1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.2 / 20Интеграл площадей (векторный)Пусть точка двигается в некоторой инерциальной системе координат сначалом в центре притяжения O, и на неё действуют центральная сила.dv̄r̄Тогда по основному закону динамики:m=FdtrУмножая его справа векторно на r̄ получим:dv̄r̄dm× r̄ = F × r̄ = 0 ⇒(v̄ × r̄) = 0,dtrdtинтегрируя по t окончательно получаем интеграл уравнения движения−−−→r̄ × v̄ = const = r̄ 0 × v̄ 0− интеграл (закон) площадейИнтеграл площадей (хотя и векторный, пока) представляет собой первыйинтеграл, т.к.
содержит лишь скорость (т.е. 1-ю производную) r̄ × v̄ = c̄где векторная константа c̄ определяется по начальным данным: c̄ = r̄ 0 × v̄ 0Умножая скалярно интеграл площадей на радиус-вектор r̄ получим:c̄ · r̄ = (r̄ × v̄) · r̄ = 0. Таким образом имеем:c̄ · r̄ = 0⇒ r̄ ⊥ c̄Т.к. c̄ = const отсюда следует, что точка двигается по плоской траектории,т.е. по линии, которая лежит в плоскости, перпендикулярной вектору c̄.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.3 / 20В теории дифференциальных уравнений i-ым интегралом дифференциальногоуравнения (или системы дифференциальных уравнений) n-го порядка называютвыражение, содержащее производные на i единиц меньше чем исходное уравнение,обращающееся в тождество при любом решении исходного уравнения. Т.е.
порядокэтого дифференциального уравнения (вообще говоря нелинейного) n − i.Для дифференциальных уравнений движения точки (или системы), порядоккоторых равен 2, первым интегралом называется зависимость вида f (t, q, q̇) = C,т.е. обязательно содержащая хотя бы одну скорость и всегда выполняющаяся прилюбом решении qα = qα (t) системы дифференциальных уравнений движения.Важность значения интегралов движения трудно переоценить. Ведь если мы знаем3 первых скалярных интеграла вида fα (t, q, q̇) = Cα (α = 1, 2, 3), которые являютсянезависимыми по скоростям если отличен от нуля функциональный определитель:∂(f1 , f2 , f3 )6= 0, тогда данную систему первых интегралов можно разрешитьdet∂(q̇1 , q̇2 , q̇3 )относительно скоростей и получить зависимости вида q̇α = q̇α (t, q1 , q2 , q3 , C1 , C2 , C3 )что позволяет интегрирование исходной системы 3-х уравнений 2-го порядказаменить интегрированием системы 3-х уравнений, но уже 1-го порядка, и, темсамым, существенно продвинуться по пути получения общего решения.Не говоря уже о вторых интегралах, т.е.
зависимостях вида ϕα (t, q1 , q2 , q3 ) = Bα ,которые в случае взаимной независимости при отличности от нуля определителя∂(ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )det6= 0 позволяют вообще получить единственное решение обратной∂(q1 , q2 , q3 )задачи динамики: qα = qα (t, C1 , C2 , C3 , B1 , B2 , B3 ).Знание интегралов движения существенно упрощает процесс решения задачи.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.4 / 20Секторная скоростьM’(t+Dt)DSr’DrM(t)DqrSqx2r0M0(t0)Обозначим за S величину площади конической_поверхности, ограниченной кривой M0 M ирадиус-векторами r̄ 0 и r̄. За время ∆t, точка Mперейдёт в положение M 0 , так что ∆r̄ = r̄ 0 − r̄.Приращение площади поверхности S за время ∆t,можно приближённо, с точностью до величин1-го порядка малости, представить в виде вектора−→∆S, модуль которого равен площади 4OM M 0 :O−→1∆S = (r̄ × ∆r̄)x12−→∆S1∆r̄1dS̄∆t→0Предел отношения=r̄ ×−−−→(r̄ × v̄) =∆t2∆t2dtназывается — секторная скорость точки M в момент времени t.Т.е.
секторная скорость характеризует темп изменения площади, заметаемой˙ ⊥ v̄.˙ ⊥ r̄ и S̄радиуc-вектором r̄ в единицу времени. Причём S̄Ранее, для центральной силы, мы установили интеграл площадей: r̄ × v̄ = c̄,˙значит вектор c̄ имеет смысл – удвоенной секторной скорости: c̄ = r̄ × v̄ = 2S̄x3Кроме того, для центрального поля сил, секторная скорость перпендикулярнаплоскости движения точки, и постоянная (по направлению и модулю).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.5 / 20II Закон КеплераУчитывая смысл секторной скорости (изменение заметаемой площадирадиус-вектором в единицу времени), дающий геометрическуюинтерпретацию и название интеграл площадей, можно сформулироватьII Закон КеплераВсе планеты описывают вокруг Солнца плоские орбиты (траектории),следуя закону площадей (постоянство секторной скорости).Закон Кеплера формулировался для силы всемирного тяготения, нооказывается он справедлив и в общем случае центральной силы.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.6 / 20Интеграл площадей (скалярный)В дальнейшем будем работать в цилиндрической системе координат. Точнеев полярной, при z = const. Примем эту плоскость движения точки за z = 0(для определённости). Вектор скорости в цилиндрической системекоординат (r, ϕ, z) имеет вид:v̄ = (vr , vϕ , vz ) т.е. v̄ = vr ēr + vϕ ēϕ + vz ēzezzгде: vr = ṙ, vϕ = rϕ̇, vz = ż = 0аналогично: r̄ = rēr , т.е. r̄ = (r, 0, 0)ejOēr ēϕ ēzyj r00 = ēz (r2 ϕ̇)r̄ × v̄ = det rxM erṙ rϕ̇ 0îðáèòàиз интеграла площадей:r̄ × v̄ = c̄ = cēzотсюда получим:r2 ϕ̇ = c илиr2 ϕ̇ = 2Ṡ где c = 2Ṡ = const.Это выражение тоже называется – интеграл (закон) площадей (скалярный)Постоянная c определяется по начальным данным: c = r02 ϕ̇0 .Легко получить иной вид интеграла площадей: r2 ϕ̇ = r(rϕ̇) = rvϕ = cПостоянная c также определяется по начальным данным: c = r0 vϕ0 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.7 / 20Формулы Бине́Учтём, что центральная сила в цилиндрической системе координат имеет вид:r̄F̄ = F (t, r̄) = F (t, r̄)ēr т.е. F̄ = (Fr , Fϕ ) = (F (t, r̄), 0)rДифференциальные уравнения движения точки в центральном силовом полев полярной системе координат, имеют вид:½mar = m(r̈ − rϕ̇2 ) = Fr = F (t, r̄)maϕ = m(rϕ̈ + 2ṙϕ̇) = Fϕ =01 d ¡ 2 ¢Из второго уравнения имеем: rϕ̈ + 2ṙϕ̇ =r ϕ̇ = 0. Отсюда, послеr dtинтегрирования по t, получим уже знакомый интеграл площадей: r2 ϕ̇ = cПреобразуем первое уравнение с помощью замены переменных, положив:r = r(ϕ(t)) вместо r = r(t). При этом ϕ = ϕ(t) как обычно. Воспользуемсяинтегралом площадей для следующих преобразований:drdr dϕdrc drd(1/r)ṙ ===ϕ̇ = 2= −cdtdϕ dtdϕr dϕdϕµ¶ddṙd(1/r)d2 (1/r)c2 d2 (1/r)=r̈ =−c= −cϕ̇ = − 22dtdtdϕdϕr dϕ2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.8 / 20Тогда первое уравнение принимает форму:µ 2 2¶µ¶c d (1/r)c2mc2 d2 (1/r) 1m(r̈ − rϕ̇2 ) = m − 2−r=−+= F (t, r̄)r dϕ2r4r2dϕ2rmc2Выражение F (t, r̄) = − 2rµd2 (1/r) 1+dϕ2r¶— формула Бине для силы.В дальнейшем с помощью этой формулы мы определим форму орбиты.Для квадрата скорости в центральном силовом поле: v 2 = ṙ2 + (rϕ̇)2 послеподстановки формул преобразования от замены переменных имеем:"µµ¶2 ³¶2 µ ¶2 #´2d(1/r)cd(1/r)1v 2 = c2+ r 2 = c2+dϕrdϕr"µ22Выражение v = cБатяев Е.
А. (НГУ)d(1/r)dϕ¶2µ ¶2 #1+− формула Бине для скоростиrЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.9 / 20Интегралы уравнений движения для закона всемирного тяготенияДля дальнейших исследований мы воспользуемся конкретным выражениемдля F (t, r̄), а именно будем считать, что сила имеет вид:Закон всемирного тяготенияДва тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведениюих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:M m r̄F̄ (r̄) = −γ 2r rMm– не зависит от времени t, а толькоr2от расстояния r между телами (не от вектора r̄).Н · м2Здесь γ = 6, 67 · 10−11– гравитационная постоянная (коэффициенткг2тяготения, пропорциональности).
Определена экспериментально (Г.Кэвендиш).Таким образом F (t, r̄) = F (r) = −γM – масса одной планеты (Солнце, Земля), m – масса другой планеты(Земли, спутника).Ньютон получил это выражение опираясь на законы Кеплера (послеэффекта падения яблока?), а мы сделаем наоборот.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.10 / 20mr̄r3где µ = M · γ – постоянная Гаусса (для Солнца или для Земли) (µ > 0).Будем использовать иное выражение силы: F̄ = −µЗначит в наших обозначениях для центрального силового поля:r̄m r̄mF̄ = F = −µ 2 имеем F = −µ 2 и направлена сила F̄ кrr rrпритягивающему центру, имеющему массу M и являющемуся началомсистемы координат. Таким образом, векторное дифференциальное уравнениедвижения имеет вид:dv̄m r̄m= −µ 2dtr rdr̄Умножая скалярно его на скорость v̄ =получим:dtdv̄µ dr̄1 dv̄ · v̄µ 1 dr̄ · r̄1 dv 2µ 1 dr2v̄= − 3 r̄⇒=− 3⇒=− 3dtr dt2 dtr 2 dt2 dtr 2 dtВыражение в правой части равенства преобразуется к виду:¯1 dx1 dr2 ¯¯dx−1/2d 1= − 3/2− 3=¯==2r dtdtdtdtr2x2r =xТаким образом имеем:Батяев Е.
А. (НГУ)d µ1 dv 2=. После интегрирования по t получим:2 dtdt rЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.11 / 20Интеграл энергииv2 −2µ= h — интеграл энергии,rгде h = const - определяется по начальным данным: h = v02 −Представив интеграл энергии в форме v 2 = h +2µ.r02µлегко получитьrСвойство 1.при удалении точки M от центра O (r - возрастает) → скорость v - убывает;при приближении M к центру O (r - убывает) → скорость v - возрастает.Свойство 2. если h > 0, то M может уйти от центра O на сколь угоднобольшое расстояние. Если же h < 0, то, как видно из формулы, расстояние r2µ, т.е. в этом случае движениемежду M и O не может превзойти величину|h|Mµ происходит в ограниченной части пространства.¶2µ2µ2µ= v2 > 0 ⇒> −h = |h| ⇒ r 6h+rr|h|Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.12 / 20Интеграл ЛапласаПолучим ещё один (третий) первый интеграл уравнения движения.dv̄m r̄= −µ 2векторноУмножим дифференциальное уравнение движения mdtr rслева на c̄ = r̄ × v̄:³ µ ´µdv̄c̄ ×= (r̄ × v̄) × − 3 r̄ = − 3 (r̄ × v̄) × r̄dtrrdv̄dПоскольку c̄ = const, тогда c̄ ×= (c̄ × v̄)dtdt(r̄ × v̄) × r̄ = −r̄ × (r̄ × v̄) = −r̄(r̄ · v̄) + v̄(r̄ · r̄)Т.к. r̄ = rēr , а v̄ = ṙēr + rϕ̇ēϕ , значит r̄ · v̄ = rēr · (ṙēr + rϕ̇ēϕ ) = rṙ(ēr ⊥ ēϕ ),rr̄˙ − r̄ ṙd r̄отсюда (r̄ × v̄) × r̄ = v̄ · r2 − r̄rṙ = r(rr̄˙ − r̄ ṙ) = r3= r32rdtrµ¶dd r̄dr̄Окончательно имеем: (c̄ × v̄) = −µ⇒c̄ × v̄ + µ=0dtdt rdtrr̄Интегрируя по t получим: c̄ × v̄ + µ = −f̄ — интеграл Лапласа.rПостоянный вектор f̄ – вектор Лапласа.
«−» взят для удобства работы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.13 / 20Вектор ЛапласаИнтеграл Лапласа не является ещё одним независимым интегралом. Онвыражается через предыдущие интегралы площадей и энергии.Умножая скалярно интеграл Лапласа на векторную константу площадей c̄получимc̄ · f̄ = 0Т.е. вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей c̄ и,следовательно, лежит в плоскости орбиты.Модуль вектора Лапласа можно выразить через гауссову постоянную µ ипостоянные c и h интегралов площадей и энергии. В самом деле, возводяинтеграл Лапласа в квадрат и учитывая ортогональность c̄ и v̄ получим:f 2 = (c̄× v̄)2 +µ2µ ¶2µ¶µ2µ2µr̄+2 (c̄× v̄)·r̄ = c2 ·v 2 +µ2 − c2 = µ2 +c2 v 2 −rrrrВ итоге:f 2 = µ2 + c2 · h(использовали: (c̄ × v̄) · r̄ = c̄ · (v̄ × r̄) = −c̄ · (r̄ × v̄) = −c̄ · c̄ = −c2 )Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.14 / 20Формы орбитУстановим форму орбиты, т.е. получим уравнение орбиты.Из интеграла Лапласа при c̄ = 0 следует,rчто орбита точки будет прямолинейной: r̄ = − f̄µЕсли c̄ 6= 0, тогда умножая скалярно на r̄ интеграл Лапласа получим:µr̄ · (c̄ × v̄) + r̄ · r̄ = −f̄ · r̄−c2 + µr = −f r cos ν⇒rгде ν – угол между радиус-вектором r̄ и вектором Лапласа f̄rназывается – истинная аномалия.On f2cтогда из последнего выражения получим:µpуравнение орбиты — r = 1 + e cos νПолученное соотношение представляет собой уравнениеOконического сечения, фокус которого находится в т. O на оси ,p – параметр (фокальный), e – эксцентриситет орбиты.Орбита т. M относительно O будет: эллипс (e < 1),парабола (e = 1), гипербола (e > 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
