1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 8
Текст из файла (страница 8)
в этот момент времени ω̄ = 0).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.17 / 18Ускорения точек телаДифференцируя по времени формулу распределения скоростей в твёрдомтеле v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄ имеем:˙ × ρ̄ + ω̄ × ρ̄˙ā = āO + ω̄˙ – угловое ускорение тела.Вектор ε̄ = ω̄С учётом формулы Эйлера получимформулу распределения ускорений точек твёрдого телаā = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄)āO – полюсное ускорение (или ускорение полюса O)āε = ε̄ × ρ̄ – вращательное ускорение вокруг вектора углового ускорения ε̄āω = ω̄ × (ω̄ × ρ̄) – осестремительное ускорение при вращении вокругвектора угловой скорости ω̄ (или, вокруг мгновенной оси вращения)Эти названия вектора-составляющие полного ускорения точки телаполучили от своих направлений. Итак мы получили:ТЕОРЕМА Ривальса: В произвольном движении твёрдого тела ускорениелюбой точки тела равно векторной сумме полюсного, вращательного иосестремительного ускорений.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 6ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГНЕПОДВИЖНОЙ ОСИСФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛАПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.1 / 19Кинематические формулы для скоростей и ускорений точек тела:v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄ – формула распределения скоростей точек в твёрдом телеā = āO + ε̄ × ρ̄ + ω̄ × (ω̄ × ρ̄) – формула распределения ускорений точектела (теорема Ривальса).v̄ O , āO – скорость и ускорение полюса O (фиксированной точки в теле).ω̄, ε̄ – векторы угловой скорости и ускорения тела (независимые от полюса).−−→ρ̄ = OM – радиус-вектор, проведённый из полюса O в точку M тела,представленный компонентами в неподвижной системе координат Ox1 x2 x3 .Рассмотрим несколько практических частных случаев движения с точкизрения кинематики, в силу их важности и наглядности демонстрацииприложения приведённых формул — сферическое и плоское.Как уже говорилось, при чисто поступательном движении тела, все еготочки описывают конгруэнтные (одинаковые) траектории и в каждыймомент времени имеют равные друг другу скорости и ускорения.
Для такогодвижения тела уравнения движения тела имеют вид:x0α = x0α (t),ϕα = 0(α = 1, 2, 3)а вся кинематика вполне описывается кинематикой одной точки.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.2 / 19Следует иметь в виду, что при поступательном движении телатраектории его точек могут быть самыми разнообразнымиконгруэнтными кривыми.Вид их полностью определяется уравнениями движения полюса.Равные у всех точек тела скорости и ускорения при поступательномдвижении называют соответственноскорость и ускорение тела.Итак, поступательное движение является единственным движениемтвёрдого тела, где можно говорить о скорости и ускорении тела вцелом (как для одной точки).Рассмотрим другое движение тела, не являющееся поступательным ивходящее во вторую часть формулы для самого общего движения тела:абсолютноедвижение=r̄(t)=Батяев Е. А. (НГУ)поступательное(с полюсом)r̄ O (t)ЛЕКЦИЯ 6++вращательное(вокруг полюса)A(t)eρНовосибирск, 2017 г.3 / 19Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной осиx3 x3Если при движении тела расстояния всех еготочек до двух неподвижных центров остаютсяпостоянными, то такое движение тела называютO1– вращение вокруг неподвижной оси,проходящей через эти центры.VIDEOx2 Пусть «в твёрдом теле» неподвижные точки O и O1jПрямая, проходящая через них, называетсяOвращения.
Понятно, что все точки телаx2 –наосьосивращения имеют нулевые скорости (чтоx1 j x1можно взять как определение оси вращения).Направим ось Ox3 неподвижной системы координат и ось Oξ3 подвижной,жёстко связанной с телом системы координат, по оси вращения.Ориентация тела относительно неподвижной системы координатопределяется единственным углом ϕ(t) между осями Ox1 и Oξ1 .Очевидно, что траектории всех точек тела, не принадлежащих оси вращения,являются окружностями с центрами N на оси вращения и лежащими вплоскостях, перпендикулярных оси вращения: M N ⊥ Ox3 .
Пусть точка M−−→e (eтела задана в сопутствующих осях радиус-вектором ρρ = OM в Oξ1 ξ2 ξ3 ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.4 / 19Тогда r̄ = ρ̄ = Aeρ,cos ϕ − sin ϕ 00 −ϕ̇ 000A = sin ϕ cos ϕ 0 ⇒ ȦA−1 = ϕ̇ 0 0 ⇒ ω̄ = 0 , ε̄ = 0 00100 0ϕ̇ϕ̈Таким образом, вектор угловой скорости ω̄направлен по оси вращения в ту сторону,откуда, если смотреть с конца вектора ω̄,вращение видно происходящимпротив хода часовой стрелки.Угловое ускорение ε̄ также направлено по осивращения, причём в ту же сторону, что и ω̄ –если ϕ̇ · ϕ̈ > 0 (ускоренное вращение)и в противоположную сторону,если ϕ̇ · ϕ̈ < 0 (замедленное вращение).xx3 x3 a aeawvNMw arx2eOx21Так как угловые кинематическиеj x1характеристики в данном случае имеюттолько одну ненулевую компоненту, то подугловой скоростью и угловым ускорением подразумевают ϕ̇ = ω и ϕ̈ = ε.Точно так же будет и в плоском движении.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.5 / 19Для вычисления скорости и ускорения точкиM примем начало координат O – за полюс.Тогда v̄ O = āO = 0.Для скорости тогда имеем формулу:v̄ = ω̄ × ρ̄Нетрудно понять, что v̄ лежит в плоскости,перпендикулярной оси вращения,т.е.
направлено по касательной к траектории,являющейся окружностью.x1Итак: v̄ ⊥ ω̄, v̄ ⊥ ρ̄.x3 x3 a aeawvNMw arx2eOx2jx1Его модуль |v̄| = |ω̄| · |ρ̄| · sin α = |ω| · d = |ϕ̇| · dгде α = ∠(ω̄, ρ̄), d – радиус окружности,по которой движется точка: d = M N .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.6 / 19Для ускорения из теоремы Ривальса получим:Вращательное ускорение āε = ε̄ × ρ̄направлено по касательной к траектории M(окружности радиуса d).Её модуль aε = ε · ρ · sin α = ε · d = |ϕ̈|d.Осестремительное ускорение āω = ω̄ × v̄лежит на перпендикуляре, проведённомк оси вращения из точки Mи направлено к оси вращения.Её модуль aω = ω 2 d = ϕ̇2 d.x1ā = ε̄ × ρ̄ + ω̄ × v̄x3 x3 a aeawvNMw arx2eOx2jx1Отметим, что в данном случаево вращательном движении тела вокруг неподвижной осивращательное ускорение точки M является – касательным ускорением,а осестремительное ускорение точки M – нормальным ускорением:āε = āτ ,āω = ān√Модуль полного ускорения M (т.к.
āε ⊥ āω ): a = d ε2 + ω 4 .Угол β между ā и āω : tg β = aε /aω = ε/ω 2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.7 / 19Движение вокруг неподвижной точки (сферическое)Пусть твёрдое тело имеет одну неподвижную точку O, являющуюсяполюсом. Тогда снова v̄ O = āO = 0 и формулы для v̄ и ā те же, что ив предыдущем случае вращения тела вокруг неподвижной оси.Значит в данный момент времени скорости точек тела v̄ = ω̄ × ρ̄ т.е.какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью ω̄вокруг неподвижной оси, на которой в этот момент времени лежит ω̄.Такая ось называется – мгновенная ось вращения,VIDEO 1а вектор ω̄ – мгновенная угловая скорость.
VIDEO 2 VIDEO 3Ясно, что все точки мгновенной оси вращения имеют скорости равныенулю. Но только в данный момент времени, т.к. мгновенная осьвращения, как и вектор мгновенной угловой скорости ω̄, перемещаетсяи в теле и в абсолютном пространстве. Следует отметить, что придвижении твёрдого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случаедвижения свободного твёрдого тела) ω̄ не является производнойнекоторого угла ϕ, т.к. нет такого фиксированного направления, т.е.неподвижной оси, вокруг которой совершается поворот на угол ϕ.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.8 / 19О мгновенном кинематическом состоянии твёрдого тела• Если в данный момент времени скорости v̄ всех точек тела одинаковы(равны между собой), то говорят, что тело совершает мгновеннопоступательное движение со скоростью v̄ (в этот момент времени ω̄ = 0).В частности, если v̄ = 0, то тело находится в мгновенном покое.Замечание: Речь идёт только о распределении скоростей точек телав данный момент времени. Ускорения точек не обязаны быть одинаковыми.• Если в данный момент времени точки некоторой прямой в твёрдом телеимеют скорости равные нулю, то говорят, что тело совершает мгновенноевращение вокруг этой прямой (мгновенная ось вращения).Замечание: Речь идёт о распределении скоростей точек некоторой прямой втвёрдом теле и только в данный момент времени.
Мгновенная осьвращения, в частности, в разные моменты времени может занимать разныеположения и в движущемся теле и в абсолютном пространстве.• Мгновенное движение твёрдого тела, в самом общем случае, разлагаетсяна два типа простейших мгновенных движений:1. поступательное движение со скоростью, равной скорости какого-то полюса,2. вращение вокруг оси, проходящей через этот полюс, направленной по ω̄.Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
