1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Т.е. плечо d – длина перпендикуляра, опущенного източки O на линию действия силы. ТогдаmO (F̄ ) = d · FБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.18 / 40llmO(F)eFO2ml(F)r2Момент силы F̄ относительно оси l– называется проекция на эту ось моментасилы m̄O (F̄ ) относительно произвольнойточки O, взятой на этой оси:ml (F̄ ) = m̄O (F̄ ) · ēPr1O1Составим разность:где ē – единичный вектор (орт)направления оси l.
Т.е. ml (F̄ ) – скаляр.Убедимся, что момент силы относительнооси не зависит от выбора точки O на оси.Для O1 : m̄O1 (F̄ ) = r̄ 1 × F̄ ,для O2 : m̄O2 (F̄ ) = r̄ 2 × F̄ .m̄O1 (F̄ ) · ē − m̄O2 (F̄ ) · ē = (r̄ 1 × F̄ ) · ē − (r̄ 2 × F̄ ) · ē = ((r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ ) · ē−−−→−−−→но r̄ 1 − r̄ 2 = O1 O2 , который коллинеарен ē, а вектор O1 O2 × F̄ – ортогонален ēСледовательноm̄O1 (F̄ ) · ē − m̄O2 (F̄ ) · ē = ((r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ ) · ē = 0Т.е моменты силы относительно оси, вычисленные по определению (черезмомент силы относительно разных точек на этой оси) – совпадают.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.19 / 40Рассмотрим плоскость π,перпендикулярную оси l и содержащуюточку P , к которой приложена сила F̄ .Представим радиус-вектор r̄ и силу F̄в виде суммы двух составляющих:lFe|F ||F|ea||rPr̄ = r̄ ⊥ + r̄ k ,F̄ = F̄⊥k+ F̄ ,⊥где r̄ ⊥ , F̄ – проекции r̄ и F̄ ³на плоскость´πkkkkа r̄ , F̄ – проекции на ось l r̄ , F̄ k ē .Подставляя эти разложения в формулуOдля момента силы относительно оси lи пользуясь свойствами векторного и скалярного произведений получим:r ||rpml (F̄ ) = (r̄ × F̄ ) · ē = ((r̄ ⊥ + r̄ k ) × (F̄отсюда имеем:⊥k⊥+ F̄ )) · ē = (r̄ ⊥ × F̄ ) · ē⊥ml (F̄ ) = ±|r̄ ⊥ × F̄ |⊥где «+» – если (r̄ ⊥ × F̄ ) и ē – направлены в одну сторону и «−» – если в⊥⊥разные стороны. Поскольку |r̄ ⊥ × F̄ | = |r̄ ⊥ | · |F̄ | · sin α где α -наименьший⊥⊥угол между r̄ ⊥ и F̄ , тогда вводя плечо силы F̄ как и ранее: d = |r̄ ⊥ | · sin α,получим альтернативное выражение для момента силы относительно оси:ml (F̄ ) = ±d · F ⊥Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.20 / 40Пусть F̄ = (Fx , Fy , Fz ), r̄ = (x, y, z) – компоненты силы и радиус-вектораточки приложения силы, соответственно, в декартовой прямоугольнойсистеме координат Oxyz с началом в O. Тогда из определения момента силыотносительно точки O получим его компоненты в этой системе координат:¯¯¯ īj̄k̄ ¯¯¯m̄O (F̄ ) = r̄×F̄ = ¯¯ xyz ¯¯ = ī (yFz −zFy )+j̄ (zFx −xFz )+k̄(xFy −yFx )¯ Fx Fy Fz ¯Очевидно, что величиныmx (F̄ ) = yFz − zFy , my (F̄ ) = zFx − xFz , mz (F̄ ) = xFy − yFxпомоментами силы F̄ относительно осей Ox, Oy, Oz¡ определению являются¢mx (F̄ ) = m̄O (F̄ ) · ī . Отсюда сразу следует полезноеСвойство: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда,когда сила и ось лежат в одной плоскости.Например, пусть сила F̄ = (Fx , Fy , Fz ), приложенная к точке Pс радиус-вектором r̄ = (x, y, z) лежит в плоскости, содержащей ось Oz.FxxЭто означает, справедливость отношения:= . Отсюда имеем:Fyymz (F̄ ) = xFy − yFx = 0.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.21 / 40Рассмотрим систему N точек Pν , обозначимieF̄ ν = F̄ ν + F̄ ν – равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν ,а r̄ ν – радиус-вектора точек Pν относительно центра O.Главный момент системы сил относительно точки O— называется сумма моментов всех сил, приложенных к точкамсистемы относительно того же центра O:M̄O =NXm̄O (F̄ ν ) =ν=1NXr̄ ν × F¯νν=1Главный момент системы сил относительно оси l— называется проекция на эту ось главного момента M̄O ,вычисленного относительно какой-либо точки O на этой оси l:Ml = M̄O · ēгде ē – единичный вектор направления оси l.
Независимость Ml отвыбора точки O на оси очевидна.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.22 / 40NPieieЗапишем главный момент сил в виде: M̄O =r̄ ν ×(F̄ ν +F̄ ν ) = M̄O +M̄Oν=1NNPPiiiM̄O =m̄O (F̄ ν ) =r̄ ν × F̄ ν − главный момент внутренних сил,eM̄Oν=1NP=ν=1em̄O (F̄ ν )ν=1NP=ν=1er̄ ν × F̄ ν−главный момент внешних сил.Ранее мы вводили выражение для равнодействующей внутренних сил:NNNNPPPPiiiiiim̄O (F̄ ν ) =m̄O (F̄ νµ ) =r̄ ν × F̄ νµ .F̄ ν =F̄ νµ , тогда M̄O =ν=1µ=1rnν,µ=1iPn F inmν,µ=1iСогласно III-му Закону Ньютона: F̄ νµ = −F̄ µν ,так что для любых 2-х точек системы Pν , Pµ имеем:FmniPm m̄O (F̄ iνµ )+m̄O (F̄ iµν ) = r̄ν ×F̄ iνµ +r̄µ ×F̄ iµν = (r̄ν −r̄µ )×F̄ iνµ−−−→iВектор r̄ ν − r̄ µ = Pµ Pν – коллинеарен F̄ νµ , поэтому−−−→iiiOPµ Pν × F̄ νµ = 0̄ = m̄O (F̄ νµ ) + m̄O (F̄ µν )2 Свойство внутренних сил: главный момент внутренних сил равен нулю:rmiM̄O =NXim̄O (F̄ ν ) = 0̄ν=1eА для главного момента системы сил справедливо: M̄O = M̄O =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10NPν=1Новосибирск, 2017 г.em̄O (F̄ ν )23 / 40Пусть ρ̄ν - радиус-вектора точек Pν системыотносительно некоторой точки A, называемой центром.aPnrnМомент количества движения точки Pν(кинетический момент) относительно центра A— называется вектор:l̄νA = ρ̄ν × q̄ νт.е.vn qnrn rn AO rAlnAl̄νA = ρ̄ν × mν v̄ ν = mν ρ̄ν × v̄ νМомент количества движения (кинетический момент) точки Pνотносительно оси — называется проекция на эту ось момента количествадвижения точки относительно любого центра, выбранного на данной оси:(например относительно оси Oz)ezzPnlνz = l̄νA · ēz(A ∈ Oz, ēz - единичный вектор оси Oz).В независимости кинетического момента относительнооси lνz от выбора центра A на этой оси можноубедиться так же как и при определении момента силыотносительно оси.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10lnArnlnzНовосибирск, 2017 г.AezO24 / 40Момент количества движения (кинетический момент)системы точек относительно центра A — называется вектор:L̄A =NXν=1l̄νA =NXρ̄ν × q̄ ν =ν=1NXmν ρ̄ν × v̄ νν=1Момент количества движения (кинетический момент)системы точек относительно оси — называется проекция наэту ось момента количества движения точек системы относительнолюбого выбранного на данной оси центра: (например относительнооси Oz)Lz = L̄A · ēz(A ∈ Oz, ēz - единичный вектор оси Oz).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.25 / 40Теорема об изменении кинетического момента системыотносительно произвольно двигающегося центра AКинетический моментPN системы относительно центра A определялся нами поформуле: L̄A = ν=1 ρ̄ν × mν v̄ ν , где ρ̄ν – радиус-вектор точки Pν системыотносительно точки A, mν – её масса. При этом точка A – абсолютно любая.Точка A может быть неподвижной, а может и совершать какое-то движение.Обозначим v̄ A – её скорость в выбранной инерциальной системе координат.Продифференцируем по времени обе части выражения, учитывая mν = constNNNN³´XXXXdρ̄νdρ̄νdL̄Aie=×mν v̄ ν +ρ̄ν ×mν āν =×mν v̄ ν +ρ̄ν × F̄ ν + F̄ νdtdtdtν=1ν=1ν=1ν=1Последняя сумма с учётом 2-го свойства внутренних сил равна главномуNXeeмоменту внешних сил относительно центра A: M̄A =ρ̄ν × F̄ ν .ν=1dρ̄νdr̄ νdr̄ AУчитывая, что ρ̄ν = r̄ ν − r̄ A , откуда=−= v̄ ν − v̄ A , получим:dtdtdtÃ!NNXdL̄A Xeee=(v̄ ν − v̄ A )×mν v̄ ν +M̄A =mν v̄ ν ×v̄ A +M̄A = M v̄ C ×v̄ A +M̄Adtν=1ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.26 / 40dL̄Ae= M̄A + M v̄ C × v̄ AdtНаибольшее практическое применение имеют две формы этой теоремы:– для неподвижной точки A, т.е. когда v̄ A = 0– когда A совпадает с центром масс C или движется как C, т.е. v̄ A = v̄ CТеорема об измененииТеорема об изменениикинетического моментакинетического моментаотносительно неподвижного центраотносительно центра массdL̄Ae= M̄AdtdL̄Ce= M̄CdtПроизводная по времени от кинетического момента системыотносительно неподвижного центра (центра масс системы) равнаглавному моменту внешних сил относительно этого центра (центрамасс системы)Таким образом теоремы об изменении кинетического момента системы длянеподвижного центра A и для центра масс C имеют одинаковый вид: влевой части уравнения стоит производная времени от кинетическогомомента относительно рассматриваемой точки (A или C), а в правой –главный момент внешних сил относительно этой же точки.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.27 / 40Следует сказать, что при вычислении кинетического момента системыиспользуются абсолютные скорости точек. Поэтому теорема об изменениикинетического момента относительно центра масс в приведённом виде, насамом деле, почти не используется. Дальше мы приведём другой видпоследней теоремы, более ценный для приложений, для так называемогоотносительного кинетического момента системы L̄Cr в её движенииотносительно центра масс, при определении которого используютсяотносительные скорости точек.Теорему об изменении кинетического момента системы относительнонеподвижного центра можно записать в интегральной форме,проинтегрировав от начального t1 до конечного t2 моментов времени:Zt2L̄A2 − L̄A1 =eM̄A dtt1справа в выражении стоит импульс момента внешних сил.NRt2Rt2 PeeИспользуется такая форма крайне редко, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
