T∂Tv21X ∗ 21X∗aα =−где T ==(vσ ) =(hσ q̇σ )2hα dt ∂ q̇α∂qα22 σ=12 σ=1¯¯¯ ∂r̄ ¯¯ – коэффициенты Ламе – известные функции координат qα .Здесь hσ = ¯¯∂qσ ¯Выполняя дифференцирование получим:33Xd∂h2α∂T1 X ∂h2σ 2∂Td ∂T= h2α q̇α ,= (h2α q̇α ) = h2α q̈α +q̇σ q̇α ,=q̇∂ q̇αdt ∂ q̇αdt∂qσ∂qα2 σ=1 ∂qα σσ=1Поставляя в выражение для ускорения имеем:"#33X∂h2α11 X ∂h2σ 2∗2aα =h q̈α +q̇σ q̇α −q̇hα α∂qσ2 σ=1 ∂qα σσ=1Тогда дифференциальные уравнения движения точки примут вид:"¶ #3 µ∂h2σ1 X∂h2α˙q̇α −q̇σ q̇σ = Fα∗ (t, q̄, q̄)m hα q̈α +22hα σ=1∂qσ∂qαБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.15 / 17Отсюда получим нормальную систему дифференциальных уравнений на qα , q̇α¶3 µ11 X∂h2σ∂h2α˙ −q̇σFα∗ (t, q̄, q̄)q̇−q̇2ασmhα2h2α σ=1∂qσ∂qαdq̇α (t)dt=˙G∗α (t, q̄, q̄)=dqα (t)dt=q̇α (t)← добавим уравнение для нормальности системы ДУДля формулировки начальной задачи добавим ещё начальные условия:qα (0) = qα0 ,q̇α (0) = q̇α0Тогда обращаясь к сформулированной теореме о разрешимости начальнойзадачи для нормальной системы ДУ, получим:ТЕОРЕМА: Если задана масса точки, выражения радиус-вектора точки отобобщённой координат r̄(q1 , q2 , q3 ), т.е. xi (q1 , q2 , q3 ) (i = 1, 2, 3, ) которыеявляются трижды непрерывно-дифференцируемыми функциями,˙ непрерывно-дифференцируемыефизические компоненты силы Fα∗ (t, q̄, q̄)функции координат и скоростей, то существует и единственно решениеуравнений движения точки qα (t), удовлетворяющее заданным начальнымусловиям (в некоторой окрестности начального состояния).Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
