1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 15
Текст из файла (страница 15)
M̄A dt =ρ̄ν × F̄ ν dt дляt1t1 ν=1eинтегрирования которого требуется исходное знание функций ρ̄ν (t) и F̄ ν (t).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.28 / 40Закон сохранения кинетического моментаотносительно неподвижного центраeЕсли всё время движения главный момент системы сил M̄A = 0̄ (напримерв случае замкнутых систем) то из теоремы следует закон сохранениякинетического момента:−−−→L̄A = constЕсли главный момент внешних сил относительно неподвижногоцентра – равен нулю, то кинетический момент системыотносительно этого же центра – постоянен (сохраняется)Если L̄A = (LAx , LAy , LAz ) – проекции вектора кинетического момента насоответствующие оси координат, то в этом случае получаем 3 первыхскалярных интеграла:LAx = const = C1 ,LAy = C2 ,LAz = C3Чаще всего справедливы не все 3, а лишь 1 или 2 интеграла, при условииравенства нулю главного момента внешних сил относительносоответствующих осей.
Т.е. если MeAxα = 0 тогда LAxα = const.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.29 / 40ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛЫПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫКИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙЭНЕРГИИ СИСТЕМЫЗАКОН СОХРАНЕНИЯПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.30 / 40Элементарная работа и мощность силыВведём вектор элементарного перемещения dr̄, который определяетсмещение точки по траектории за бесконечно малый промежуток времени dt.Направлен dr̄ – очевидно по касательной к траектории, что хорошо видно изdr̄определения скорости: v̄ =⇒dr̄ = v̄dtdtПусть F̄ ν = (Fνx1 , Fνx2 , Fνx3 ) – равнодействующая всех сил (внутренних ивнешних), приложенных к точке Pν , а dr̄ ν = (dx1 , dx2 , dx3 ) – еёэлементарное перемещение.Элементарная работа δAνсилы F̄ ν на перемещении dr̄ν− называется их скалярное произведение:δAν = F̄ ν · dr̄ ν =3XFνxα dxαα=1Далее будем убирать индекс ν для сокращения записи.Выражение для элементарной работы можно полнее раскрыть еслирассмотреть величины, происходящие из неё:dr̄δA= F̄ ·= F̄ · v̄ = N – мощность силы (в момент времени).dtdtЗамечание:если F̄ ⊥ dr̄, тогда δA = 0Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.31 / 40Элементарная работа и силовая функцияОбозначение δA – указывает, что элементарная работа не обязательноявляется полным дифференциалом некоторой функции координат. Ведь вобщем случае сила F̄ = F̄ (t, r̄, v̄) – любая, не обязательно что выражениедля элементарной работыδA = Fx1 dx1 + Fx2 dx2 + Fx3 dx3это полный дифференциал какой-то скалярной функции U (x1 , x2 , x3 ), т.е.выражение вида∂U∂U∂Udx1 +dx2 +dx3dU =∂x1∂x2∂x3Т.е. ниоткуда не следует, что обязательно: Fxα (t, r̄, v̄) =∂U (r̄)∂xαВо-первых, понятно, что такое возможно только для случая силового поля,когда F̄ = F̄ (t, r̄) – сила от скорости не зависит.Во-вторых, необходимо выполнение определённого критерия на силу F̄ (t, r̄)для существования скалярной функции U (t, r̄) — силовая функция,зависящей от положения точки r̄, т.е. координат xα и, ещё, может быть, отвремени t, которая определяет силу указанным выше способом черезчастные производные.
Этот критерий мы приведём ниже без доказательства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.32 / 40Потенциальная энергия и потенциальные силыФункция противоположная силовой функции: Π = −U — называетсяпотенциал или потенциальная энергия, а силы, для которыхFxα (t, r̄) = −∂Π(t, r̄)— называются потенциальные. Иначе говоря:∂xαСиловое поле F̄ (t, r̄) называется – потенциальное, если существуетоднозначная скалярная функция Π(t, r̄), такая что сила выражается спомощью неё в виде:∂ΠF̄ = −∂r̄Силовое поле называется стационарным если оно не зависит явно от времениF̄ = F̄ (r̄)Потенциальное стационарное силовое поле называется — консервативное.В случае консервативного силового поля потенциальная энергия такжеявляется функцией, независящей от времени: Π = Π(r̄), а для определяемыхdΠею потенциальных сил справедливо выражение: F̄ = − .dr̄Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.33 / 40Критерий потенциальности стационарных силСтрого говоря, сформулированный здесь критерий потенциальности сил относитсятолько к случаю стационарного силового поля – это критерий существованияполного дифференциала для работы стационарного силового поля – т.е. критерийконсервативности стационарного силового поля. Однако, приведённое определениепотенциальных сил используется и для общего случая сил, зависящих от времени.Критерий потенциальности стационарных сил: для потенциальностисилы F̄ (r̄) (силового поля), являющейся непрерывно-дифференцируемойфункцией координат, необходимо и достаточно выполнения условий:∂Fxβ∂Fxα=∂xβ∂xαα 6= β,α, β = 1, 2, 3Замечание: Функция Π(r̄) для консервативного поля всегда определяется сточностью до аддитивной постоянной (постоянного слагаемого): Π(r̄) + C.Для неконсервативного потенциального силового поля, т.е.
нестационарного,потенциал Π(t, r̄) определяется с точностью до аддитивной функции,зависящей от времени f (t): Π(t, r̄) + f (t).dΠИтак, элементарная работа консервативногоδA = F̄ · dr̄ = −· dr̄ = −dΠсилового поля – полный дифференциал:dr̄Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.34 / 40Работа силы на конечном перемещенииZt1A=t0Zr̄ 1полная работа силы на конечном перемещенииδA = F̄ · dr̄ −из начального положения r̄ 0 (при t0 )в конечное положение r̄ 1 (при t1 )r̄ 0Например, для постоянной силы F̄ = const на прямолинейном пути:A = F · S где S – длина пройденного пути.Полная работа консервативного силового поля на конечном перемещенииточки:Zt1A = −dΠ = Π0 − Π1t0равна разности значений потенциальной энергии системы в начальный t0 иконечный t1 моменты времени: Π0 = Π(r̄ 0 ), Π1 = Π(r̄ 1 ).
Видно, что в этомслучае полная работа не зависит от пути перехода точки из начальногоположения r0 в конечное положение r1 (при условии однозначности Π(r̄)).Это свойство часто берут как определение потенциального силового поля.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.35 / 40Элементарная работа всех сил системы точекЭлементарная работа δA всех сил системы точек – определяетсяпутём суммирования по всем точкам системы:δA =NXδAν =ν=1NXF̄ ν · dr̄ ν =ν=1NX(Fνx1 dx1 + Fνx2 dx2 + Fνx3 dx3 )ν=1Заметим, что равнодействующая сила, приложенная к точке Pν выражаетсяieв виде F̄ ν = F̄ ν + F̄ ν , отсюдаδA =NXF̄ ν · dr̄ ν =ν=1NXiF̄ ν· dr̄ ν +ν=1NXeF̄ ν · dr̄ ν = δAi + δAeν=1т.е.
в работу сил системы точек входит работа и внешних и внутренних сил.Работа внутренних сил в общем случае не равна нулю – в отличие отглавного вектора и главного момента системы сил – т.к. работа выражаетсячерез скалярное произведение: силы на перемещение, а перемещения точексистемы, в принципе, могут быть совершенно произвольными.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.36 / 40Теорема об изменении кинетической энергиимеханической системыКинетическая энергия системы−называется величина T ,определяемую по формуле:где Tν =T =NXν=1Tν =NX1ν=12Nmν vν2 =1Xmν vν22 ν=11mν vν2 – кинетическая энергия точки Pν .2Пусть точки Pν системы переместились так, что их радиус-векторы r̄ ν винерциальной системе отсчёта получили приращения dr̄ ν : r̄ ν + dr̄ ν .Найдём, как при этом изменилась кинетическая энергия системы T .1PТ.к. T =mν v̄ ν v̄ ν , то для дифференциала кинетической энергии имеем:2 νXXXXdv̄ νdr̄ νdT =mν v̄ ν dv̄ ν =mν v̄ νdt =mν āν v̄ ν dt =F̄ νdt =dtdtννννX eX iX ieF̄ ν dr̄ ν = δAi + δAeF̄ ν dr̄ ν +(F̄ ν + F̄ ν )dr̄ ν ==ν⇒idT = δA + δAБатяев Е. А.
(НГУ)νeνДифференциал кинетической энергии системыравен элементарной работе всех сил системыЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.37 / 40Подчеркнём, что в отличии от рассмотренных ранее теорем об измененииколичества движения и кинетического момента системы, в теореме обизменении кинетической энергии присутствует работа всех сил системы:внешних и внутренних. То, что силы, с которыми взаимодействуют дветочки системы, равны по величине и противоположно направлены, неприводит к равенству нулю работы внутренних сил δAi , т.к. при определенииработы важны и перемещения точек dr̄ ν , а они у двух взаимодействующихточек не обязательно одинаковы.Проинтегрировав обе части равенства от t0 (начального) до t1 (конечного)по времени, получим интегральную форму теоремы об изменениикинетической энергии:Zt1Zt1iT1 − T0 = δA + δAe = Ai + Aet0t0T1 − T0 = Ai + AeРазность значений кинетической энергии в конечный и в начальныймоменты времени (в конечном и начальном положениях системы)(или приращение кинетической энергии системы за конечноевремя) равно работе всех сил системы за то же времяОбратим внимание, что теорема об изменении кинетической энергии имеетскалярный вид, в отличии от предыдущих теорем векторного характера.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.38 / 40Закон сохранения полной механической энергииПусть все силы системы (внешние и внутренние) – потенциальные, т.е.δAe = −dΠe ,δAi = −dΠiгде Πe , Πi – потенциалы внешних и внутренних сил, соответственно, а ихобщий потенциал Π = Πe + Πi – не зависит явно от времени (т.е. случайконсервативного силового поля), тогдаdT = δAe + δAi = −dΠe − dΠi = −dΠ=⇒dT + dΠ = d(T + Π) = 0Полная механическая энергия системы: E = T + Π– является суммой кинетической и потенциальной энергий.Из последнего равенства следует:E = T + Π = const–интеграл энергииЕсли механическая система находится в консервативном силовом поле(все силы потенциальны и потенциал не зависит явно от времени)то при движении системы её полная механическая энергия постояннаБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.39 / 40Отметим, что для справедливости закона сохранения полноймеханической энергии требование о том, чтобы все силы системыбыли потенциальными, необязательно! Достаточно потребоватьэто от только сил, работа которых на действительномперемещении системы dr̄ ν (ν = 1, . . . , N ) отлична от нуля.Например, нормальная реакция – непотенциальная сила, ноN̄ ⊥ dr̄, поэтому δA(N̄ ) = N̄ · dr̄ = 0.Тогда если все остальные силы потенциальные, а их потенциалне зависит явно от времени, то для такой системы справедливзакон сохранения полной механической энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9-10Новосибирск, 2017 г.40 / 40ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 11ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЕЁ ЦЕНТРА МАССЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
