1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 3
Текст из файла (страница 3)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.10 / 18Касательный векторРадиус-вектор r̄ точки M относительно какой-нибудь фиксированнойточки O0 будет сложной функцией времени: r̄ = r̄(s(t)). Введёмτ̄ =dr̄ds– касательный вектор к траекторииОчевидно,pPчто он всегда направлен по касательной к траектории и|dr̄| =(dxi )2 = ds ⇒ |τ̄ | = 1 – единичный векторts=s(t)M+OrБатяев Е. А. (НГУ)O’ЛЕКЦИЯ 2_Новосибирск, 2017 г.11 / 18Нормальный вектор¯ 2 ¯¯ d r̄ ¯d2 r̄Рассмотрим вектор 2 . Обозначим через k = ¯¯ 2 ¯¯ – его модуль, аdsdsчерез n̄ – единичный вектор этого направления. Определим:k n̄ =d2 r̄dτ̄=2dsdsn̄ – главный нормальный вектор (нормаль). Он перпендикуляренкасательнойк траектории:¯¯ddτ̄dτ̄dτ̄τ̄ ·τ̄ = 1 ¯¯⇒·τ̄ +τ̄= 0 ⇒ 2 ·τ̄ = 0 ⇔ 2k n̄τ̄ = 0 ⇔ n̄⊥τ̄dsdsdsdsНаправлен n̄ в сторону вогнутости траектории.âûïóvêë¯ 2 ¯ uX µ 2 ¶2òðàåêò îñòü¯ d r̄ ¯ uMdxîðèè–кривизнаik = ¯¯ 2 ¯¯ = tt2траекторииdsdsOr âîãiρ=1– радиус кривизны траекторииkБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2nròðà íóòîñåêò òüîðèèO’Новосибирск, 2017 г.12 / 18Бинормаль. Естественный трёхгранник ФренеВведём третий вектор: b̄ = τ̄ × n̄ – вектор бинормали(очевидно: b̄⊥τ̄ , b̄⊥n̄, |b̄| = 1 – единичный).{τ̄ , n̄, b̄} – естественный базис (трёхгранник, натуральный триэдр)Свойства:bñïðÿìëÿþùàÿïëîñêîñòüs=s(t)òð + OMtíîðìàëüíàÿïëîñêîñòüàå êòîðèÿñîïðèêàñàþùàÿñÿïëîñêîñòün1. τ̄ , n̄, b̄ – являются функциями s, т.е.зависят от точки (как и в криволинейнойортогональной системе координат);_ 2. {τ̄ , n̄, b̄} – ортонормированный базис,однозначно определяется в любойточке траектории;3. τ̄ α = τ̄ α+1 × τ̄ α+2 (α = 1, 2, 3; α 6 3) –образуют правую тройку векторов(τ̄ 1 = τ̄ , τ̄ 2 = n̄, τ̄ 3 = b̄)Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.13 / 18Естественные компоненты скорости иускорения точкиdr̄(s(t))dr̄ ds== τ̄ ṡ. Учитывая, что естественныйdtds dtбазис определяется единственным образом, т.е. разложение любого векторав нём также единственно, т.е. для скорости точки:По определению v̄ =v̄ = vτ τ̄ + vn n̄ + vb b̄ = ṡτ̄⇒vτ = ṡ,vn = vb = 0что понятно, т.к. v̄ направлен по касательной к траектории.dv̄dτ̄ (s)ṡdτ̄ dsdṡṡ2Ускорение: ā ===ṡ + τ̄= τ̄ s̈ + n̄.dtdtds dtdtρАналогично, в силу единственности разложения ā = aτ τ̄ + an n̄ + ab b̄ имеем:an = ṡ2 /ρ = vτ2 /ρ, ab = 0v̄ τ = ṡ τ̄āτ = s̈ τ̄– касательнаяṡ2v̄ n = 0ān =n̄ – нормальнаяскорость и ускорение (векторы!)ρv̄ b = 0āb = 0– бинормальнаяНаправлены эти компоненты скорости и ускорения в те же стороны что исоответствующие вектора естественного трёхгранника (с учётом знака ṡ, s̈).aτ = s̈,Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.14 / 18Естественные компоненты скорости иускорения точки. Простейшие типы движенийv = |vτ |a=pa2τ + a2nïîêàñàòåëüíîéЕсли v ≡ const - движение называется равномерное⇒aτ = v̇τ = s̈ = 0vЕсли vτ – положительно, тогда M двигаетсяâ ñòîðîíóâîãíóòîñòè_в положительном направлении отсчёта дуг OM .dv>0 dtdvЕсли v(t) - убывает - движение замедленное<0dt8 2dv>>ṡ, s̈ − одного знака (ускоренное)>< dt > 0 :dv 2222v = vτ = ṡ ⇒= 2ṡs̈ ⇒>dt2>>: dv < 0 : ṡ, s̈ − разных знаков (замедленное)dtЕсли an = 0, но v 6= 0 – движение прямолинейное (ρ = ∞)Если v(t) - возрастает - движение ускоренноеЕсли an 6= 0 – движение криволинейное,Батяев Е.
А. (НГУ)при ρ ≡ const – движение круговоеЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.15 / 18Связь между координатным и естественнымспособами описания движенияПусть движение точки задано координатным способом, т.е. известныдекартовы координаты точки как функции времени:x = x(t),y = y(t),z = z(t)Перейти к естественному способу задания движения означает найти по этимуравнениям траекторию точки и закон её движения по траектории.Данные уравнения являются параметрическими уравнениями траектории.Явные уравнения траектории получаются исключением времени t.Для определения уравнения движения по траектории рассмотрим выражениеэлемента дуги линии в декартовых координатах:pds = dx2 + dy 2 + dz 2Выражая дифференциалы координат: dx = ẋ dt, dy = ẏ dt, dz = ż dtпосле подстановки и интегрирования по времени получимZ ps(t) =ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt+s0(s0 −из начальных условий)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.16 / 18Определение естественных компонент скоростии ускорения через декартовы координатыdr̄= (ẋ, ẏ, ż) = vτ τ̄dtПолагаем, что vτ > 0, т.е. движение точки происходит по увеличению s.ppdsdx2 + dy 2 + dz 2v̄vτ ===⇒vτ = v = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2τ̄ =dtdtv2d r̄ā = 2 = (ẍ, ÿ, z̈) = aτ τ̄ + an n̄dtdvτv̄ẋẍ + ẏ ÿ + ż z̈=⇒aτ == ā · τ̄ = ā · = pdtvẋ2 + ẏ 2 + ż 2v̄ =a=илиpa2τ + a2npБатяев Е. А. (НГУ)an =a2 − a2τpẍ2 + ÿ 2 + z̈ 2|ā × v̄|ā × τ̄ = aτ τ̄ × τ̄ + an n̄ × τ̄ = −an b̄ =⇒ an = |ā × τ̄ | =vp2222(ÿ ż − z̈ ẏ) + (z̈ ẋ − ẍż) + (ẍẏ − ÿ ẋ)vpan =ρ=222anẋ + ẏ + ż=⇒ЛЕКЦИЯ 2где a =Новосибирск, 2017 г.17 / 18Пример: Круговое движениеtvaRatbs = Rϕ ⇒ ṡ = Rϕ̇ ⇒ s̈ = Rϕ̈M⇒ v̄ = Rϕ̇τ̄ ,sanj +_Oāτ = Rϕ̈τ̄ ,ān = Rϕ̇2 n̄ω = ϕ̇ – угловая скорость,ε = ϕ̈ – угловое ускорение⇒ v̄ = Rω τ̄ ,a=Rān = Rω 2 n̄āτ = Rετ̄ ,pε2 + ω 4tg ∠(ā, ān ) =aτ|ε|= 2anωПри равномерном круговом движении:ϕ̈ = ε = 0 (aτ = 0)⇒Батяев Е.
А. (НГУ)⇔tg ∠(ā, ān ) = 0ЛЕКЦИЯ 2ϕ̇ = ω ≡ const⇒β=0Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3ДИНАМИКА ТОЧКИЗАКОНЫ НЬЮТОНАЗАДАЧИ ДИНАМИКИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.1 / 17До сих пор мы рассматривали точку и её движение с геометрическойточки зрения, не касаясь специфики её как частицы материи, т.е.
какматериальной точки. Теперь мы займёмся исследованием причин,вызывающих движение точки и факторов, влияющих на движение.Свободная материальная точка – точка, которая можетзанимать в пространстве произвольное положение и двигаться влюбом направлении с какой угодно скоростью.Иначе точка называется – несвободная,а условия, стесняющие её движение, называются – связи.Законы механики сформулированы для свободных тел(свободных материальных точек)Изолированная материальная точка – точка, которая невзаимодействует с другими материальными телами.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.2 / 17СилаПутём наблюдений и опытов было установлено, что:движение тела определяется его взаимодействием с другими телами, т.е.причиной движения тела и изменения его движения является взаимодействие.В механике принимается, что такоевзаимодействие тел определяется векторной величиной F̄ , называемой силой.Сила – является мерой механического взаимодействия тел,Fт.е. F̄ обладает величиной (модулем) |F̄ | и направлением.M1 кг · 1 мЕдиница силы: 1 Ньютон =1 сек2F̄ = F̄ (t, r̄, v̄)Экспериментально установлено, что в общем случае:т.е. вектор силы является вектор-функцией времени t, координат(радиус-вектора) r̄ и скорости v̄ точки M к которой сила приложена.При этом имеется в виду положение (радиус-вектор) r̄ и скорость v̄ точки –по отношению к другим телам, с которыми оно находится во взаимодействии.Например от t зависят силы вибрации (F = a sin ωt), от r̄ – силы гравитации(F̄ = −αrr̄), сила упругости (F̄ = cr̄), от v̄ – силы трения, сопротивлениядвижению (F̄ = −αvv̄).От ускорения ā точки M сила F̄ в классической механике не зависит.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.3 / 17Различают силы контактного взаимодействия (непосредственногосоприкосновения, давление прижатых тел, трение) и силы дальнодействия(гравитационные, электромагнитные).Измерять силу можно статически – уравновешивая её известной силой (спомощью динамометра), и динамически на основе законов механики.Как действуют эти силы, т.е. к чему, каким последствиям приводят,отвечают аксиомы, постулаты, законы механики. Но гораздо важнее знать,что происходит с телом, когда на него не действует никаких сил, т.е. когдаоно изолированно.
Логично предположить, что в этом случае тело покоится.Но ранее мы убедились, что понятие покоя и движения – относительны.Т.е. всё зависит с каким телом мы свяжем систему отсчёта. Естественнопоэтому отдать предпочтение тем из них, где закономерности движенияимеют наиболее простой вид. Такими системами являются так называемыеИнерциальные (галилеевы) системы отсчёта— системы отсчета, в которых всякая свободная изолированная точка(не подверженная действию сил), движется равномерно и прямолинейно−−−→(v̄(t) ≡ const) или покоится, как частный случай движения (v̄(t) ≡ 0̄)Именно для таких систем сформулировал основные законы механики И.Ньютон.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.4 / 17Все фактически рассматриваемые системы отсчёта являютсяинерциальными лишь с определённой точностью.
Установлено, чтогелиоцентрическая система отсчёта (начало в центре масс Солнца,координатные оси фиксируются по удалённым звёздам) – инерциальнас огромной степенью точности. Однако для многих явленийинерциальной можно считать систему, связанную с Землей(геоцентрическая). Всё зависит от скорости исследуемого явления илипроцесса, продолжительности, размеров или габаритов тел-участникови т.д. – всё относительно.Законы классическоймеханики сформулировалИсаак Ньютон (1643-1727)и опубликовал в 1686 г.в трактате«Математические началанатуральной философии».Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.5 / 17I Закон Ньютона (закон инерции)Всякая свободная материальная точка находится в состоянии покоя илиравномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно невынуждается приложенными силами изменить это состояние.1 утверждение: постулирование существования инерциальной системы отсчёта2 утверждение: естественным состоянием точки (в отсутствии сил) являетсяПокой или равномерное прямолинейное движениеНикакой разницы между ними не делается. Отсюда, логическиследует вывод: если какая-то система инерциальная (а такиесуществуют по первому утверждению), а другая системаотносительно неё покоится либо поступательно (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
