1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 23
Текст из файла (страница 23)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15x3 x3QO1RO C jx1jx1Новосибирск, 2017 г.x2x210 / 21Чтобы получить уравнения, описывающие движение твердого тела(несвободного) воспользуемся динамическими уравнениями движения тела:dv̄ C= F̄ + R̄ + Q̄,− теоремой о движении центра масс телаMdtdL̄O= M̄O +r̄ O1 ×Q̄dt−теоремой об изменении кинетического моментатела относительно неподвижной точки OВ последнее уравнение не вошел момент реакции R̄, т.к. он равен нулю.Как уже говорилось – в этих теоремах участвуют абсолютные производныепо времени, связанные с относительными производными формулой:µ¶edc̄dc̄decdecdece ×e=+ ω̄ × c̄ = A + Aeω × Aec = A + A(eω×ec) = A+ωcdtdtdtdtdtКроме того компоненты любых векторов в неподвижной, инерциальнойсистеме координат Oxα , связаны с компонентами этих же векторов всопутствующей, подвижной, системе координат Oξ3 известной формулой:c̄ = AecБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.11 / 21Проектируя уравнения на оси подвижной системы координат Oξα , получимуравнения (т.е. записанные покомпоненто в осях Oξα ):devCe +Re +Qee ×veC = FM+ MωdteOdLeO = MfO +ree ×Le O1 × Q+ωdtОбозначим силовые вектора в сопутствующей системе координат Oξα в виде:F1R1Q1MO1e = F2 , Re = R2 , Qe = Q2 , Mf O = MO F2F3R3Q3MO3Ясно, что вектор угловой скорости при вращении тела вокруг неподвижнойоси направлен всегда вдоль оси вращения Oξ3 = Ox3 , тогда в разложении поe = (ω1 , ω2 , ω3 ) отличной от нуля будет толькосопутствующим осям Oξα : ωпоследняя компонента, определяемая производной по времени от углаповорота ϕ:ω1 = ω2 = 0,ω3 = ϕ̇Аналогичный вид можно получить строго математически из кинематическихуравнений Эйлера, выражающих соответствующие компоненты вектораугловой скорости через углы Эйлера и их производные, полагая углыпрецессии (ϕ1 ) и нутации (ϕ2 ) равными нулю (постоянными), а уголсобственного вращения (ϕ3 ) равным углу поворота тела ϕ.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.12 / 21Тогда кинетический момент тела относительно точки O в сопутствующихдекартовых осях Oξα имеет вид OOOLO1J1O −J12−J130−J13ϕ̇OO Oe O = JO ωe ⇔ LO2 = −J120 = −J23J2O −J23ϕ̇ LOOOLO3ϕ̇−J13 −J23J3J3O ϕ̇°° ī°ee LO = °−→ ω×° 0° LO1Обозначая0e O1 = 0 rh−→Батяев Е. А. (НГУ)j̄0LO2k̄ϕ̇LO3° O 2°−LO2 ϕ̇J23 ϕ̇j̄(LO1 ϕ̇)−°O 2°=ϕ̇= LO1 ϕ̇ = −J13°−ī(LO2 ϕ̇)°00°° ī°eeO1 × Q = °r° 0° Q1j̄0Q2ЛЕКЦИЯ 15k̄hQ3°°−hQ2j̄(hQ1 )−°°== hQ1 °−ī(hQ2 )°0Новосибирск, 2017 г.13 / 21Учтём, что для центра масс тела, как для конкретной точки твёрдого тела,справедлива формула распределения скоростей (в сопутствующих осях):eC = ωe ×reCvОбозначая C C °° īξ1v1°CCeC = ξ2 −→ veC = v2 = °r° 0C° ξξ3Cv3C1j̄0ξ2Ck̄ϕ̇ξ3C° C °−ξ2 ϕ̇j̄(ξ1C ϕ̇)−°°= ξ1C ϕ̇ =°−ī(ξ2C ϕ̇)°0Тогда°° ī°e ×veC = °ω° 0C° v1Батяев Е.
А. (НГУ)j̄0v2Ck̄ϕ̇v3C° °−v2C ϕ̇−ξ1C ϕ̇2j̄(v1C ϕ̇)−°°== v1C ϕ̇ = −ξ2C ϕ̇2 °−ī(v2C ϕ̇)°00ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.14 / 21Тогда получим скалярную форму векторных уравнений движения тела:−M ξ2C ϕ̈ − M ξ1C ϕ̇2= F1 + R1 + Q1(a)M ξ1C ϕ̈ − M ξ2C ϕ̇2= F2 + R2 + Q2(б)=(в)0F3 + R3 + Q3OO 2−J13ϕ̈ + J23ϕ̇= MO1 − hQ2(г)OO 2−J23ϕ̈ − J13ϕ̇= MO2 + hQ1(д)= MO3(е)J3O ϕ̈Последнее уравнение в системе не содержит реакций и называется –дифференциальное уравнение вращения телавокруг неподвижной оси.Остальные 5 уравнений служат для нахождения реакций (полагаем, чтоглавный вектор и главный момент сил известны). Эта задача уже являетсянеопределенной.
В самом деле: из (a-б)-(г-д) находятся поперечные реакцииR1 , R2 , Q1 , Q2 . А оставшиеся продольные реакции R3 , Q3 из (в) определитьневозможно. Только их сумму. Причем эта сумма не зависит от характеравращательного движения тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.15 / 21Условия, при которых динамические реакции равны статистическимЕсли в уравнениях (а, б, г, д) положить ϕ̇ = ϕ̈ = 0, то получим систему дляопределения поперечных статических реакций (т.е.
в покое). Если же теловращается, то либо ϕ̇ 6= 0, либо ϕ̈ 6= 0, либо одновременно. Поэтому левые частиэтих уравнений в общем случае не будут тождественно равны нулю во все времядвижения, следовательно, динамические реакции отличаются от статических.Найдем условия их равенства: приравняем нулю левые части уравнений (а, б, г, д) :−ξ2C ϕ̈ − ξ1C ϕ̇2=0ξ1C ϕ̈ − ξ2C ϕ̇2=0OO 2−J13ϕ̈ + J23ϕ̇=0OO 2−J23ϕ̈ − J13ϕ̇=0⇒⇒ϕ̈ ξ1C − ϕ̇2 ξ2C=0ϕ̇2 ξ1C + ϕ̈ ξ2C=0OOϕ̈ J13− ϕ̇2 J23=0OOϕ̇2 J13+ ϕ̈ J23=0))Каждую пару уравнений можно рассматривать как систему однородныхOOалгебраических уравнений относительно (ξ1C , ξ2C ), (J13, J23).
Видно, чтоопределители этих систем одинаковы и равны величине ϕ̈2 + ϕ̇4 . Если теловращается, то эта величина не может быть тождественно равной нулю.Следовательно, эти уравнения удовлетворяются только для тривиального решения:ξ1C = ξ2C = 0,OO=0= J23J13Значит динамические реакции равны статическим тогда и только тогда когдаось вращения является главной центральной осью инерции тела.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.16 / 21Физический маятникВ качестве примера вращательного движения рассмотрим вращениетвердого тела вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силытяжести.
Такое тело называют – физическим маятником.Проведём через центр масс C плоскость,x2перпендикулярную оси вращения;Oточку O пересечения этой плоскости с осьюhx2назовём – точкой подвеса физического маятника. x3Cj h’Рассмотрим движение маятника относительноO’системы отчета Oxα , в которой ось Ox3 совпадает x3x1x1с осью вращения, а ось Ox1 направлена вниз.PМассу m тела, расстояние h от точки подвеса доцентра масс и осевой момент инерции J3O относительно оси вращениясчитаем заданными. Свяжем с маятником сопутствующую системукоординат Oξα , как указано на рисунке. Тогда дифференциальное уравнениеего вращения примет вид:J3O ϕ̈ = M3 (P̄ ) = −mgh sin ϕБатяев Е. А.
(НГУ)⇒ЛЕКЦИЯ 15ϕ̈ +mghsin ϕ = 0J3OНовосибирск, 2017 г.17 / 21Приведём уравнение движения кругового математического маятника длины l– точечного тела, вращающегося вокруг горизонтальной оси в вертикальнойплоскости при помощи нити или невесомого стержня, под действием веса.Трансверсальное уравнение движенияматериальной точки:maϕ = Pϕr=l=const−−−−−−→⇔x2m(rϕ̈ − 2ṙϕ̇) = −mg sin ϕglϕ̈ = −g sin ϕ ⇒ ϕ̈ + sin ϕ = 0lOjx3x2lx3TMx1x1PСравнивая уравнения движения физического и математического маятниковзаключаем, что физический маятник будет двигаться (колебаться) потакому же закону ϕ = ϕ(t) что и математический маятник с длинойl=J3Omhиз одинаковых начальных условий. Такой математический маятникназывают – синхронным данному физическому маятнику, а его длину l –приведённой длиной физического маятника.
Таким образом, вопрос одвижении физического маятника сведён к уже изученному вопросу одвижении синхронного ему математического маятника.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.18 / 21Отложив на оси Oξ1 отрезок OO0 = l получим точку O0 , соответствующуюположению синхронного математического маятника; эту точку называют –центром качания физического маятника.
С помощью теоремыГюйгенса-Штейнера легко установить как связаны параметры h и l:JCρ2l = 3 +h= C +hJ3O = J3C + mh2 ⇒mhhгде ρC – радиус инерции тела относительно оси Cx3 , проведённой черезцентр масс параллельно оси вращения (J3C = mρ2C ). Ясно, что всегда l > h.Приведённая длина является единственнойl/rCхарактеристикой физического маятника. Видно, что5она зависит только от расстояния h от центра массдо оси вращения (ρC = const). При неограниченномrC4увеличении этого расстояния приведённая длинаможет стать сколь угодно большой. Оказывается,3однако, что её нельзя сделать сколь угодно малой.Действительно, вычислив производные:2ρ2dld2 l2ρ2C= 1 − C2 ,=dhhdh2h31d2 ldl= 0,устанавливаем, что при h = ρC ,> 0,rCdhdh20123 следовательно l имеет минимум, равный lmin = 2ρC .Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.19 / 21На свойстве минимума длины l основан интересный эффект.Рассмотрим малые колебания маятника (sin ϕ ≈ ϕ). Тогда период этихколебаний определяется выражением:pT = 2π l/gЕсли h > ρC , то с приближением центра масс к точке подвеса,величина h уменьшается вместе с l; следовательно, уменьшается ипериод колебаний.Если же h < ρC , то приближение центра масс к точке подвесаувеличивает длину l, а следовательно, и период.Этот эффект был замечен в свое время на часах Вестминстерскогоаббатства, которые отставали.
При уменьшении h часы сначала сталиходить быстрее, при дальнейшем уменьшении h, часы стализамедлять ход.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.20 / 21Взаимность точки подвеса и центра качания маятникаЕсли твердое тело подвешивать в различных точках, то расстояния до центрамасс до оси вращения будут различными, и мы будем получать физическиемаятники с различными приведенными длинами. Гюйгенсом было замеченоодно замечательное свойство, выраженное им в форме теоремыТЕОРЕМА Гюйгенса. Точка подвеса и центр качания физическогомаятника являются взаимными точками: если центр качания сделать точкойподвеса, то бывшая точка подвеса станет центром качания.Доказательство.
Сделаем центр качания O0 точкой подвеса. Новой точкеподвеса O0 отвечает расстояние h0 центра масс до оси и приведёная длина l0 .ρ2Т.к. h + h0 = l, значит h0 = l − h = C . Тогда из зависимости l0 от h0 имеем:hl0 =ρ2Cρ2Cρ2C h ρ2C0+=h+=l+h=2h0hhρC¥Свойство взаимности точки подвеса и центра качания используется в такназываемом оборотном маятнике Катера – физическом приборе, которыйможно использовать для экспериментального определения ускорениясвободного падения по формуле g = (2π)2 l/T 2 , определив период колебаний.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 16ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМСИЛОВОМ ПОЛЕ(ЭЛЕМЕНТЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ)Лектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.1 / 20Предположим, что на материальную точку, двигающуюся относительнонекоторой инерциальной системы отсчёта во всём пространстве, действуетсила, зависящая только от положения точки (и, может быть, от времени), ноне зависящая от скорости точки. В этом случае, говорят, что в пространствезадано силовое поле, а также, что точка движется в силовом поле, т.е.силовое поле: F̄ = F̄ (t, r̄) (сила пружины, гравитационная сила).Силовое поле называется центральным, еслисила, приложенная к движущейся в нём точке,направлена вдоль прямой, проходящей череззаданный центр – неподвижную точку O (вышеприведены примеры – именно центральных сил).Т.е.
центральная сила имеет вид:F̄ = F (t, r̄)r̄rFîòòàëêèâàíèÿx3MrOx1Fïðèòÿæåíèÿx2где F (t, r̄) - закон изменения силы.Центральные силы это так называемые силыпритяжения (F < 0) или силы отталкивания (F > 0).Определим некоторые свойства движения точки в центральном силовом поле.Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
