1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . , N − 1).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.4 / 40Будем считать, что силы определены как функции времени,положений точек и их скоростей: F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N , v̄ 1 , . . . , v̄ N ).Тогда для каждой точки в инерциальной системе отcчёта справедливоустановленное ранее дифференциальное уравнение (II закон Ньютона):mν ¨r̄ ν = F̄ ν (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N , r̄˙ 1 , . .
. , r̄˙ N )(ν = 1, . . . , N )эквивалентное 3N скалярным дифференциальным уравнениям:mν ẍαν = Fνα (t, xβµ , ẋβµ )(ν, µ = 1, . . . , N ; α, β = 1, 2, 3)которые определяют математическую модель«система материальных точек»Предполагая известными начальные условия:xαν = xαν0 ,ẋαν = ẋαν0при t = 0получим соответствующую задачу Коши для функций xαν (t).Разрешимость полученной задачи (существование и единственностьрешения в некоторой окрестности начального положения)обеспечивается при условии на силы Fνα – непрерывность по времени инепрерывная дифференцируемость по координатам xβµ и скоростям ẋβµ .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.5 / 40Для исследования движения механической системы надо призаданных начальных условиях (Задача Коши) проинтегрироватьсистему уравнений и найти зависимость r̄ ν (t). Это в большинствеслучаев невозможно, особенно если число уравнений (точек) велико.Однако, при практическом исследовании движения очень часто нетнеобходимости изучать всю систему дифференциальных уравненийдвижения системы, а достаточно знать изменение со временем лишьнекоторых величин, общих для всей материальной системы иявляющихся функциями координат и скоростей точек системы (иможет быть времени), т.е. не зависящих от ускорений. В частностиесли такая функция (дифференциальное выражение) остаётсяпостоянной при действительном движении системы, то она называетсяи является первым интегралом уравнений движения т.е.
имеет видf (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N , r̄˙ 1 , . . . , r̄˙ N ) = constИспользование первых интегралов позволяет упростить задачуисследования движения системы, а иногда и решить её до конца.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.6 / 40Самый известный приём получения первых интегралов уравненийдвижения механической системы основан на изучении поведенияосновных динамических величин (характеристик) системы:количество движения,кинетический момент,кинетическая энергия.Изменение этих величин во времени описываетсяосновными теоремами динамики системы,которые непосредственно вытекают из уравнений движения.Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые изосновных динамических величин, остаются постоянными (т.е. первыеинтегралы уравнений движения) называют – законы сохранения.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.7 / 40ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР СИЛЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ТОЧЕККОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫЗАКОН СОХРАНЕНИЯКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.8 / 40Главный вектор системы сил — сумма всех сил(равнодействующих) приложенных к точкам системы:F̄ =NXF̄ νν=1Поскольку равнодействующая сила F̄ ν , приложенная к точке Pν равнаieсумме равнодействующих внутренних сил F̄ ν и внешних сил F̄ ν тогда:NNNN XNXXXXieieF̄ =F̄ ν +F̄ ν =F̄ νµ +F̄ νν=1ν=1ν=1 µ=1ν=1Но согласно III-му закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют двелюбые точки системы, равны по величине и направлены вдоль прямой,соединяющей точки, в противоположные стороны (это силы взаимногоiiпритяжения или отталкивания): F̄ νµ = −F̄ µν , поэтому, в выражении дляглавного вектора сил, внутренние силы – взаимно сокращаются.
Получили1 Свойство внутренних сил: главный вектор внутренних сил равен нулю:iF̄ =NXν=1iF̄ ν =NXiF̄ νµ = 0ν,µ=1Поэтому для главного вектора системы сил справедливо выражение:NPeeF̄ = F̄ =F̄ νν=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.9 / 40Центр масс механической системыЦентр масс системы — называетсяP1x3CrCOax1P2геометрическая точка C пространства,определяемая радиус-вектором:P3rn Pn,mnx2N1 Xr̄ C =r̄ ν mνMν=1где M =NXmν – масса системы.ν=1В скалярной (координатной) форме:xαCN1 X=xαν mνMν=1Замечание: для механической системы это не какая-то конкретная точкасистемы (материальная частица), а некоторая геометрическая точка впространстве, определяемая по данной формуле.Центр масс системы иногда называют также – центр инерции.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.10 / 40Количество движения механической системыКоличество движения системы материальных точекQ̄ =NXmν v̄ ν =NXq̄ νP1 P q22v2v1q1Pn,mn vn— количество движения материальной точки Pν ,ν=1ν=1qnгде q̄ ν = mν v̄ νv̄ ν – скорость точки.
Т.к. центр масс системы определяется выражениемNXM r̄ C =r̄ ν mν , то дифференцируя его по времени получим:M v̄ C =ν=1NXv̄ ν mν = Q̄, таким образом имеем другое выражение количестваν=1движения системы:Q̄ = M v̄ Cгде M – масса всей системы, v̄ C – скорость центра масс. Т.е. количестводвижения системы равно массе системы, умноженной на скорость её центрамасс.
Количество движения иногда называют также — импульс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.11 / 40Теорема об изменении количества движениямеханической системыСложив почленно уравнения движения системы получим:NNNXXXiemν āν =F̄ ν +F̄ ν ,ν=1ν=1NXν=1iiСогласно 1-му свойству внутренних силF̄ ν = F̄ = 0, поэтому справаNXν=1eeостаётся только F̄ =F̄ ν – главный вектор внешних сил.ν=1Учитывая постоянство массы каждой из точек системы mν имеем:NNNXXdv̄ νd XdQ̄mν āν =mν=mν v̄ ν =dtdtdtν=1ν=1ν=1⇒dQ̄e= F̄dtПроизводная по времени (изменение) количества движениясистемы равна главному вектору всех внешних сил системыБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.12 / 40Теорема об изменении количества движения механической системыЭту теорему можно представить в интегральной форме проинтегрировав повремени от t0 (начальный момент времени) до t1 (конечный момент):Zt1Q̄1 − Q̄0 =t0Zt1Выражение S̄ =eF̄ dtF̄ dt — называется импульс силы за время t1 − t0 ,t0причём очевидно: S̄(F̄ ) =NXS̄(F̄ ν ), если F̄ =ν=1NXF̄ ν .
Тогда получимν=1альтернативную формулировку теоремы:Разность значений количества движения системы в конечный ив начальный моменты времени (приращение за конечное время)равно сумме импульсов внешних сил (импульсу главного векторавнешних сил) за это времяЗамечание: интегральная форма теоремы используется в случае, когдаможно вычислить интеграл в правой части выражения, т.е.
когдаeeF̄ = F̄ (t) и не зависит от положений r̄ ν и скоростей r̄˙ ν точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.13 / 40Теорема о движении центра масс системыДифференциальной форме теоремы об изменении количества движенияпридадим ещё другой вид: т.к. Q̄ = M v̄ C , то с учётом постоянства массысистемы M имеемdv̄ CeM= F̄dtЦентр масс системы движется так же, как двигалось быматериальная точка, масса которой равнялась бы массе системы, поддействием силы, равной главному вектору всех внешних сил системыОтметим, что система, в частности , может состоять из одной единственнойточки, поэтому для точки также справедлива теорема об изменении еёNXdq̄= F̄ =F̄ µ , где q̄ = mv̄, Причём для однойколичества движения:dtµ=1точки все силы - внешние - поэтому индекс e можно не использовать.Учитывая, что m = const отсюда получаемmdv̄= F̄dt⇐⇒ основной закон динамики точки (II Закон Ньютона).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.14 / 40Закон сохранения количества движенияeЕсли всё время движения главный вектор внешних сил – ноль: F̄ = 0̄, то изтеоремы об изменении количества движения следует первый векторныйинтеграл или закон сохранения количества движения:−−−→Q̄ = const⇐⇒NX−−−→mν v̄ ν = constν=1Если главный вектор внешних сил – ноль, то количество движения – постоянноА из формулировки теоремы об изменении количества движения системы ввиде теоремы о движении центра масс системы, если главный векторвнешних сил – ноль, получим:−−−→v̄ C = constЕсли главный вектор внешних сил – ноль, то скорость центра масс – постояннаТакое происходит, например, для так называемых замкнутых (изолированных)систем, которые двигаются только под влиянием внутренних взаимодействий,т.е.
взаимодействий точек, входящих в систему, а взаимодействия с внешнимителами, не входящими в систему – отсутствуют, т.е. этих внешних тел какбудто нет, или они не влияют на движение системы материальных точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.15 / 40Закон сохранения количества движенияСтрого говоря, замкнутых систем в таком смысле не существует, хотя быпотому что гравитационное взаимодействие между материальными точкамисуществует всегда, на каком бы расстоянии точки друг от друга ненаходились, поэтому замкнутость системы следует рассматривать условно.Однако закон сохранения количества движения справедлив не только длязамкнутых систем, но и для общего случая, лишь бы главный векторeвнешних сил всё время движения был равен нулю: F̄ = 0̄.Проектируя закон сохранения количества движения системы на оси системыкоординат, получаем 3 скалярных первых интеграла:Qx = C1 ,Q y = C2 ,Q z = C3илиvCx = C10vCy = C20vCz = C30На практике как раз часто бывает справедливы не все, а 1 или 2 интеграла,т.е.
если Fxeα = 0 (проекция главного вектора внешних сил на ось Oxα )тогдадля этой координаты xα : Qxα = const или vCxα = const.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.16 / 40ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИМОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ(КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ)СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫЗАКОН СОХРАНЕНИЯКИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.17 / 40Момент силы F̄ относительно точки (центра) O —называется векторm̄O (F̄ ) = r̄ × F̄где r̄ – радиус-вектор точки P приложения−−→силы F̄ относительно точки O: r̄ = OP .Из свойств векторного произведения определяеммодуль момента силы по формуле:|m̄O (F̄ )| = |r̄| · |F̄ | · sin αFdmO(F)raO rPëèíèÿ äåéñòñèëû âèÿгде α = ∠(r̄, F̄ ) – наименьший угол между r̄ и F̄ .Направлен момент – по нормали к плоскости, содержащей r̄ и F̄ , в сторону,откуда «вращение» вокруг O, вызванное силой, происходило бы против ходачасовой стрелки (так называемое «положительное направление» вращения).Нетрудно видеть, что величина: d = |r̄|· sin α = |r̄| · sin(π−α) – плечо силы– равно расстоянию от точки O до линии действия силы – прямой накоторой лежит сила F̄ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
