1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Заметим, что А — положительно определенная симметрическая матрипа (зто обстоятельство здесь не используется). 228 Гл. г'с'. Малые колебания Будем искать решение системы (8) вида с1 = пес с где и -- столбец с постоянными элементами ис, ..., исо а р "- число. Подставляя выражение (9) в матричное уравнение (8) н сокращая на е"',получаем: (А1с~ + Вр + С)п = О, (10) или в развернутой записи л (асар~+ Ьир+ ось)иь = 0 (с = 1, ..., и). ь=с (10') Для того чтобы система (10) нли (10') имела ненулевое решение и, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю: А(1л) = дес(А1с~ + Всл -Ь С) = О, (11) или в развернутом виде ам1л +ЬссР+ссс ...
ас„н +Ьсл1с+сса 2 2 А(д)= " а,„сР.э + 6„сд+ с„с ... а„,да + Ь„,„сс+ с„„ — О. (11') с1 = ~~ Сьпьс"" . с (12) Особо важным является тот случай, когда все вещественные части корней рк отрицательны: Ее ссь ( 0 (6 = 1, ..., 2н). В этом случае положение равновесия системы является асимптотиче- ски устойчивым не только для линеаризированной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциаль- ными уравнениями (1) (см. з 38). Уравнение (11) называется вековым уравнением для данной системы.
Это алгебраическое уравнение степени 2п относительно р. Ограничимся рассмотрением только основного случая, когда все корни векового уравнения ссс,, ..., ссэ„различны между собой. Каждому корню рь соответствует некоторое ненулевое решение иь — : (исш..., и„ь) системы однородных алгебраических уравнений (10) и, следовательно, частное решение пье""~ системы дифференциальных уравнений (8) (Ь = 1, ..., 2 ). Общее решение этой системы дифференциальных уравнений получается как линейная комбинация (с произвольными постоянными коэффициентами) этих частных решений: 229 у4б. Диссипативная фуннн я Релея В заключение отметим, что для консервативной системы В = ,')Ь;ь)~", = О, а А = ((а ьп' и С = ))с;ь()," —. симметрические положительно определенные матрицы.
Вековое уравнение бег(Арз + С) = 0 переходит в уравнение Ое1(С вЂ” ЛА) = 0 из 3 40, если положить и =- 1д Л (з = ~/ — 1). Но, как было показано в 340, уравнение Ое1(С вЂ” ЛА) = 0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (11) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни. й 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в 3 39.
Пусть в выражениях для обобщенный сил [см. равенство (6) на с. 227) с„ч = — ~~ Ь,ьдь — ~~ снедь (г =- 1,..., и), (1) ь=ч я=-1 составленные из козффициентов матрицы В = — уЬ,у ф и С = ((с,ьу~ являются с мметрическими и положительно определенными. Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея В (см. 38), которые задаются положительно определенными квадратичными формами 1 1 П= — У сеед,дя > О, Л= — Ь Ь,ьд„дь > 0 (2) Ь /в.=1 О я=1 мы формулы (1) перепишем так: дП дЛ вЂ” — — — (1=1, ..., и).
(3) ддг ддг На систему, помимо потенциальных сил — дП/дд, (г = 1, ..., и), действуют еще диссипативные силы — дВ/ддн определяемые функцией Релея. В д 8 было выяснено, что в етом случае система является определенно-диссипативной. Так как, согласно первой из формул (2), потенциальная энергия в положении равновесна имеет строгий минимум и положение равновесия является изолированным, то (см. теорему на с. 176) положение равновесия является аснмптотически устойчивым.
230 Гл. 17. Малые колебания (Ад~ + Вд + С)п = О, (4) илн в развернутой записи (альд~+ 5льд+ ель)иь = О (г = 1, ..., а). (4') Умножая обе части 1-го уравнения (4') на й, (ил величина, комплексно сопряженная с и,) и суммируя по г, находим д~ ~ а,ьи,ив+ д ~~ Ьсьи,ив+ ~~~ ссвииь = О, или в сокращенных обозначениях А(п, й)д~ + В(п, й)р, + С(п, й) = О, (5) где А(п, й) > О, В(п, й) > О и С(п, й) > О '). Таким образом, любой корень д векового уравнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с полжительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что Ве д < О.
Если вековое уравнение имеет комплексный корень д .=- ч + гд, то это же уравнение имеет н комплексно сопряженный корень д = ч — гб. Числа д и 12 корни квадратного уравнения (5). Поэтому, полагая и =- = ч+лч, й = ч — ллч (ч, ил —. вещественные векторы-столбцы), можно написать ): В(п, й) В)ч,.ч)+В(чу, и) А(п, й) А(ч, ч) + А(чч, лч) (6) С(п, й) С(ч, ч)+С(лч, лч) А(п, и) А(ч, ч) + А(ча, лч) Комплексно сопряженным корням д и д соответствуют комплексно сопряженные колебания пега и йен'.
Сумму соответствующих членов См, б' на с.204 См. формулу (20) аа с. 204. Таким образом, диссипативпые силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, по н делают (в некоторых случаях) это положение асимптотнческн устойчивым. В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения.
Будем снова искать решение вида пе"". Для определения столбца и получаем уравнение [ем.с.228) 231 у 46. Диссипатиеная функция Реяея в выражении для с1 (см.форьсулу (12) на с. 228] можно привести к вещественному виду при комплексно сопряженных значениях произ- вольных постоянных С = (1))2)(Р+ сС), С = (1))2)(Р— сС): Спев' + Сбесм =- — (Г + )С)(у + с»е)е(тэ(~Р + с 2 1 + — (Р— сС)(» — си()е~т ' ) 2 = Ке((Е» — Сх»+ с(Р»+ Си)))ет'(созб1+ св1пб1)1 = = ет'((Р» — Сис) сов б1 — (Р»+ Сэг) вшб1). (7) Если мы имеем два вещественных корня д и сс' и соответствующие им столбцы обозначим через п и п', то, умножая обе части с-го уравнения (4') па и( (вместо ис), получаем вместо равенства (б) следующее равенство: А(п,п')д~ + В(п,п')сс + С(п,п') = О.
(8) Меняя ролями векторы п и п', заключаем, что число 1с' также удо- влетворяет уравнению (8). Поэтому В(п, п'), С(п, п') А(п, п') ' А(п, п') ' Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил)) . Введем нормальные координаты О), ..., О„. В этих координатах Т = — ~ ~О,, П = — ~и),О,, =1 =1 (10) Л = — С, О,О,'. + — С, )У,„О,Оь, *=с ,ь=) Подставляя сюда О, = н,е~ (с = 1, ..., и) См.
(26, — 194) где ы, (с = 1,..., и) — главные частоты консервативной системы, а коэффициенты в выражении (11)для функции Релея Д, Кь (с, 1с = 1, ..., и: О,ь = = )уь, при с ф сс) малы (квадратал(и и произведениями этих величин можно пренебрегать). Из положительной определенности квадратичной формы (11)следует, что )з, ) 0 (с = 1, ..., и). Составим уравнения Лагранжа О,+О,О,+и),О,+ ~ ЯьОь=О (с=1,...,п).
(12) ,ь=) (уэ ) 232 Гл. И. Малые колебания и сокращая на е", получаем систел(у линейных уравнений (р -(Яр (-(э,)х, -(-р ~ Дьхь = 0 (1 = 1,..., и). (14) ,»=) '('»ю( Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое урав- нение (» + 31(»+ ! (»»эи ре(д р -(- (»эр+ (и! (т( Ц дг.р = О. (15) р +В„р-(-ы! Корни векового уравнения впервом приближении имеют вид рь = — — ~»кнь (й =1, ..., п). (Вь 2 (17) Найдем амплитуды хм хм .,,, х„для р = р! = — В»,(2+ игь Подставив это значение д в коэффициенты по(ледник и — 1 уравнений (14) и разделив левые части уравнений на р(, получим; ы! (~! »(э»х(+ ((з! — А+ . ) хг+ .
+ В!„х = О, гы (18) (и„' — ы('( ,У...+В...+" -~б.-б, - ) „=о. ия! Из этой системы определяем отношение хь,(х( (/с = 2, ..., и), отбрасывая члены второго и более высокого порядков малости (относительно(Во Ц,ь): (19) х( (ль ы( Формулы (19) показывают, что еь — малые вещественные величины (к = = 2,..., и). Корню р( = — (В(((2+ »ыд соответствует «комплексное колебание» (налагаем х( = Ае', А ) О): В = "" =Ае ! ' '( ""'*~ Вь =еьАе ~»( '1 ы" (г) (20) (к=2,...,п). Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов (Во В,ь, представим вековое уравнение в следующем виде: П (д' + В д + ы') = 0 (16) ь=! б27.
Влияние внешней силы, зависящей от времени 233 Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно-сопряженного коле- бания, получим «главное» колебание, соответствующее корням ,3~ . В! р! = — — + ио! и й! = — — — тат!: 2 2 з! ьь« кч В! = Ае ' з1п(штс+ о), Вь = еьле э з!п(э«!1+ о+ — ! 2 (я = 2, ..., п'!, (21) Аналогичные выражения мы получим и для других главных колебаний. Таким образом, в первом приближении: 1) малые диссипативньте силы не изменяют частпот консервативной системы; 2) при этих силах колебан я затухают при ! -э со; 3) в 1-м главном колебании все координать« мали по сравнению с 1-й координатной и отличаются от нее по утазе на четверть периода (1 = 1, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
