1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 10
Текст из файла (страница 10)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.5 / 19Дифференцируя по t выражение c̄(t) = A(t)ec(t) имеем:dc̄= Ȧec + Aėc = ȦA−1 c̄ + AėcdtПосколькуȦA−1 c̄ = ω̄ × c̄где ω̄ – угловая скорость системы Oξ1 ξ2 ξ3 относительно системы Oa x1 x2 x3 ,с учётом обозначения относительной производной, эта формула устанавливаетсвязь между абсолютной и относительной производными вектора по времениedc̄dc̄= ω̄ × c̄ +dtdteОтметим, что символ относительного дифференцирования d/dtвведёнтолько для вектора, т.е.
при дифференцировании скалярной величиныe·eразличия между ними нет — она одинаковая везде (например ā · b̄ = ab).Причём относительное дифференцирование применяется только тогда –когда вектор задан своим разложением в подвижной системе координат.edc̄dc̄=при ω̄ = 0 — при поступательном движении среды SЗамечание: 1.dtdtdω̄deω̄2.=dtdtБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.6 / 19Скорости и ускорения сложного движения точкиАбсолютной скоростью v̄ a (абсолютным ускорением āa ) точки – называютеё скорость (ускорение) относительно абсолютной системы координат Oa x1 x2 x3˙v̄ a = r̄,āa = ¨r̄Относительной скоростью v̄ r (относительным ускорением ār ) точки –называют её скорость (ускорение) относительно сопутствующей системыкоординат Oξ1 ξ2 ξ3 .
Т.к. положение точки относительно сопутствующейe(t), тосистемы координат описывается (покомпоненто) вектором ρedρотносительнаяė = ver −=ρскорость,dted2 ρотносительноеėr = aer −ë = v=ρускорение.dt2в системе координат Oξ1 ξ2 ξ3 . Тогда в абсолютной системе координатOa x1 x2 x3 относительные скорость и ускорение (покомпонентно) имеют вид:ėv̄ r = Aev r = Aρėr = Aρëār = Aea r = AvИли, с учётом обозначения для относительной производной вектора,относительные скорость и ускорение точки имеют выражения:v̄ r =Батяев Е.
А. (НГУ)edρ̄dtār =ЛЕКЦИЯ 7e rde2 ρ̄dv̄= 2dtdtНовосибирск, 2017 г.7 / 19er (ār и ae r ) это одни и те же вектора – скорости (ускорения)Собственно v̄ r и vточки M по отношению к телу (относительно Oξ1 ξ2 ξ3 ). Только выраженыони компонентами (координатами) в разных системах координат:v̄ r (ār ) – в абсолютной Oa x1 x2 x3 :(vxr 1 , vxr 2 , vxr 3 ), (arx1 , arx2 , arx3 )er (evar ) – в сопутствующей Oξ1 ξ2 ξ3 :(vξr1 , vξr2 , vξr3 ), (arξ1 , arξ2 , arξ3 )В результате относительного движения точки M по среде S, она совпадает сразличными точками среды, которые, вообще говоря, движутся по-разному.Переносной скоростью v̄ e (переносным ускорением āe ) точки –называют скорость (ускорение) той точки среды S, с которой точка M вданный момент времени совпадает.Иными словами, переносная скорость (ускорение) есть та скорость (ускорение)которую движущаяся точка M имела бы в данный момент, если бы она вэтот момент оказалась жёстко связанной с подвижной системой координат(телом или средой), т.е.
не совершала бы относительного движения.absolu – абсолютныйrelatif – относительныйentraı̂nement – переносныйБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.8 / 19Кинематические теоремы сложного движения точкиТЕОРЕМА сложения скоростей: Абсолютная скорость точки равнавекторной сумме переносной и относительной скоростей.Доказательство: Т.к. радиус-вектор точки M в абсолютной системекоординат выражается через r̄(t) = r̄ O (t) + ρ̄(t), тогда дифференцируя егопо t, с учётом зависимости между абсолютной и относительнойпроизводными получимedr̄dr̄ Odρ̄dρ̄v̄ a ==+= v̄ O + ω̄ × ρ̄ +dtdtdtdtВектор (v̄ O + ω̄ × ρ̄) есть скорость той точки подвижной системы координат(среды S, двигающейся как твёрдое тело или действительное тело) с которойсовпадает в данный момент времени двигающаяся точка M (по формулераспределения скоростей точек тела), т.е.
является переносной скоростью:v̄ e = v̄ O + ω̄ × ρ̄edρ̄есть относительная скорость v̄ r , выраженная в абсолютнойВекторdtсистеме координат (см. выше). Тогда получаем:v̄ a = v̄ e + v̄ rБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7¥VIDEOНовосибирск, 2017 г.9 / 19ТЕОРЕМА Кориоли́са (сложения ускорений): Абсолютное ускорение точкиравно векторной сумме переносного, относительного и добавочного ускорений.Доказательство: Продифференцируем выражение из теоремы сложения скоростейпо времени, с учётом зависимости между абсолютной и относительнойпроизводными:dv̄ adv̄ edv̄ rāa ==+dtdtdt!ed(v̄ O + ω̄ × ρ̄)dv̄ O dω̄dρ̄dρ̄dv̄ e==+× ρ̄+ ω̄×= āO +ε̄× ρ̄+ ω̄× ω̄ × ρ̄ +=dtdtdtdtdtdt= āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄) + ω̄ × v̄ r˙ - угловое ускорение подвижной системы координат (среды или тела).Здесь ε̄ = ω̄e rdv̄ rdv̄= ω̄ × v̄ r += ω̄ × v̄ r + ārdtdtТаким образом имеем:āa = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄) + ω̄ × v̄ r + ω̄ × v̄ r + ārВектор (āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)) – есть ускорение той точки подвижной системыкоординат (тела), в которой в данный момент времени находится движущаясяточка M , т.е.
является переносным ускорением āe (теорема Ривальса):āe = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)Сумма следующих двух одинаковых слагаемых называется ускорение Кориолиса(кориолисовым или добавочным ускорением): āc = 2ω̄ × v̄ r .Итак получили:Батяев Е. А. (НГУ)āa = āe + ār + ācЛЕКЦИЯ 7¥VIDEOVIDEOНовосибирск, 2017 г.10 / 19Анализируя полученную формулу сложения ускорений в сложном движенииточки можно сказать, что ускорение Кориолиса – связано с изменениемабсолютной скорости из-за:1. влияния переносного движения на относительную скорость (при ω̄ 6= 0,v̄ r поворачивается вокруг абсолютной системы координат за счет вращения);2.
влияния относительного движения на переносную скорость (при v̄ r 6= 0положение точки в подвижной системе координат меняется, следовательно,меняется и переносная скорость).Причём влияние 1-го и 2-го факторов на абсолютное ускорение – одинаковое.Замечания: ω̄ k v̄ r1. āc = 0 при v̄ r = 0 − относительный покой ⇒ ār = 0 ⇒ āa = āeω̄ = 0 − поступательное переносное движениеВ этом случае āa = āe + ār - т.е. сложение ускорений как сложение скоростей.2. При поступательном (ω̄ = ε̄ = 0), прямолинейном и равномерном (āO = 0)движении подвижной системы координат (переносном движении) имеем:āe = āc = 0 тогда āa = ār т.е.
абсолютное и относительное ускорения вданном случае – совпадают. Подвижные системы координат, двигающиесяуказанным образом, называются инерциальными системами координат.3. Все приведённые кинематические теоремы имеют «мгновенный»характер, т.е. для некоторого конкретного момента времени .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.11 / 19Сложное движение твёрдого телаx3h3h1 C h2Tx3Ox2В ряде случаев движение твёрдого телатакже удобно представитькак результирующее нескольких,более простых в описании, одновременнопроисходящих составляющих движений.Пустьнекоторое тело T движется относительноSнекоторой неизменяемой среды SOa(т.е. S представляется как твёрдое тело)x2и сама среда S перемещается относительноx1абсолютной, неподвижной системыкоординат Oa x1 x2 x3 .Очевидно, что тело T также будетперемещаться и относительно неподвижной системы координат Oa x1 x2 x3 .rCrO x1Свяжем с телом T и его средою S сопутствующие системы координат:Oξi – с телом T ,Cηi – со средой S.O и C – фиксированные точки (полюсы) тела T и среды S, соответственно.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.12 / 19x3h3h1 C h2Tx3OrO x1rCSOax2x2Относительное движение тела –движение тела T по отношениюк среде S, т.е. движение системыкоординат Oξi по отношению к Cηi .Переносное движение тела –движение среды S относительнонеподвижной системы координат: т.е.движение системы Cηi к Oa xiАбсолютное движение тела –движение тела T по отношению кнеподвижной системе координат: т.е.движение системы Oξi к Oa xi .x1Пример. В качестве полезного примера рассмотрим сферическоедвижение тела, т.е.
вращение вокруг неподвижной точки и заоднополучим выражения проекций мгновенной угловой скорости твёрдоготела на оси подвижной и неподвижной систем координат через углыЭйлера и их производные.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.13 / 19Рассматриваемое тело участвует в сложном движении,состоящем из трёх одновременных вращений (мгновенных):→1. с угловой скоростью прецессии −̇ϕ вокруг оси Oxx3j1x2j3 x”2→2. с угловой скоростью нутации −̇ϕ 2 вокруг линии узлов ON jj13j2→x’3.
с угловой скоростью собственного вращения: −̇ϕ3j3j1 2вокруг оси Oξ3 .O→→→x2Мгновенная угловая скорость тела ω̄ = −̇ϕ 1 + −̇ϕ 2 + −̇ϕ3x1j3 x1j– это сумма угловых скоростей составляющих вращений.1j2 j231x3j2...Представление ω̄ в подвижном базисе Oξi и неподвижном Oxie = (ωξ1 , ωξ2 , ωξ3 ) и ω̄ = (ωx1 , ωx2 , ωx3 ): ω̄ = Aω.eобозначим как: ωNe и ω̄ вДля получения формул Эйлера, т.е. выражения компонент ωразных базисах введём вспомогательную прямую Ox02 в плоскостиOx1 x2 так, что Ox02 ⊥ ON и прямую Ox002 в плоскости Oξ1 ξ2 такчто Ox002 ⊥ ON .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
