1611690484-646f869b6a966ff111ebf2882dc8df27 (826914), страница 20
Текст из файла (страница 20)
А. (НГУ)T =1e) ωe(JO ω2ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.10 / 18e = eω · ω где eω – ортПредставим вектор угловой скорости в виде: ωмгновенной оси вращения в осях Oξα : eω = (e1 , e2 , e3 ), |eeω | = e21 + e22 + e23 = 1,e , ξα ), то есть ωe = (ω1 , ω2 , ω3 ) где ωα = eα · ωгде eα = cos(ω⇒T =111e) ωe = (JO eω ) eω · ω 2 = JωO ω 2(JO ω222→T =1 O 2J ω2 ωгде JωO – осевой момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.В случае, когда сопутствующие оси Oξα являются главными осями инерции: O33J1∗00X1X O 20 → JωO =J∗O = 0 J2O∗T =J ∗ω ∗JαO∗ e2α∗ →2 α=1 α αα=100 J3O∗Если происходит вращение тела только вокруг одной неподвижной осиOξ3 = Ox3 :1ω1 = ω2 = 0 →T = J3O ω322Замечание: т.к.
T > 0, то угол между L̄O и ω̄ всегда острый2T = LO ω cos(L̄O , ω̄)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.11 / 18Если рассмотреть общий случай произвольного движения тела, тогда12 + T , гденеобходимо вспомнить теорему Кёнинга: T = M vCr212 – характеризует кинетическую энергию• первое слагаемое: M vC2поступательного движения тела со скоростью центра масс;Z1• второе слагаемое: Tr =vr2 dm – определяет кинетическую2(M )энергию относительного движения тела относительно центра масс –в кёниговых осях, которое является – вращение вокруг центра масскак вокруг неподвижной точки.er = ωe ×ρe, где ρe – радиус-вектор точек телаТ.к.
в этом случае vотносительно центра масс, тогда11e )eTr = (JC ωω = JωC ω 222Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.12 / 18ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТВЁРДОГО ТЕЛАТеоремы динамики для абсолютно твёрдого тела выглядят точно также, как и для произвольной механической системы, потому что,твёрдое тело – это частный случай системы материальных точек,непрерывным образом заполняющей некоторую область пространства,у которой сохраняются взаимные расстояния между любыми точками.Теоремы об измененииdQ̄e= F̄dtdL̄Oe= M̄OdtdL̄Cre= M̄CdtdT = δAeколичества кинетического относительного кинетическойдвижениямоментакинетическогоэнергииотносительномомента(отсутствуетнеподвижной относительнослагаемоеδAi )точки Oцентра масс CДля твёрдого тела все силы – внешние, и индекс e обычно опускают.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.13 / 18Неизменяемая системаВо всех векторных теоремах динамики системы точек фигурируютµ¶dQ̄e dL̄Aeтолько внешние силы= F̄ ,= M̄A и лишь в теореме обdtdtизменении кинетической энергии стоят оба слагаемых для работы сил– и для внешних и внутренних сил: dT = δAe + δAiОдин из случаев, когда работа внутренних сил равна нулю являетсяслучай так называемой – неизменяемой системы – это механическаясистема у которой взаимные расстояния между точками постоянны.Частным примером такой системы является абсолютное твёрдое тело,т.е.
можно сказать что твёрдое тело – это неизменяемая механическаясистема у которой точки сплошным образом занимают некоторыйобъём пространства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.14 / 18Работа внутренних сил неизменяемой системыВ самом деле, для любых двух точек такой системы требование сохранениярасстояния – означает равенство проекций их элементарных перемещений налинию соединяющую точки, т.е.
dr̄ ν · ē = dr̄ µ · ē где ē - единичный векторzr̄ ν − r̄ µdrmPnпрямой, проходящей через Pν , Pµ : ē =|r̄ ν − r̄ µ |ePmПо III Закону Ньютона силы механическогоdrnrnвзаимодействия между точками системы:rm|F̄ νµ | = |F̄ µν | = F, F̄ νµ = −F̄ µν = F ēOayxтогда: δA(F̄ νµ ) + δA(F̄ µν ) = F̄ νµ · dr̄ ν + F̄ µν · dr̄ µ = F (ē · dr̄ ν − ē · dr̄ µ ) = 0Таким образом для неизменяемой системы (например для твёрдого тела)элементарная работа всех внутренних сил равна нулю.Теорема об изменении кинетической энергии для неизменяемой системыимеет вид:dT = δAeт.е.
учитывается только работа приложенных внешних силна перемещениях точек приложения этих сил.В кёниговых осях Cxα : dTr = δr Ae – для движения относительно центра масс.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.15 / 18Элементарная работа сил приложенных к твёрдому телуБудем представлять себе твёрдое тело как неизменяемую систему из Nотдельных точек (расстояния между которыми не меняются).Пусть F̄ ν – равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν тела,ieпричём F̄ ν = F̄ ν + F̄ ν , т.е.
сумма равнодействующих всех внутренних ивнешних сил (ν = 1, . . . , N ).Согласно формуле распределения скоростей точек тела v̄ = v̄ O + ω̄ × ρ̄,поэтому вектор элементарного перемещения dr̄ ν точки Pν тела, вдоль еётраектории:dr̄ = v̄dt = (v̄ O + ω̄ × ρ̄) dtгде dt – элементарный промежуток времени. Элементарная работа системысил, приложенных к телу (т.е. к системе N точек):ÃN!NNNXXXXδA =F̄ ν dr̄ ν =F̄ ν (v̄ O + ω̄ × ρ̄ν ) dt =F̄ ν v̄ O dt +(ω̄ × ρ̄ν ) F̄ ν dtν=1ν=1ν=1ν=1Согласно первому свойству внутренних сил:NXeF̄ ν = F̄ = F̄− главный вектор внешних сил.ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.16 / 18Второе слагаемое преобразуется к виду (циклическая перестановка векторов):NNNXXX¡¢(ω̄ × ρ̄ν ) F̄ ν dt =ρ̄ν × F̄ ν ω̄ dt =m̄O (F̄ ν ) · ω̄ dtν=1ν=1ν=1где, согласно второму свойству внутренних сил:NXem̄O (F̄ ν ) = M̄O = M̄Oν=1— главный момент внешних сил относительно O – полюса.Тогда элементарная работа системы сил, приложенных к телу, получит видeeδA = F̄ · v̄ O dt + M̄O · ω̄ dtdr̄ O– скорость полюса O, тогда v̄ O dt = dr̄ O – векторdtэлементарного перемещения полюса O.Отметим, что v̄ O =Замечание: Полюс тела O – не обязательно является центром масс тела C.Итак, элементарная работа сил приложенных к твёрдому телу определяетсялишь работой внешних сил и выражается через главный момент и главныйвектор внешних сил, а также характеристики мгновенного кинематическогосостояния тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.17 / 18Для случая плоского движения тела, которое характеризуетсянеизменностью оси вращения тела (перпендикулярно плоскостидвижения), справедливы выражения:ω̄ =dϕēz ,dteM̄O = MeO ēzгде ϕ – угол поворота тела, ēz – орт оси вращения тела.Тогда получим, чтоeM̄O · ω̄ dt = MeO · dϕЗначит выражение для элементарной работы сил, приложенных к телув плоском случае приобретает вид:eδA = F̄ · dr̄ O + MeO · dϕгде dr̄ O – вектор элементарного перемещения полюса O тела,dϕ – элементарный угол поворота тела вокруг оси,перпендикулярной плоскости движения— в данный момент времени (в данном положении тела)Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 14ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТЕЛАПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛАСТАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.1 / 20Требуется найти закон движения свободного твёрдого телаотносительно неподвижной (абсолютной) системы координат Oa xα .Как установлено в кинематике, любое движение тела можнорассматривать как совокупность двух простейших составляющих:1. поступательное движение,определяется движением произвольной точки тела (полюса);2.
вращательное движение тела вокруг полюсакак вокруг неподвижной точки.x3r̄ = r̄ C (t) + A(t)eρ = r̄ C (t) + ρ̄(t)−−→CM =½Mρ̄ = (x1 , x2 , x3 ) в Cxαe = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) в Cξαρe = const,ρρ̄ − функция от tA(t) − матрица переходаот Cξα к CxαБатяев Е. А. (НГУ)rj1x2j3 x”21j3j2x’j3 Cj1 2x2x1j3rC x1 j1j2 j2Nx3x3j2.j..Oax1ЛЕКЦИЯ 14x2Новосибирск, 2017 г.2 / 20При описании движения тела полюс желательно выбирать так, чтобыего движение определялось наиболее просто.Из основных теорем динамики для системы материальных точек(а твёрдое тело является частным случаем неизменяемой системы),следует, что за полюс (фиксированную точку тела) удобно взять центрмасс тела, т.к. его положение не меняется относительно точек тела.Следовательно, поступательное движение тела описывается тремяскалярными функциями – координатами центра масс:¡¢CCr̄ C (t) = xC1 (t), x2 (t), x3 (t)Действительно, согласно теореме о движении центра масс, ондвигается как материальная точка, в которой сосредоточена вся массатела и приложены все внешние силы:dv̄ CeM= F̄dtПричём теоремы об изменении кинетического момента икинетической энергии для относительного движения тела вокругцентра масс формулируются точно так же, как и для обычногоабсолютного движения тела вокруг неподвижной точки:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.3 / 20относительно центра масс CdL̄Cre= M̄CdtdTr = δr Aeотносительно неподвижной точки AdL̄Ae= M̄AdtdT = δAeiУ тела отсутствуют силовые величины M̄C , δAi для внутренних сил,поэтому индекс e можно вообще убрать.Вращательное движение тела, описываемое ортогональной матрицейповорота A(t), определяется тремя углами Эйлера ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t)(прецессии, нутации и собственного вращения), которые фиксируюториентацию тела относительно неподвижной системы координат Oa xα(фактически – относительно кёнинговой системы координат Ca xα )и не зависят от выбора полюса.Таким образом, 6 независимых параметров (скалярныхфункций) – координаты центра масс xCα (t) и углы Эйлера ϕα (t)(α = 1, 2, 3) — полностью определяют положение тела в любоймомент времени t т.е. задают движение тела.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.4 / 20Составим теперь систему дифференциальных уравнений,позволяющих определить эти величины как функции времени.Твёрдое тело является частным случаем механической системы,поэтому дифференциальные уравнения его движения могут бытьполучены из уравнений движения системы. Однако, своеобразиетвёрдого тела проявляется в том, что эти уравнения могут бытьполучены из общих теорем динамики.Первая группа уравнений – на координаты центра масс –получается из теоремы о движении центра масс, если положитьv̄ C =dr̄ Cdt⇒Батяев Е.
А. (НГУ)Md2 r̄ C= F̄dt2⇔ЛЕКЦИЯ 14M ẍCα = Fα(α = 1, 2, 3) (1)Новосибирск, 2017 г.5 / 20Вторая группа уравнений – описывающая вращательное движениетвёрдого тела – получается из теоремы об изменении относительногокинетического момента тела относительно центра масс.Если L̄Cr – кинетический момент тела в его движении относительноцентра масс, т.е. относительно системы координат двигающейсяпоступательно с началом в центре масс Cxα (кёнинговой), причёмL̄Cr = L̄C , тогда имеем:dL̄Cr= M̄CdtДля получения скалярных уравнений, эту теорему удобно представитьв сопутствующей системе координат Cξα (жёстко связанной с телом).Для начала вспомним связь между абсолютной и относительнойпроизводной вектора по времени и зависимость между выражениямивектора в кёниговой Cxα и сопутствующей Cξα системах координат:Ã!e CrdL̄CrdeL̄CrdLfCe Cre ×L= M̄C = A M=+ω̄×L̄Cr = A+ωdtdtdt=⇒Батяев Е.
А. (НГУ)e CrdLe Cr = MfCe ×L+ωdtЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2017 г.6 / 20e Cr = LeC,Ранее мы получали выражение для кинетического момента Lпредставленного в сопутствующих осях Cξα , через оператор инерции JC :e Cr = JC ωeLe = (ω1 , ω2 , ω3 ) – вектор угловой скорости в системе Cξα .где ωC −J CJ1C −J1213CC − является постояннойJ2C −J23Так как JC = −J12матрицей в системе CξαC −J CJ3C−J1323тогда теорема об изменении кинетического момента принимает вид:deωfCe × JC ωe =M+ωdt333XXXCCCe Cr = e =LJC ωI1jωj ,I2jωj ,I3jωj JCЗдесь векторj=1j=1j=1где IijC – элемент оператора инерции JC расположенный в i-ой строкеn o3f C = (M C , M C , M C )и j-ом столбце:JC = IijCM321i,j=1Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
