1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 22
Текст из файла (страница 22)
никак не зависит ни от движениятела ни от приложенных к телу сил, поэтому в общем случае det JC 6= 0 (такв главных осях инерции JC – диагональный и его элементы не равны нулю),e ≡ 0.значит решение системы однородных алгебраических уравнений: ωТ.к. главные моменты сил относительно разных центров, например, центрамасс C и неподвижного центра O связаны приведённым выше соотношением−−→M̄O = M̄C + OC × F̄ , то при равновесии последнее уравнение можнозаменить на M̄O = 0.¥Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.19 / 20Замечание: если тело изначально не покоилось, то при выполненномусловии F̄ = 0, M̄O = 0 оно будет совершать инерционное движение:поступательно и равномерно двигаться вместе с центром масси равномерно вращаться вокруг центра масс.Каждое из 2-х векторных уравнений равновесия даёт по три скалярныхуравнения равновесия твёрдого телаFα = 0,MOα =0(α = 1, 2, 3)в виде проекций сил и моментов сил относительно осей системы координат.Т.е.
всего 6 уравнений из которых необходимо определять неизвестные силы,приложенные к телу (в частности реакции), обеспечивающие равновесие.Причём некоторые из уравнений могут выполняться тождественно (всегда).Механическая система у которой неизвестные активные силы и реакции всехналоженных связей можно определить из уравнений равновесия называется— статически определимая, иначе — статически неопределимая.Случай статически определимой системы имеет место лишь тогда, когдачисло неизвестных, т.е. проекций сил и других величин – не превосходитколичества неудовлетворяющихся тождественно уравнений равновесия.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.20 / 20ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 15ПАРА СИЛО РАЗНЫХ ВИДАХ ТРЕНИЯ ТЕЛАВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГНЕПОДВИЖНОЙ ОСИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.1 / 21Пара силВведём ещё один новый объект — пара сил.dF1F2Для этого рассмотрим специальный случайсистемы сил, которая состоитиз двух сил равных по величине,противоположно направленных,и не лежащих на одной прямой.Такую систему сил, где F̄ 1 = −F̄ 2 и называют парой сил.Плоскость в которой они лежат называют – плоскость пары, арасстояние d между линиями действия сил – плечо пары (d 6= 0)Легко видеть, что главный вектор пары сил – равен нулю:F̄ = F̄ 1 + F̄ 2 = 0Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.2 / 21Момент пары сил не зависит от точки относительно которой он вычисляется.В самом деле возьмём произвольную точку O пространства и найдёмглавный момент сил F̄ 1 и F̄ 2 , приложенных к телу, относительно O.Учтём свойство независимости воздействия силы на тело от точки еёприложения вдоль линии действия силы. Перенесём точки приложения силвдоль линий их действия так, чтобы радиус-вектор d̄ от точки приложенияF̄ 2 к точке приложения F̄ 1 был перпендикулярен линиям их действия.Главный момент сил F̄ 1 и F̄ 2 относительно O:FM̄O = r̄ 1 × F̄ 1 + r̄ 2 × F̄ 2 = (r̄ 1 − r̄ 2 ) × F̄ 1 = d̄ × F̄ 1dF1 r1O r22т.е. не зависит от O.Векторное произведение M̄O = d̄ × F̄ 1 называют – момент пары.Направлен M̄O перпендикулярно плоскости пары так, что наблюдатель сконца вектора M̄O «видит» векторы F̄ 1 и F̄ 2 , указывающими на«вращение» плоскости пары против хода часовой стрелки, т.е.положительное направление.Если F – модули сил F̄ 1 и F̄ 2 , то MO = d · F т.е.
он целиком определяетсятолько парой сил (их плоскостью и величиной) и расстоянием между ними.Момент пары свободный вектор (его можно переносить и «прикладывать» клюбой точке тела и он полностью определяет действие пары на тело).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.3 / 21Воздействие на тело силы и пары силПусть на покоившееся тело (v̄ C = 0, ω̄ = 0 при t = 0) действует сила F̄ ,приложенная в центре масс. Тогда M̄C (F̄ ) = 0. Динамические уравнениядвижения тела:dv̄ CdL̄CrM= F̄ ,=0dtdte Cr = JC ωe ≡ const = JC ωe |t=0 = 0, т.е.Второе уравнение равносильно: Le ≡ 0 (как мы доказывали ранее при равновесии тела). Следовательно,ωпод действием силы, приложенной в центре масс, первоначальнопокоившееся тело начнёт двигаться поступательно вместе с центром масс.Пусть на покоившееся тело (v̄ C = 0, ω̄ = 0 при t = 0) действует пара сил смоментом M̄C , т.е. главный вектор такой системы сил равен нулю F̄ = 0 иуравнения движения тела:dv̄ CdL̄Cr= 0,= M̄CMdtdtИз первого получаем v̄ C ≡ const = v̄ C |t=0 = 0.
Значитпод действием пары сил, первоначально покоившееся тело может тольконачать вращаться вокруг неподвижного центра масс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.4 / 21В общем случае при F̄ 6= 0, M̄C =6 0 тело начнёт поступательнодвигаться вместе с центром масс и вращаться вокруг центра масс.С учётом введённого понятия пары сил и критерия эквивалентностисистем сил, приложенных к твёрдому телу,задача приведения сил,т.е. замена одной системы сил эквивалентной ей и наиболее простой,решается при помощиТЕОРЕМА Пуансо.
Произвольная система сил, приложенных ктвёрдому телу, эквивалентна системе, состоящей из• одной силы, приложенной в какой-либо точке O тела (центреприведения) и равной главному вектору F̄ данной системы сил, и• одной пары сил, момент которой равен главному моменту M̄O всехсил относительно точки O (центра приведения).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.5 / 21О разных видах трения телаРассмотрим относительное движение тела по поверхности другого.Примем, что тела ограничены поверхностями с непрерывноизменяющейся касательной плоскостью.Реальные тела вообще шероховаты.И обладают способностью деформироваться.Поэтому при соприкосновении двух тел“êóñòèê” они деформируются и касаются друг друга не(ïó÷îê)в одной точке, а вдоль некоторой поверхности,ïÿòíî êîíòàêòà ðåàêöèéобычно малой. При относительном движенииэти деформации изменяются и вызываютколебания молекул, т.е.
служат источником теплоты и возможнодругих эффектов. На всё это тратится энергия движения тела, поэтомувсе эти явления воспринимаются как сопротивление движению.Эти сложные явления становятся доступными для количественногоописания в рамках модели абсолютно твёрдого тела (недеформируемого)благодаря теореме Пуансо о приведении сил и законам Кулона.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.6 / 21Rwnwnwn n t OvOGOРеакция на одно из движущихся тел со стороныдругого представляет собой систему сил,распределённых по области касания тел.Согласно теореме Пуансо данная совокупностьсил приводится к одной силе R̄ равной главномувектору реакций и одной паре сил с моментом ḠO ,относительно одной из точек контакта O,равному главному моменту реакций. В дальнейшемдеформацией тел пренебрегают, но считают, чтореакция на тело со стороны другого сводится к силеR̄ и к паре сил с моментом ḠO относительно O.Примем точку O за полюс, тогда движение тела в каждый момент времениможно представить как совокупность поступательного движения соскоростью v̄ O (относительно другого тела) и мгновенного вращения сугловой скоростью ω̄ вокруг точки O.
Разложим вектор ω̄ на две проекциисоставляющие:ω̄ = ω̄ n + ω̄ νω̄ n – перпендикулярен касательной плоскости (вдоль нормали n̄ = ω̄ n /ωn ),ω̄ ν – принадлежит касательной плоскости (вектор ν̄ = ω̄ ν /ων ).Вектор ω̄ n называют – угловой скоростью верчения (вокруг n̄),а вектор ω̄ ν – угловой скоростью качения (вокруг ν̄).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.7 / 21N RnwwnQGnwn n tGOvO GnВекторы реакции R̄ и ḠO удобно разложить в видепо типу оказываемого сопротивления движению:R̄ = N̄ + Q̄,ḠO = Ḡn + ḠνN̄ – нормальная реакция – вдоль n̄,Q̄ – сила трения скольжения – вдоль τ̄ =v̄ O.vOКаждому из моментов Ḡν , Ḡn можносопоставить пары сил с такими моментамидля Ḡν (коллинеарно ω̄ ν ) – пара трения качения,для Ḡn (коллинеарно ω̄ n ) – пара трения верчения.Законы Кулона для тела при движенииQ̄ = −kN τ̄Ḡν = −δ ν N ν̄Ḡn = −δ n N n̄т.е.
сила трения пропорциональна нормальному давлению и направлена противскольжения; моменты пар трения качения и верчения пропорциональнынормальному давлению и направлены противоположно качению и верчению.Коэффициенты пропорциональности k, δ ν, δ n определяются экспериментальнои характеризуют материалы из которых изготовлены тела, степень обработкиповерхностей и т.д.Коэффициент k – безразмерный, δ ν , δ n – имеют размерность длины (плечи)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.8 / 21Если рассматриваемое тело находится в равновесии на поверхности другоготела (или отсутствует соответствующая компонента вектора ω̄ = ω̄ n + ω̄ ν )законы Кулона принимают вид0 6 Q 6 k1 N,0 6 Gν 6 δ1ν N,0 6 Gn 6 δ1n Nт.е.
сила трения и моменты пар трения качения и верчения могутизменяться от нуля до некоторых предельных значений.Значения коэффициентов k1 , δ1ν , δ1n в этих предельных величинах несколькобольше аналогичных значений при движении.Векторы Q̄ и Ḡν при равновесии, в зависимости от приложенных сил, могутпринимать любое направление в касательной плоскости.
Для решения задачстатики их направление обычно выбирают в сторону противоположную«возможному» движению точки тела, если бы сил трения не было.Отметим, что вообще влияние пар трения качения и верчения мало посравнению с влиянием сил нормальной реакции и трения скольжения(коэффициенты трения верчения и качения обычно малы по сравнению скоэффициентом трения скольжения), поэтому в ряде прикладных задачпарами трения пренебрегают. Их учитывают если нет скольжения.Сравнительная малость трения качения по сравнению с трением скольженияобъясняет применение в технике подшипников качения.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.9 / 21Вращение тела вокруг неподвижной осиРассмотрим движение твердого тела, имеющего неподвижные точки O и O1 ,через которые проходит неподвижная ось вращения, а эти точки являютсяопорным и осевым подшипниками. Тело движется под действием заданнойсистемы сил, имеющих главный вектор сил F̄ и главный момент M̄O .Пусть R̄ и Q̄ – реакции связей в точках Oи O1 , соответственно. Пусть система координатOxα является неподвижной, у которойось Ox3 направлена вдоль оси вращения.С телом жестко свяжем сопутствующуюсистему координат Oξα , у которой ось Oξ3 такженаправлена вдоль оси вращения (Oξ3 = Ox3 ).Очевидно, что при вращательном движениивокруг неподвижной оси координаты центрамасс не являются произвольными. Параметры,которые полностью определяют его положение:• расстояние OC = const,• единственный ненулевой угол поворота тела ϕвокруг оси Ox3 , образуемый осями Ox1 и Oξ3 .Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
