1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Собственно линии Ox02 и Ox002 - это прямые в которые переходитϕ2ϕ3ϕ1Ox02 −→Ox002 −→Oξ3ось Ox2 при поворотах последовательно: Ox2 −→Кинематические формулы Эйлера8< ω ξ1ω ξ2:ω ξ3===ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ̇2 cos ϕ3ϕ̇1 sin ϕ2 cos ϕ3 − ϕ̇2 sin ϕ3ϕ̇1 cos ϕ2 + ϕ̇38< ωx1ωx2:ωx3===ϕ̇2 cos ϕ1 + ϕ̇3 sin ϕ2 sin ϕ1ϕ̇2 sin ϕ1 − ϕ̇3 sin ϕ2 cos ϕ1ϕ̇1 + ϕ̇3 cos ϕ2Они широко применяются при исследовании движения твёрдого тела. VIDEOБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.14 / 19Как мы видели, любые вектора (в том числе и угловую скорость) можноразложить в различных базисах (осях). В дальнейшем, чтобы не путаться,будем обозначать вектора разложенные в неподвижном базисе Oa xi обычно- как c̄, а вектора (те же самые) в подвижной системе координат Cηi как – ec.Связь между одноименными векторами осуществляется через обычнуюматрицу поворота A(t): c̄ = Aec. Тогда в ведённых терминах:e r (в Cηi )Относительной угловой скоростью тела — ω̄ r (в Oa xi ) или ωназывается угловая скорость относительного движения тела, т.е. движениятела T относительно среды S – по отношению к системе Cηi (ω̄ r = Aeω r ).Относительным угловым ускорением тела — ε̄r (в Oa xi ) или eεr (в Cηi )называетсяугловое ускорение относительногодвижения тела!Ãedeωrdω̄ rdeωre, ε̄r = Aeεr = A=.εr =dtdtdtАналогично определяются угловые скорости и ускорения переносного иабсолютного движения:µ¶dω̄ eПереносная угловая скорость (ускорение) тела — ω̄ eε̄e =dt– для движения системы координат Cηi относительно Oa xi .
µ¶dω̄ aАбсолютная угловая скорость (ускорение) тела — ω̄ aε̄a =dt– для движения системы координат Oξi относительно Oa xi .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.15 / 19ТЕОРЕМА сложения угловых скоростей:Абсолютная угловая скорость тела равна векторной сумме переносной иотносительной угловых скоростей тела.ω̄ a = ω̄ e + ω̄ rx3Доказательство:Рассмотрим произвольную точку M тела T .При сложном движении тела эта точка такжесовершает движение.По теореме сложения скоростей для точки M :v̄ a = v̄ e + v̄ rh3h1 C h2rCTx3rOOx1x2SMrOax2x1¾v̄ a − абсолютная скорость M (тела T )заданыотносительно Oa xiv̄ e − переносная скорость M (среды S)компонентамив Oa xiv̄ r − относительная скорость M тела T относительно Cηier – относительная скорость точки M тела TПричём v̄ r = Aev r , где vотносительно Cηi , заданная в Cηi .
A – матрица перехода от Cηi к Oa xi .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.16 / 19v̄ O − скорость полюса Ov̄ a = v̄ O +ω̄ a ×ρ̄OM , ω̄ a − абсолют. угл. скорость T−−→ρ̄OM − радиус-вектор OMv̄ C − скорость точки Cv̄ e = v̄ C +ω̄ e ×ρ̄CM , ω̄ e − перенос. угл. скорость S−−→ρ̄CM − радиус-вектор CMerO − скорость полюса Ove r − относит. угл. скорость Ter = verO +ωe r ×ρeOM , ωv−−→e OM − радиус-вектор OMρ9относительно =заданыOa xiкомпонентами;в Oa x i9относительно =заданыOa xiкомпонентами;в Oa xi9относительно =заданыCηiкомпонентами;в CηiДля последних векторов, заданных в Cηi , очевидны выражения в Oa xi :erO , ω̄ r = Aωe r , ρ̄OM = Aρe OMv̄ rO = AvПосле подстановки приведённых выражений в теорему сложения скоростей получим:erO + ωer × ρe OM )v̄ O + ω̄ a × ρ̄OM = v̄ C + ω̄ e × ρ̄CM + A(veOM , получим после перестановкиУчитывая, что: ρ̄CM = ρ̄CO + ρ̄OM = ρ̄CO + Aρместами слагаемых:erO + ω̄ e × ρ̄OM + A(ωer × ρe OM )v̄ O + ω̄ a × ρ̄OM = v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO + AvЗаметим, что (v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO ) – переносная скорость точки O тела, т.е.erO = v̄ rO - относительная скорость O (относительно Cηi )v̄ C + ω̄ e × ρ̄CO = v̄ eO , а Avзаданная компонентами в Oxi .
Тогда из теоремы сложения скоростей для O имеемerO = v̄ eO + v̄ rO = v̄ Ov̄ C + ω̄ e × ρ̄CO + AvБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.17 / 19Таким образом теорема сложения скоростей для точки M тела сведётся к видуer × ρeOM )ω̄ a × ρ̄OM = ω̄ e × ρ̄OM + A(ωДалее учтём свойство для ортогональных матриц:Свойство: для любой ортогональной матрицы A и любых векторовe , b̄ = Aee×ee × Aeā = Aab справедливо равенство:A(ab) = Aab = ā × b̄.Объяснение: Т.к.
A – матрица поворота, то можно сначала умножить векторыe×ee×ee и Ae(ab) а потом повернуть A(ab) или сначала повернуть каждый (Aab) аe × Aeпотом умножить (Aab) — результативный вектор всегда одинаковый.Тогда для последнего слагаемого имеем:er × ρe OM ) = Aωe r × Aρe OM = ω̄ r × ρ̄OMA(ωПодставляя последнее выражение в формулу сложения скоростей для M имеемω̄ a × ρ̄OM = ω̄ e × ρ̄OM + ω̄ r × ρ̄OM = (ω̄ e + ω̄ r ) × ρ̄OMТ.к. M – произвольная точка тела, значит вектор ρ̄OM – любой, тогда получим:ω̄ a = ω̄ e + ω̄ r¥Здесь ω̄ a и ω̄ e – относительно неподвижной системы координат Oa xi , а ω̄ r –относительно подвижной системы координат Cηi . Но все вектора покомпонентнозаданы в терминах неподвижной системы координат Oa xi .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.18 / 19ТЕОРЕМА сложения угловых ускорений: Если твёрдое тело совершаетсложное движение, то в каждый момент времени его абсолютное угловоеускорение равно векторной сумме переносного, относительного идобавочного угловых ускорений.Доказательство: Продифференцируем по времени формулу из теоремысложения угловых скоростей тела, учитывая относительно каких системкоординат заданы, входящие в неё угловые скорости:ε̄a =dω̄ adω̄ edω̄ rdeω̄ r=+= ε̄e ++ ω̄ e × ω̄ r = ε̄e + ε̄r + ε̄cdtdtdtdtИтакε̄a = ε̄e + ε̄r + ε̄cгде ε̄c = ω̄ e × ω̄ r – добавочное ускорение.¥Замечание: Видно, что переносная и относительная угловые скорости входятнесимметрично в добавочное ускорение, поэтому важно какое вращениесчитать за переносное, а какое за относительное.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 8ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ ТОЧКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.1 / 14Законы механики Ньютона, как уже говорилось, справедливы нев любой, а только в инерциальной системе отсчёта. Такаясистема характеризуется тем свойством, что относительно неёвсякая свободная изолированная точка движется прямолинейно иравномерно, т.е. по инерции. (I Закон Ньютона)В результате действия силы (для неизолированной точки)ускорение, приобретаемое свободной точкой, пропорциональносиле и направлено в ту же сторону (II Закон Ньютона).Однако, в ряде случаев представляет интерес движение точкиотносительно системы отсчёта, не являющейся инерциальной,т.е. которая может как угодно перемещаться по отношению кинерциальной системе отсчёта.Такое движение называют – относительное.Важно поэтому установить основной закон, управляющийотносительным движением точки.
Это позволит рассматриватьширокий класс задач и, в частности, оценить ту ошибку, которуюдопускают пренебрегая неинерциальностью системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.2 / 14Рассмотрим материальную точку M массой m, находящуюся под действиемсилы F̄ (t, r̄, v̄). Свяжем с некоторым телом сопутствующую системукоординат Oξ1 ξ2 ξ3 , которая перемещается относительно инерциальнойсистемы координат Oa x1 x2 x3 произвольным заданным образом.Уравнение (векторное) движения точки M в абсолютной неподвижнойсистеме координат Oa xi по II Закону Ньютона:md2 r̄= F̄ (t, r̄, v̄)dt2x3d2 r̄Заменим 2 = āa = āe + ār + ācdtпо теореме Кориолиса:Oax3Ox2x1rOx2x1где вектора J̄ e , J̄ c имеют вид:J̄ e = −māe = −m(āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)) −Батяев Е.
А. (НГУ)Frmār = F̄ (t, r̄, v̄) + J̄ e + J̄ cJ̄ c = −māc = −m 2 ω̄ × v̄ rM−переносная силаинерциикориолисова сила инерцииЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.3 / 14Согласно кинематическим формулам Эйлера угловая скорость ω̄ выражаетсячерез углы Эйлера, являющиеся функциями t, значит ω̄ = ω̄(t). Отсюда˙ – также функция времени: ε̄ = ε̄(t). Т.е. силыугловое ускорение: ε̄ = ω̄edρ̄инерции являются функциями переменных: t, ρ̄ и v̄ r =:dtÃ!edρ̄J̄ e = J̄ e (t, ρ̄), J̄ c = J̄ c t,dtСила F̄ (t, r̄, v̄) определяет, как и говорилось, величину механическоговзаимодействия материальной точки с другими материальными телами.И зависит, фактически, не от абсолютного положения (r̄) и абсолютнойскорости (v̄), а от взаимного относительного расположения и ототносительной скорости взаимодействующих тел (скоростей точекотносительно друг друга). По этой причине силу F̄ можно представить как:F̄ (t, r̄, v̄) = F̄ (t, r̄ − r̄ ∗ , v̄ − v̄ ∗ )где r̄ ∗ и v̄ ∗ абсолютные радиус-вектор и скорость той точки M∗ с которойвзаимодействует точка M .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.4 / 14Для любых двух точек справедливы следующие соотношения:¾r̄ 1 = r̄ O + ρ̄1=⇒ r̄ 2 − r̄ 1 = ρ̄2 − ρ̄1r̄ 2 = r̄ O + ρ̄2e dρ̄1 v̄ 1 = v̄ e1 + v̄ r1 = v̄ O + ω̄ × ρ̄1 +eedρ̄dρ̄dt2⇒ v̄ 2 −v̄ 1 =− 1 = v̄ r2 −v̄ r1dtdte dρ̄v̄ 2 = v̄ e2 + v̄ r2 = v̄ O + ω̄ × ρ̄2 + 2 dtпотому чтосилы, зависящие от скорости, это силы контактного взаимодействия(вязкого трения, сопротивления). Поэтому для этих сил ρ̄2 = ρ̄1 , а значитпереносное вращение ω̄ × (ρ̄2 − ρ̄1 ) = 0. Отсюда:F̄ (t, r̄, v̄) = F̄ (t, r̄ − r̄ ∗ , v̄ − v̄ ∗ ) = F̄ (t, ρ̄ − ρ̄∗ , v̄ r − v̄ r∗ ) = F̄ (t, ρ̄, v̄ r )Учитывая, что относительное ускорение ār равно второй относительнойde2 ρ̄производной от радиус-вектора: ār = 2 , а также зависимость сил инерцииdtот переменных, получим:!Ã!Ãeedρ̄de2 ρ̄dρ̄+ J̄ e (t, ρ̄) + J̄ c t,m 2 = F̄ t, ρ̄,dtdtdtБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.5 / 14Основной закон динамики относительного движения точкиВ сопутствующей системе координат Oξα , учитывая введённые ранееобозначенияρ̄ = Aeρ,edρ̄deρ=A ,dtdtede2 ρ̄d2 ρ=A 2,2dtdte,F̄ = AFe e,J̄ e = AJecJ̄ c = AJe, Je e, Je c – вектора, заданные покоординатно в сопутствующих осяхe, Fгде ρ(A – матрица перехода от Oξα к Oxi ), получим:Основной закон динамикиотносительного движения точкиed2 ρem 2 =Fdtµdeρe,t, ρdt¶¶µdeρeee) + J c t,+ J e (t, ρdtОбратим внимание, что он записан в неинерциальной системе координат OξαА выражение в рамке, приведённое выше, является аналогичной формойосновного закона относительного движения точки, но записанногопокомпонентно в инерциальной системе координат Oa xi .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.6 / 14Сравнивая его со II Законом Ньютон൶d2 r̄(t)dr̄m= F̄ t, r̄,dt2dtможно сделать вывод, что уравнение относительного движения можносоставить так же, как и уравнения абсолютного движения, если кдействительным силам прибавить переносную и кориолисову силыинерции. Т.е. J̄ e и J̄ c являются указанными поправками длянеинерциальной системы координат.Эти векторы были названы силами, благодаря их силовой размерности(масса·ускорение) и непосредственной возможности измерять ихдинамометром. На самом деле их нельзя отождествлять с реальнымидействительными силами, потому что действительные силы – всегдасилы взаимодействия материальных тел, а силы инерции этимсвойством не обладают.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
