1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Момент инерции тела (системы точек)относительно произвольной оси l равен сумме момента инерцииотносительно оси l0 – параллельной оси l и проходящей через центр масс, ипроизведению массы тела на квадрат расстояния d между данными осями:x3 l`JlA = JlC0 + M d2lACx2x1dБатяев Е. А. (НГУ)Доказательство:Выберем сопутствующую систему координатс началом в центре масс C, а оси ξα подберёмтак, чтобы ось Cξ3 = l0 , а ось Cξ2 – пересекала l,проходящую через точку A. Так можно сделатьпоскольку выбор сопутствующей системы координатв определённом смысле произволен и для каждогомомента времени можно так подобрать систему.Сделано это для упрощения дальнейших выражений.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.8 / 20Осевые моменты инерции тела (системы точек) относительно оси l0 ,проходящей через центр масс C, и относительно оси l, проходящей черезZZточку A, имеют вид:C22AJl =h2 dmJl0 =(ξ1 + ξ2 )dm,x1x1x2(M )(M )AdCx2hh2 = ξ12 + (d − ξ2 )2 - расстояния от оси l до точек тела.ZZA2Jl =h dm =(ξ12 + d2 − 2dξ2 + ξ22 )dm =P(x1,x2,x3)(M )Z(M )=ZZ(ξ12 +ξ22 )dm+d2(M )(M )Zξ2 dm = JlC0 +M d2dm−2d(M )ξ2 dm = M ξ2C = 0 поскольку центр масс C вт.к.(M )выбранной системе координат является началом системы координат.¥Отсюда легко установить зависимость между осевыми моментами инерцииотносительно любых параллельных осей l1 k l2 : Jl1 = Jl2 + M (d21 − d22 ) гдеd1 и d2 – расстояния осей l1 и l2 до параллельной им обеим оси, проходящейчерез центр масс, соответственно.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.9 / 20Центробежные моменты инерции. Оператор инерцииОказывается момент инерции тела относительно оси произвольногонаправления можно выразить через направляющие косинусы этой оси инекоторую совокупность шести величин.Рассмотрим некоторую ось l, проходящую черезlполюс O, т.е. какую-то точку тела (хотяx3и не обязательно тела).hedmСвязывая с телом сопутствующуюP(x1,x2,x3)декартову систему координат Oξα (жёсткоrOсвязанную с телом) определим орт оси l:x1x2e = (e1 , e2 , e3 ),|ee|2 = e21 + e22 + e23 = 1Его компоненты, равны косинусам углов с осями ξα : eα = cos ∠(ee, ξα ).Из рисунка видно, что расстояние h от любой точки P тела, определяемойe = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ), до оси l равно: h2 = ρ2 − ρ2eрадиус-вектором ρXe на направление оси l: ρe = ρe·e=ξα eα ,где ρe - проекция вектора ρ³X´2αXX⇒h2 =ξα eαпричём: ρ2 =ξα2ξα2 −αБатяев Е.
А. (НГУ)αЛЕКЦИЯ 12αНовосибирск, 2017 г.10 / 20Следовательно осевой момент инерции тела относительно оси l:ZZ hX³X´2 iO2Jl =h dm =ξα2 −ξα eαdm =(M )(M )αα=Z hX¡(M )iX¢1 − e2α ξα2 − 2ξα ξβ eα eβ dmαα,βα6=βт.к. 1 − e2α = e2α+1 + e2α+2 (α = 1, 2, 3 индекс ограничен по модулю 3), получимZ hXiX¡¢JlO =ξα2 e2α+1 + e2α+2 −2ξα ξβ eα eβ dm = (после перегруппировки)(M )αα,βα6=βZ hXiX¡ 2¢ 22=ξα+1 + ξα+2eα − 2ξα ξβ eα eβ dm(M )αα,βα6=βОкончательно получим выражение:JlO =3Xα=1Батяев Е. А.
(НГУ)Ze2α¡Z3X¢22ξα+1+ ξα+2dm − 2eα eβξα ξβ dmα,β=1α6=β(M )ЛЕКЦИЯ 12(M )Новосибирск, 2017 г.11 / 20ZВидно, что¡ 2¢2ξα+1 + ξα+2dm = JξOα −осевые моменты инерции телаотносительно осей Oξα .(M )Для сокращения дальнейших записей будем их обозначать: JαO = JξOαZцентробежныеOξα ξβ dmОбозначим Jαβ =−моменты инерции тела(M )Очевидна симметричность центробежных моментов инерции по индексам:OOJαβ= Jβα∀ α, β (α 6= β)Итак выражение для момента инерции тела относительно некоторой оси lопределяется через осевые моменты инерции относительно координатныхосей (3 шт.) и центробежные моменты инерции (3 шт.), т.е. всего 6 величин:JlO =3Xα=1JαO e2α − 23XOJαβeα eβ(∗)α,β=1α6=βOПри этом видно, что JαO и Jαβне зависят от выбора оси l – ониопределяются только выбором точки O и осями ξ1 , ξ2 , ξ3 – сопутствующейсистемы координат, в которых тело неподвижно, поэтому они – постоянны.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.12 / 20Если осевые моменты инерции представляют собой меру инертности тела(системы) при её вращении вокруг соответствующей оси (JαO - вокруг Oξα ),то центробежные моменты инерции можно трактовать как мерунеуравновешенности масс системы: они характеризуют несимметричностьраспределения масс относительно координатных плоскостей.Понятно, что для различных точек O осевые и центробежные моментыинерции разные. Очевидно, что они изменяются также при поворотесистемы координат Oξα вокруг точки O (т.е.
при выборе другойсопутствующей системы координат, ведь её выбор - условен). Анализируяполученное выражение (∗) для осевого момента инерции тела относительнооси l через осевые и центробежные моменты инерции можно установитьследующую простую формулу для определения JlO :JlO = (JO e) eгдеJ1OOJO = −J12O−J13O−J12J2OO−J23O−J13O −J23J3O−оператор (тензор) инерцииВидно, что оператор инерции JO является симметрической матрицей –постоянной в сопутствующих осях Oξα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.13 / 20Таким образом(JO )∗ = (JO )T = JOгде (JO )∗ сопряженная к JO матрица, которая в нашем случае (в поледействительных чисел R) эквивалента только транспонированойматрице (JO )T .Значит вместо 9 (как обычно) независимых компонент у него их будеттолько 6 независимых.Итак, для вычисления момента инерции JlO относительно какой-либооси l, проходящей через точку O пространства необходимо знатьоператор инерции тела JO в точке O и дважды умножить его нанаправляющий орт оси e.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.14 / 20Эллипсоид инерции. Главные оси инерцииФормула для осевого момента инерции (∗) допускает наглядную геометрическуюинтерпретацию. На оси l отложим по обе стороны от точки O отрезки длины1ON = p O . Радиус-вектора всех таких точек:Jl!r1e1e2e3x3e = ±e · pρ=± p ,p ,pOOOOJlJlJlJleαОбозначая ξα = pнайдём геометрическоеJlON(x1,x2,x3)N(x1,x2,x3)место всех таких точек N (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).x2Из формулы (∗) поделив на JlO получим:llelO3Xα=1JαO ξα2 − 23XOJαβξα ξβ = 1(∗∗)rx1α,β=1α6=βПолученное выражение описывает, как видно, поверхность второго порядка, вee= pсистеме координат Oξα .
Её точки, определённые радиус-вектором ρ,JlOнаходятся на конечном расстоянии от точки O, т.к. JlO > δ > 0 (по смыслумомента инерции). Известно, что из всех поверхностей 2-го порядка условиюконечности расстояния от начала координат удовлетворяет только эллипсоид.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.15 / 20Эта поверхность (т.е. эллипсоид), описываемая формулой (∗∗) называется –эллипсоид инерции тела для точки O .
Если точка O совпадает сцентром масс C, он называется – центральный эллипсоид инерции телаОси симметрии эллипсоида инерции (главные оси эллипсоида) – Oξα∗называются – главные оси инерции тела для точки O.В системе координат, оси которой*x3направлены по главным осям эллипсоидаинерции (осям симметрии) уравнениеэллипсоида имеет простой вид(канонический):O*x23XJαO∗ (ξα∗ )2 = 1α=1x1∗Т.е.
в системе координат Oξα все центробежные моменты инерции равны нулю:*JαO∗ β ∗ = 0 ∀α, β, α 6= βВеличины Jα∗ – моменты инерции относительно главных осей инерции Oξα∗называются — главные осевые моменты инерции тела для точки O.Если O совпадает с центром масс C, то везде необходимо впереди добавитьслово – центральные.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.16 / 20С точки зрения оператора инерции, очевидно, что в системе отсчёта совмещённойс главными осями инерции Oξα∗ , он принимает диагональный вид (так как всецентробежные моменты инерции равны нулю). Т.е. путём поворота координатныхосей Oξα до их совмещения с Oξα∗ , или путём их специального подбора,квадратная симметрическая матрица JO приводится к диагональному виду.Из высшей алгебры известно, что любая симметрическая матрица A(представляющая линейное векторное преобразование) имеетвзаимно-ортогональные собственные вектора, определяемые из уравненияAv̄ = λv̄Вид этой матрицы в осях, совмещенных с направлениями собственных векторов v̄,имеет диагональный вид, причём на диагонали у неё стоят собственные значения λ,т.е.
решения уравненияdet (A − λE) = 0(на самом деле, это справедливо и для более общего случая так называемыхнормальных матриц: AA∗ = A∗A).Наш оператор инерции JO как раз и является симметрическим, а диагональныйвид имеет, как уже было сказано, в главных осях инерции (т.е. осях симметрииэллипсоида инерции). Следовательно — эти главные оси инерции направленывдоль собственных векторов оператора инерции JO , определяемых из выражения:JO v̄ = λv̄главные моменты инерции Jα∗ являются собственными числами оператора инерциипотому что стоят на диагонали JO , записанного в осях вдоль собственных векторов.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.17 / 20Замечание 1 : Если все собственные значения оператора инерции - различны, тоглавные оси определяются однозначно. Если эллипсоид инерции для точки Oявляется эллипсоидом вращения вокруг оси Oξ1∗ (т.е. J2O∗ = J3O∗ ), то за его главныеоси можно принять ось Oξ1∗ и любые две взаимно-ортогональные оси, лежащие вэкваториальной плоскости эллипсоида (т.е. плоскости перпендикулярной осивращения Oξ1∗ ). Если все собственные значения оператора инерции - одинаковы(т.е.
элипсоид инерции является сферой) то все оси, проходящие через точку Oявляются для неё главными.Замечание 2: Не любой эллипсоид, вообще говоря, может быть эллипсоидоминерции. В самом деле если рассмотреть уравнение эллипсоида в главных осяхинерции:3XZhJαO∗ (ξα∗ )2 = 1, то его главные осевые моменты инерции имеют вид:α=1JαO∗ =i∗∗(ξα+1)2 + (ξα+2)2 dm и для них должны выполняться неравенства:(M )JαO∗+ JβO∗ > JγO∗ (α 6= β 6= γ). Действительно:J1O∗ + J2O∗ =Z h(M )=i(ξ2∗ )2 + (ξ3∗ )2 + (ξ1∗ )2 + (ξ3∗ )2 dm =Z h(M )Батяев Е. А. (НГУ)i(ξ1∗ )2 + (ξ2∗ )2 dm + 2Z(ξ3∗ )2 dm = J3O∗ + 2(M )ЛЕКЦИЯ 12Z(ξ3∗ )2 dm > J3O∗(M )Новосибирск, 2017 г.18 / 20Замечание 3: Если эллипсоид инерции тела для точки O построен, томомент инерции тела относительно какой-либо оси JlO , проходящей через т.равен:1JlO =ON 2где ON – расстояние от центра O до точки пересечения эллипсоида спрямой l.Замечание 4: Условием того, что какая-то ось, скажем Oξ1 будет осьюсимметрии эллипсоида инерции (в ведённых обозначениях это ось Oξ1∗ ),является отсутствие в уравнении эллипсоида членов, содержащихпроизведения ξ1 ξ2 и ξ1 ξ3 , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
