1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На точку действуетNсила F̄ и реакции N̄ – нормальная, Q̄ – сила трения.Основной закон движения несвободной точки имеет вид:mā = F̄ + N̄ + Q̄Спроектируем все силы на естественные оси (τ̄ , n̄, b̄):FQLF̄ = (Fτ , Fn , Fb ) − компоненты активной силыN̄ − лежит в нормальной плоскости ⇒ N̄ = (0, Nn , Nb )v̄Q̄ = −kN = −kN τ̄ − лежит в касательном направлении ⇒ Q̄ = (−kN, 0, 0)vБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.12 / 18Дифференциальные уравнения движения точки вдоль линии вестественных осяхДифференциальные уравнения движения точки вдоль линии в естественныхpосях:= Fτ − kN, где N = Nn2 + Nb2 ms̈mṡ2 /ρ = Fn + Nn0= Fb + NbПоследние 2 уравнения дают выражения компонент нормальной реакции отst, ṡ, s̈:µ 2¶2ṡ2ṡNn = m − Fn , Nb = −Fb⇒N=m − Fn + Fb2ρρА первое уравнение позволяет определить движение, иззакона движения точки в естественной форме:sµms̈ = Fτ − kṡ2m − Fnρ¶2+ Fb2Fτ , Fn , Fb – известные непрерывно-дифференцируемыe функции от t, ṡ, s̈Добавляя к ним начальные данные: s(0) = s0 , ṡ(0) = ṡ0 , получим задачуКоши, имеющую единственное решение.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.13 / 18Равновесие точкиГоворят, что точка находится в равновесии относительно некоторойинерциальной системы отсчёта, если её положение в этой системе неменяется со временем (или, что то же самое, если её скорость тождественноравна нулю).Zdr̄≡ 0 ⇔ v̄(t) ≡ 0 ⇒ r̄(t) = v̄dt+c̄ ≡ c̄ = constr̄(t) ≡ c̄ = const ⇒ v̄(t) =dtТЕОРЕМА: Для равновесия первоначально покоившейся свободной точкинеобходимо и достаточно равенство нулю равнодействующей всех сил,приложенных к точке.Доказательство:Необходимость: Пусть точка покоится: v̄(t) ≡ 0, тогда по II Закону Ньютона:F̄ = mdv̄=0dtДостаточность: Пусть v̄(0) = 0, и F̄ = 0 тогда по II Закону Ньютона:dv̄dv̄m= F̄ = 0 т.е.= 0, следовательно v̄(t) ≡ const = v̄(0) = 0.dtdtБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.¥14 / 18Итак, II Закон Ньютона в равновесии принимает специальную форму:F̄ = 0уравнения равновесия точки (свободной)−Заметим, что хоть в общем случае F̄ = F̄ (t, r̄, v̄), но для равновесия:F̄ = F̄ (r̄)от скорости очевидно не зависит т.к. она равна нулю, а в независимости отвремени убеждаемся дифференцируя II Закон Ньютона по времени:dF̄d2 v̄= m 2 = 0.dtdtЗамечание 1: Если точка не свободна, тогда по основному закону динамикинесвободной точки необходимо к активным силам добавить реакции связей:F̄ + R̄ = 0−уравнения равновесия несвободной точкиНапример, если поверхность гладкая, то уравнения равновесия принимаютвид:F̄ + N̄ = 0 или F̄ + λ∇f = 0Добавляя к этим трём уравнениям выражение связи f (r̄) = 0 получим 4уравнения которые позволяют найти 4 неизвестных: λ, x1 , x2 , x3 .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.15 / 18Замечание 2: На самом деле можно было и не доказывать«достаточность» в теореме о равновесии точки. Потому чтоI Закон Ньютона четко говорит, что «всякая свободная материальнаяточка, в инерциальной системе отсчета, при отсутствии сил (или, чтото же самое, при равенстве нулю равнодействующей активных сил иреакций, приложенных к точке) двигается равномерно и прямолинейно−−−→(v̄(t) ≡ const) или, как частный случай, покоится (v̄(t) ≡ 0̄)»Система (совокупность) сил, равнодействующая которых равна нулю,называется – уравновешенной.Будет точка находиться в покое или двигаться указанным образом,при действии уравновешенной системы сил, определяется только еёначальной скоростью v̄(0) = v̄ 0 .Если v̄ 0 6= 0 – тогда точка будет двигаться со скоростью v̄(t) ≡ v̄ 0 .Такое движение называют – инерционное (или «по инерции»).Если же окажется что v̄ 0 = 0̄ – тогда точка будет находиться в покое.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.16 / 18Замечание 3: Сформулированное выше понятие «равновесия» точки,на самом деле определяет только её «покой».Более корректно было бы определить равновесие точки – какравенство нулю равнодействующей всех активных сил и реакций,приложенных к точке.К чему это приводит – указано выше (I Закон Ньютона).В этом смысле уместным является также использование такихвыражений как «состояние равновесия» и «положение покоя».Однако, в силу исторически сложившихся обстоятельств,равновесие точки – часто отождествляют с её покоем.Тем не менее, необходимо понимать, что в общем случаеравновесие точки – не эквивалентно её покою.Ещё раз напомним, что I Закон Ньютона не делает никакой разницымежду покоем и равномерным прямолинейным движением точки.Эти частные виды движения точки являются состояниями равновесиядля изолированной точки, т.е.
это естественное состояние свободнойматериальной точки в отсутствии каких-либо сил.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.17 / 18Принцип ДаламбераСилой инерции точки – называется вектор, равный по величинепроизведению массы точки на её ускорение и направленный противускорения: J̄ = −mā (это не обычная настоящая сила, а тольковектор, имеющий размерность силы, поэтому так и называется).Принцип Даламбера: Если в любой момент времени к движущейсянесвободной точке приложить её силу инерции, то она уравновеситдействующие на точку активные силы и реакции связей:F̄ + R̄ + J̄ = 0Важно – форма этих уравнений как при равновесии, но для динамики(принцип эффективен в динамике систем точек).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 5КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.1 / 18Задача кинематики твёрдого тела состоит в разработке способовзадания движения тела, а также способов, позволяющих понебольшому числу кинематических характеристик, общих для всеготела, находить кинематические характеристики каждой точки тела.Для геометрического описания положения тела в пространстверассмотрим два положения твёрдого тела, которые будем называтьначальное положениеиконечное положение.При переходе тела из начального положения в конечное оно совершаетнекоторое перемещение.Будем рассматривать это перемещение, совершенно отвлекаясь отпромежуточных положений, через которые тело проходит во времядвижения из начального положения в конечное, и от времени, втечение которого совершается этот переход.Таким образом, рассматриваемое перемещение определяется тольконачальным и конечным положениями тела.Если конечное положение тела совпадает с его начальным положением,то никакого перемещения нет.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.2 / 18Векторно-матричное задание движениятвёрдого телаАбсолютно твёрдое тело — это такая механическая система (т.е.совокупность взаимодействующих материальных точек), у которой взаимныерасстояния между точками – постоянные (не меняются), непрерывнозаполняющая конечный объём пространства.Oa x1 x2 x3 — абсолютная (неподвижная)x3x3система координат. O – произвольнаяx3 Mx2точка тела (фиксированная в теле) – полюс.OrOax1rOx2x1 x1x2Ox1 x2 x3 — система координат, получающаяся изOa x1 x2 x3 параллельным переносом в полюс O.Oξ1 ξ2 ξ3 — сопутствующая система координат,жёстко связанная с твёрдым телом (вморожена),перемещается вместе с телом (как и тело).Пусть M – некоторая точка тела.
Будем обозначать через r̄ и r̄ Oрадиус-вектора для точек M и O, задаваемые покомпонентно в абсолютнойсистеме координат Oa x1 x2 x3 (или, что то же в Ox1 x2 x3 ). НапримерOOr̄ = (x1 , x2 , x3 ), r̄ O = (xO1 , x2 , x3 )Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.3 / 18Векторно-матричное задание движениятвёрдого телаMx3x3x2Ox2x1x1−−→OM =½−−→Для вектора OM введём следующиеобозначения в зависимости отсистем координат в которых он может бытьвыражен компонентами (координатами):e = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) − в сопутствующей системе Oξiρρ̄ = (x1 , x2 , x3 ) − в абсолютной системе Oxie = const – постоянный.Относительно Oξi тело неподвижно, поэтому ρОтносительно Oxi тело перемещается, значит ρ̄ = ρ̄(t) – переменный,т.е. является вектор-функцией.
Между ними имеет место соотношение:ρ̄(t) = A(t)eρгде A – матрица перехода от системы Oξ1 ξ2 ξ3 к системе Ox1 x2 x3(от координат в Oξi к координатам в Oxi – для одного и того же вектора).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.4 / 18Векторно-матричное задание движениятвёрдого телаx3Mx3x3x2OrOax1rOx2x1 x1Положение тела известно,если известно положение любой точки тела.Положение точки M тела в абсолютнойсистеме координат Oa x1 x2 x3задаётся равенством:x2r̄ = r̄ O + ρ̄илиr̄ = r̄ O + AeρПри движении тела в общем случае изменяется• положение полюса O —r̄ O = r̄ O (t);• положение системы Oξ1 ξ2 ξ3 относительно Ox1 x2 x3(ориентация тела в абсолютном пространстве) — A = A(t).Будем предполагать, что все функции от времени r̄ O (t), A(t) –дважды непрерывно дифференцируемые функции.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.5 / 18Векторно-матричное задание движениятвёрдого телаMx3x3x2Ox2x1x1Матрица A, задавая переход между двумяортонормированными базисами системOξ1 ξ2 ξ3 и Ox1 x2 x3 – является ортогональной:A∗ = A−1(A∗ – сопряжённая если Aā · b̄ = ā · A∗ b̄,причём сопряжение матрицы в R эквивалентнотранспонированию: A∗ = AT ), тогдаAA∗ = AAT = AA−1 = EЗначит её элементы связывают6 независимых выражений:3XAij Ajk = δik(i, k = 1, 2, 3)j=1Следовательно из 9 элементов {Aij } матрицы A, независимыми –через которые определяются все остальные – являются только 3.Значит A – можно задать с помощью 3-х независимых параметров.При разном выборе этих параметров A будет выглядеть по-разному.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.6 / 18Углы Эйлераx3x3j2j1j3Ox1j1j3j2x2j3 x”2j2x’j1 2x2xN1Плоскость Oξ1 ξ2 пересекаетсяс плоскостью Ox1 x2 по прямойON – которая называется линия узлов.1. угол ϕ1 = ∠(Ox1 , ON ) - угол прецессииизменяется вокруг оси Ox3 (0 6 ϕ1 < 2π),2. угол ϕ2 = ∠(Ox3 , Oξ3 ) - угол нутацииизменяется вокруг оси ON (0 6 ϕ2 6 π),3. угол ϕ3 = ∠(ON, Oξ1 )- угол собственного вращенияизменяется вокруг Oξ3 (0 6 ϕ3 < 2π)Три угла ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 не зависят один отдругого и могут быть выбраны совершенно произвольно, т.е. задаваятри числа, являющиеся значениями ϕi мы определим ориентацию телав абсолютном пространстве (хотя и неоднозначно: при ϕ2 = 0, π углыϕ1 и ϕ3 не определены, а только ϕ1 + ϕ3 ).VIDEO 1VIDEO 2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.7 / 18Переход от системы координат Ox1 x2 x3 к системе координат Oξ1 ξ2 ξ3осуществляется при помощи 3-х последовательных конечных поворотов:ϕ1ON, x02 , x31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
