1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 5
Текст из файла (страница 5)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.16 / 17Аналогом данной теоремы в классической механике является,считаемый справедливым,принцип детерминированности Ньютона-ЛапласаДвижение системы материальных точек является вполнедетерминированным: задание начальных положений r̄ 0ν и скоростей v̄ 0νточек единственным образом определяет их дальнейшее движение, т.е.векторные функции r̄ ν (t) (ν = 1, . .
. , N ).Согласно этому принципу состояние механической системы в любойфиксированный момент времени однозначно определяет всё еёбудущее движение (а равно и прошлое).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.17 / 17ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИРАВНОВЕСИЕ ТОЧКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.1 / 18Материальная точка всегда движется в окружении другихматериальных тел, с которыми оно взаимодействует (например,контактируя друг с другом). При этом, конечно, ограничиваютсявозможности движения точки: на положение и скорость точкинакладываются определённые ограничения, которые называютсясвязиСвязи должны выполняться при любых силах, действующих на точку.При наличии связей, материальная точка уже не можетдвигаться как угодно и становится — несвободной.Мы рассмотрим самый простейший вид ограничений наположение точки – неподвижную поверхность.Уравнения движения несвободной точки существенно отличаютсяот уравнений движения свободной точки.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.2 / 18Движение точки по неподвижной поверхностиПусть точка движется по поверхности,описываемой скалярным уравнениемf (r̄) = 0 (или f (x1 , x2 , x3 ) = 0) (такая связьназывается геометрической, и посколькувремя явно не входит в выражение, т.е.неподвижная поверхность, связь называетсястационарной). Найдём какие ограничениявозникают на скорость и ускорение точки.Ñfx3MvOaТак как радиус-вектор точки r̄ = r̄(t)x1должен удовлетворять уравнению связи, т.е.f (r̄(t)) = 0продифференцируем это выражение по t, считая функцию f (r̄)непрерывно-дифференцируемой нужное количество раз:df dr̄dfdf (r̄(t)) == v̄ ·=0dtdr̄ dtdr̄Таким образом получили v̄ ·Батяев Е.
А. (НГУ)f(r)=0rx2dfdf= 0 т.е. v̄ ⊥dr̄dr̄ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.3 / 18dfВектор=dr̄µ∂f ∂f ∂f,,∂x1 ∂x2 ∂x3¶в математическом анализе называют∇f,|∇f |т.е. перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в данной точке.Заметим, что |n̄| = 1 — единичный вектор.градиентом (∇f ). Он направлен по нормали к поверхности: n̄ =Значит полученное условие является ограничением на скорость точки:v̄ ортогонален нормальному вектору к поверхности, а следовательновектор скорости v̄ лежит в касательной плоскости к поверхности.Ещё раз продифференцируем по t:µ¶µ 2¶ddfdv̄ dfd fv̄ ·=·+ v̄· v̄ = ∇f · ā + D2 f = 0dtdr̄dt dr̄dr̄ 2получили ограничение на ускорение точки:∇f · ā + D2 f = 0где за D2 f обозначена однородная квадратичная функция компонентовµ 2¶ Xскоростей:d f∂2fD2 f = v̄·v̄=vα vβ∂xα ∂xβdr̄ 2α,βБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.4 / 18Обобщение второго закона Ньютона на движение несвободной точкиПусть точка перемещается по поверхности f (r̄) = 0 под действием силы F̄ .Если бы она была свободна, тогда по основному закону динамики,ускорение точки: ā = F̄ /m. Однако в общем случае ниоткуда не следует, чтоусловие на ускорение:∇f · ā + D2 f = 0будет при этом выполняться! Выход из этого противоречия находится путемобобщения основного закон динамики в случае несвободной точки в виде:mā = F̄ + R̄т.е.
кроме силы F̄ действует ещё сила R̄, обусловленная присутствием связи.Сила R̄ называется – реакция связи. Реакция R̄ должна быть такой чтобыуравнение движения было совместимо с условием на ускорение.F̄ + R̄Найдём R̄. Выразим ускорение из последнего выражения:ā =.m¡¢F̄ + R̄⇒ ∇f ·+ D2 f = 0 ⇒ ∇f · R̄ = − ∇f · F̄ + mD2 fm∇f∇f · F̄ + mD2 f⇒· R̄ = n̄ · R̄ = −|∇f ||∇f |Т.е. уравнение связи определяет только нормальную составляющую реакции.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.5 / 18Представим реакцию связи в видеNnvR̄ = N̄ + Q̄N̄ – нормальная реакция – проекция R̄на нормаль n̄ к поверхности,Q̄ – тангенциальная реакция – проекция R̄на касательную плоскость к поверхности. Т.е.N = n̄ · R̄,N̄ = N · n̄иRQN̄ ⊥ Q̄Величина N определяется полученной выше формулой, а тангенциальнаяреакция, лежащая в касательной плоскости, вообще говоря, может бытьпроизвольной.Выразим N̄ в виде:N̄ = λ∇f,где λ = −∇f · F̄ + mD2 f|∇f |2λ – коэффициент пропорциональности, вообще говоря - переменный,называется – множителем связи (Лагранжа).
Его введение позволяетзаменить три неизвестных (N1 , N2 , N3 ) = N̄ — одной величиной λ.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.6 / 18Законы Кулона для движения и равновесия точкиДля установления вида тангенциальной реакцией требуется привлечьдополнительные соображения. На основе экспериментального изучениядвижения тела по поверхности было установлено, что тангенциальнаяреакция в движениии пропорциональна по модулю нормальной реакции инаправлена против движения:v̄Q̄ = −kNvгде v̄ – вектор скорости движения точки относительно поверхности.При равновесии точки на поверхности Q̄ направлена против возможногодвижения точки под действием приложенных сил, а её модуль принимаетодно из значений в интервале:0 6 Q 6 k1 NПриведённые зависимости называются — Законы Кулона(-Амонтона)для движения и равновесия.
Тангенциальную реакцию Q̄ называюттакже – сила трения, а k(k1 ) – коэффициент трения (скольжения).Коэффициенты k и k1 определяются экспериментально – зависят от степениобработки и материалов движущегося тела и поверхности (обычно k1 > k).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.7 / 18Основной закон динамики для несвободной точкиТ.о. полная реакция для точки, движущейся по поверхности, имеет видR̄ = λ∇f − k|λ∇f |v̄vВ общем случае при k 6= 0 поверхность называется – шероховатой(т.е. поверхность с трением). В частном случае при k = 0 поверхностьназывают – идеальной или гладкой.С учётом полученного выражения для реакции запишемОсновной закон динамики для несвободной точкиmā = F̄ + λ∇f − k|λ||∇f |v̄vВнешне данное выражение (или mā = F̄ + R̄) имеет тот же вид, как изакон движения свободной точки (mā = F̄ ), если к активным силамдобавить ещё реакцию связи.
Таким образом можно сформулироватьБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.8 / 18Принцип освобождаемости от связейЛюбую несвободную точку можно рассматривать каксвободную, если мысленно отбросить связь, а её действиезаменить силой – реакцией связи (неизвестной)В основном законе динамики несвободной точки фигурирует функцияf (r̄), определяющая уравнение поверхности. Поэтому для замыканиязадачи о движении точки по поверхности к дифференциальнымуравнениям движения необходимо добавить уравнение связи:f (r̄(t)) = 0Реакции связей называют иногда – пассивными силами, т.к. онизаранее не известны, зависят не только от связи (формы, материала),но и от других действующих сил, называемых активными, и отдвижения самой точки. Активные силы, действуя на покоящуюсяточку, могут сообщить ей определённое движение (отсюда и название«активные»), а реакции не могут придать движение.Реакция заранее никогда не известна и подлежит определению.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.9 / 18Типы связей и реакций (действующих на тело)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.10 / 18Движение точки по линииПусть точка M двигается по линии L.Представим линию L как пересечениедвух поверхностей: f1 (r̄) = 0 и f2 (r̄) = 0.Реакции поверхностей f1 и f2 сводятся к силам:R̄1 = N̄ 1 + Q̄1f2(r)=0N1и R̄2 = N̄ 2 + Q̄2Q2LQ1N2MN̄ 1 = λ1 ∇f1 , Q̄1 - в касательной плоскости к f1 (r̄) = 0, vN̄ 2 = λ2 ∇f2 , Q̄2 - в касательной плоскости к f2 (r̄) = 0.f1(r)=0Отметим, что вектор скорости v̄ точки M направленпо касательной к линии L (и к поверхностям).Т.к.
поверхность действует на точку с некоторой силой-реакцией, то уместноположить, что воздействие линии также сводится к реакции R̄ равной суммереакций поверхностей:R̄ = R̄1 + R̄2 = λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 + Q̄v̄где Q̄ = Q̄1 + Q̄2 = −kN , k – коэффициент трения скольжения (по линии)vpN̄ = N̄ 1 + N̄ 2 ,N = (λ1 ∇f1 )2 + (λ2 ∇f2 )2 + 2λ1 λ2 ∇f1 ∇f2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.11 / 18Дифференциальные уравнения движения точки вдоль линии вестественных осяхИтак, при движении по линии основной закон движения следует брать в виде:v̄mā = F̄ + λ1 ∇f1 + λ2 ∇f2 − kNvПусть траектория L точки M ,vявляющаяся шероховатой линией – известна:r̄ = r̄(s), где s = s(t) – дуговая координата,характеризующая закон движения по траектории,который требуется найти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
