1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 16
Текст из файла (страница 16)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.1 / 18Движение механической системыотносительно её центра массВведём важное понятие:движение системы относительно её центра масс– это движение точек системы относительно поступательнодвижущейся системы координат с началом в центре масс системы C.То есть это движение точек относительно системы координат Cxyz,которая называется — кёнигова система координат.У неё оси Cx, Cy, Cz всегда совпадаютс направлениями осей Oa x, Oa y, Oa zнекоторой инерциальной (неподвижной)системы координат Oa xyz. Введениеэтого движения позволяет получитьновые выражения для мер движениясистемы и новые уравнения для них.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11PnA rnAzzCOaxrnBrnByyxНовосибирск, 2017 г.2 / 18Ранее введено понятие кинетического момента системы относительноNXнекоторого центра A: L̄A =ρ̄νA × mν v̄ ν , где ρ̄νA – радиус-векторν=1−−→точки Pν системы относительно A, т.е.
ρ̄νA = APν , mν – масса Pν ,v̄ ν – скорость Pν в инерциальной системе координат Oa xyz.При этом точка A (центр) может, вообще говоря, перемещаться какугодно (необязательно неподвижная точка). Рассмотрим другой центрB, и найдем зависимость между кинетическими моментами системыотносительно двух различных центров A и B, в момент времени t.Пусть ρ̄νA и ρ̄νB радиус-векторы точки Pν относительно центров A и B,тогдаNN ³´XX−−→L̄B =ρ̄νB × mν v̄ ν =BA + ρ̄νA × mν v̄ ν =ν=1=NXν=1NX−−→BA×mν v̄ ν +ν=1Батяев Е. А.
(НГУ)N−−→ X−−→ρ̄νA ×mν v̄ ν = BA×mν v̄ ν +L̄A = BA×Q̄+L̄Aν=1ν=1ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.3 / 18Связь между кинетическими моментамисистемы относительно разных центров−−→L̄B = L̄A + BA × Q̄где Q̄ – количество движения механической системы.В частности, если A = C, т.е. является центром масс системы имеем:−−→L̄B = L̄C + BC × Q̄Альтернативное выражение:L̄B = L̄C + m̄B (Q̄)считая количество движения Q̄ = M v̄ C приложенным в центре масс :−−→m̄B (Q̄) = BC × Q̄ – момент вектора количества движения системы Q̄(приложенного в центре масс) относительно B.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.4 / 18В терминах введённого понятия движения системы относительно еёцентра масс рассмотрим:NXотносительный кинетический момент− L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νrсистемы относительно центра масс Cν=1где v̄ νr – скорость точки Pν в её движении относительно центра масс,т.е.
в кёниговой системе координат Cxyz, значит здесьv̄ νr – является относительной скоростью.По аналогии с этим, назовём обычный кинетический момент системыL̄C =NXρ̄ν × mν v̄ νν=1−абсолютный кинетический моментсистемы относительно центра масс CЗдесь v̄ ν – абсолютная скорость точки Pν системы, т.е. относительноабсолютной неподвижной системы координат Oa xyz.В силу того, что кёнигова система координат движется поступательно,переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны: v̄ νe = v̄ C .Поэтому абсолютная скорость точки Pν , участвующей в сложномдвижении, будет определяться формулой:v̄ ν = v̄ C + v̄ νr .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.5 / 18Вычислим теперь абсолютный кинетический момент механическойсистемы относительно C:NNXXL̄C =ρ̄ν × mν v̄ ν =ρ̄ν × mν (v̄ C + v̄ νr ) =ÃN!ν=1ν=1NXX=mν ρ̄ν × v̄ C +ρ̄ν × mν v̄ νrν=1ν=1Последнее слагаемое является относительным кинетическимNXмоментом системы относительно центра масс: L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νr .ν=1Так как центр масс находится в начале кёниговой системы координат,значит ρ̄C = 0, тогда выражение в скобках первого слагаемогоNXпреобразуется:mν ρ̄ν = M ρ̄C = 0.
Тогда имеем:ν=1L̄C = L̄Crт.е. абсолютный кинетический момент механической системыотносительно её центра масс — равен относительному кинетическомумоменту системы относительно её центра масс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.6 / 18Более того если рассмотреть относительный кинетический моментсистемы относительно любой другой точки A, не являющейсяцентром масс, то получим:NN ³´XX−→L̄Ar =ρ̄νA × mν v̄ νr =AC + ρ̄ν × mν v̄ νr =ν=1ν=1NNν=1ν=1X−→ X= AC ×mν v̄ νr +ρ̄ν × mν v̄ νrПоследнее слагаемое является относительным кинетическимNXмоментом системы относительно центра масс: L̄Cr =ρ̄ν × mν v̄ νr .А сумма в первом слагаемом преобразуется:NXν=1mν v̄ νr = M v̄ Cr = 0ν=1поскольку скорость центра масс в кёниговой системе координат v̄ Cr –это скорость начала координат C, т.е. равна нулю. Тогда имеем:L̄Ar = L̄CrТ.е.
относительные кинетические моменты системы (в ее движенииотносительно центра масс) одинаковы для всех точек пространства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.7 / 18Связь между абсолютным и относительнымкинетическими моментами системыа поскольку L̄C = L̄Cr , получим:L̄Ar = L̄C−→Поскольку L̄A = L̄C + AC × Q̄, то справедливо следующее выражение−→L̄A = L̄Ar + AC × Q̄т.е. абсолютный кинетический момент системы относительнопроизвольного центра A равен сумме ее относительного кинетическогомомента (одинакового для всех точек пространства: L̄Ar = L̄Cr = L̄C )и момента вектора количества движения системы Q̄ относительноцентра A – в предположении, что он приложен в центре масс системы.Альтернативное выражение:L̄A = L̄Ar + m̄A (Q̄)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.8 / 18Своеобразный аналог полученного выражения для кинетического моментасистемы можно сформулировать и для кинетической энергии, если ввестиNTr =1X2mν vνr2 ν=1−относительная кинетическая энергиямеханической системы(т.е. кинетическая энергия относительного движения системы по отношениюк центру масс в кёниговой системе координат).ТЕОРЕМА Кёнига:Кинетическая энергия системы равна суммекинетической энергии, которую имела бы материальная точка, двигающаясякак центр масс системы с массой, равной массе системы, и кинетическойэнергии движения системы относительно центра масс системы.Доказательство:NN1X1X2T =mν vν2 =mν (v̄ C + v̄ νr ) =2 ν=12 ν=1ÃN!NNX11X1X222mν v̄ νr ·v̄ C += M vC+(M v̄ Cr )·v̄ C +Trm ν vC +mν vνr=2 ν=122ν=1ν=1но относительная скорость центра масс: v̄ Cr = 0 окончательно получимвыражение:12T = M vC+ Tr¥2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.9 / 18Теорема об изменении относительного кинетического моментамеханической системы относительно её центра массИз теоремы об изменении абсолютного кинетическогомомента системы относительно центра масс:dL̄Ce= M̄Cdtиспользуя полученное равенство абсолютного и относительногокинетических моментов относительно центра масс L̄C = L̄Cr , получимdL̄Cre= M̄CdtПроизводная по времени относительного кинетическогомомента системы относительно её центра масс равнаглавному моменту внешних сил относительно центра массТ.е. вид этой теоремы для абсолютного и относительногокинетических моментов механической системы — одинаковый.На практике, для исследования вращательного движения, чаще всегоиспользуется именно эта теорема об изменении относительногокинетического момента системы относительно центра масс.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.10 / 18Теоремы динамики системы в неинерциальной системе отсчетаЕсли рассмотреть движение механической системы в произвольно двигающейся,неинерциальной, системе отсчета (подвижная среда типа моря или воздуха, ноперемещающаяся как абсолютное твердое тело), тогда, как мы видели ранее, дляописания движения любой точки в таком сложном движении, необходимоecдобавить к обычным силам – силы инерции: J̄ ν = −mν āeνJ̄ ν = −mν ācν –eпереносную и кориолисову, где āν – переносное ускорение точки Pν (ускорение тойточки среды или тела, с которой Pν совпадают в данный момент времени) иācν = 2ω̄ × v̄ νr – кориолисово ускорение точки.Тогда дифференциальные уравнения относительного движения точки имеют вид:eiecmν āνr = F̄ ν + F̄ ν + J̄ ν + J̄ ν(ν = 1, . .
. , N )– записанные покомпонентно в абсолютной инерциальной системе координат, илиeieceν + Feν + Jeν + Jeνe νr = Fmν a(ν = 1, . . . , N )– представленные покоординатно в неинерциальной, переносной системе координат.Как обычно принято: āνr и v̄ νr – ускорение и скорость точки системы вотносительном движении. Связь между одноименными векторами, записаннымикоординатами в инерциальной (c̄) и неинерциальной системе (ec) – традиционная:c̄ = Aec, где A – матрица поворота от Oξα к Oxα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.11 / 18Теорема об изменении количества движения механическойсистемы в неинерциальной системе отсчетаПолученные ранее все теоремы динамики получены из дифференциальныхдвижения точек (II-ой закон Ньютона для каждой точки). Следовательно,все сформулированные теоремы будут верны и в неинерциальной системеотсчета если к силам, приложенным к системе (внешним и внутренним)добавить переносные и кориолисовы силы инерции для ее точек.При этом следует формально силы инерции относить к внешним силам.Теорема об изменении количества движения в неинерциальнойсистеме отсчета в самом общем случае имеет вид:erdQee +Jee + Jec=Fdter =QNXeνr = M veCr – относительное количество движения системы,mν vν=1e e – главный вектор внешних сил (главный вектор внутренних сил – ноль),FNNXXee =ee , Jec =e c – главные вектора переносных и кориолисовыхJJJννν=1ν=1сил инерции.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.12 / 18Теорема об изменении кинетического момента относительнонеподвижного центра в неинерциальной системе отсчетаТеорема об изменении кинетического момента в неинерциальнойсистеме отсчета (для неподвижного относительно неинерциальной системыцентра A):e AreJJdLf +Mf e +Mf c=MAAAdte Ar =LNXeνr – относительный кинетический момент системы,eνA × mν vρν=1−−→eνA = APν – радиус-вектор точки Pν относительно центра A,ρef – главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно A,MAJf e=MANXee – главный момент переносных сил инерции,eνA × Jρνν=1Jf c=MANXee – главный момент кориолисовых сил инерции.eνA × Jρνν=1Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
