1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Приведенная система. Потенциал Рауса 241 д'Т " д'Т дЧ„ + ~~~ . . . = а, — ~ у еа Ч~ Чз Ч~ Чо Ч~ Ьобаозав, (1, 1 = 1, ..., т). (10) 1 „, 1 с'1 Ч1Ч1 + ~' Ьозрорд ь1 =1 о,в=т .1 '> р. ~ Ь.,р, -~ ~.1Ч1 -т+П= а=т-1-1 Д=тт1 1=1 242 Гл. Л1. Системы с циклическими координатами п + 2 ~' ~парируй + а, 11 =-ш-1 1 1 — — а,* д191 ш Е и + П вЂ” ~а ~ ~~ 7,Р 9,. (12) 1=1 а.=ш.1-1 РассмотРим фУнкЦию П'11, 91, Ра), котоРУю назовем потенциалом Раусо, ): п П* = П+ — '> б.рр.ро.
(и) а, 13=т-~-1 Пользуясь теъ1, что Аеа Ь.д = где Ае — алгебраическое дополнение элемента ае в определителе Р, можно записать выражение для потенциала Рауса еще в следующем виде: 0 Рт'1 . Рп а а1 т1 ... а т1„ Рт-1-1 П" =П вЂ”вЂ” 1 2Р (13') Рп а.,тт1 апп Кроме того, введем обозначение 1 Т = — ~ ае 911)Р (14) С 1=1 Тогда, согласно равенству (12), функпия — В, которая для позиционных координат играет роль функции Лагранжа, равна где 1с .
обобщенный потенциал, определяемый равенством 1 ш — ~ ( ~ 7а1Р. 9;+П"~1,д1,Ра). 1=-1 ~,аат-)-1 (16) 1) См, )27. — 199). Рассмотрим теперь какое-либо движение исходной системы. В атом движении ра = сопят = с„(о = т + 1, ..., п), (17) э 48. Приведенная система. Потенциал Рауса 243 и изменение позиционных координат аэ = д,(1) (г = 1,...,т) может быть определено из дифференциальных уравнений (8) на с. 84, в которых всюду р„следует заменить па со (о = т + 1, ..., гг).
Но эти уравнения являются уравнениями Лагранжа (с функцией Лагранжа -В = Т* — 1г') для некоторой вспомогательной натуральной склерономной системы с т степенямн свободы, имеющей кинетическую энергию Т' = (1/2) ) ' ., а,'.дга и обобщенный силовой потенциал Е~~='1 (Ео=„,т~ 'уогсо) чг+ П" (1~ Оо со). Потенциальной энергией этой системы является потенциал Рауса П*(1, а„со).
Из формул (11) -(13) следует, что (18) Т+ П = Т' + П*. Полученную вспомогательную систему будем называть приведенной систпемой. Таким образом, изменение позиционных координат ды ..., а определяет движение приведенной системы (с гп степенями свободы) с кинетической энергией Т* и абобщенпым потенци лом И = 1'г + +П", где П' -. потенциал Рауса. При соответствующих движениях исходной и приведенной системы полные энергии этих систем равны между собой.
Когда функции аг = О,11) (г = 1, ..., т), определяющие движение приведешюй системы, найдены, то изменение со временем циклических кооРдинат г1 = до (а = т+ 1, ..., п) может быть опРеделено из формул (9) на с. 84, которые сейчас могут быть написаны так: 1' ~дП*(1, йн с ) "' 1 дс 1=-1 (о = т + 1, ..., и). Рассмотрим частный случай, когда выражение кинетической энергии исходной систеъгы (1) не содержит произведений позиционных скоростей уг на циклические скорости а„, т.
е, случай, когда все а; = О (г =- 1, ..., гп; сг = т+ 1....., и). В этом случае кинетическая энергия Т распадается на две квадратичные формы, из которых одна содержит только позиционные скорости дм а вторая только циклические скорости 1) . Такая система называется гироскопически несвязанной. Для гироскопически несвязанной системы, согласно формулам (5), все у„1 = О и, сггедователыто, Ъ~ = О и Г = П*. Таким образом, если исходная система является гироскопически несвязанной, то приведенная система имеет обычный потенциал П*г). ) На првведеввую систему действуют потевцивльпые силы — д11" /дд, и гироскопические силы, определяемые потенциалом г'г, В случае гироскопически несвязаввой системы гг = О и гироскопические силы отсутствуют. 244 Гл. Л1. Системы с циклическими координатами Кроме того, из равенств (10) следует, что для гироскопически несвязанной системы а,*.
= аг (1, ! = 1, ..., т), т. е. ы Т' = — ~~~ а„Ч1Ч!. (20) В этом случае исходная система имеет кинетическую энергию 1 1 Т = — ~ ~амЧ!Ч + — ~~ Ь рс ср 2 2 ьэ=! т В=м.1-1 и потенциальную П = П(1, Чг), а приведенная кинетическую энергию Т' = (1/2) 2",'".а! а, Ч,ЧЧ и потенпиальную 1 П* = П(1, Ч;) + — ~~~ Ь„рс ср. 2 а, В=м-1-1 Мы видим, что часть кинетической энергии исходной системы ((1/2) 2 " т Ь рс ср) перелила в потенциальную энергию приведенной системь1. Все сказанное о склерономных системах справедливо, в частности, для консервативных систем, у которых дП/д1 = О, т.е.
П = П(Ч1). Приведенная система для гироскопически несвязанной консервативной системы будет снова консервативной. Пусть теперь дана произвольная консервативная система с т степенями свободы, с кинетической энергией 1 — а!1(Ч1: "., Чпд)Ч1Ч1 2 1 3=1 и потенциальной энергией П' = П'(Ч,).
Рассмотрим консервативную систему, у которой число степеней свободы равно т + 1 и которая имеет т позиционных координат Ч1,..., Ч„, и одну циклическую координату Ч ь1. Пусгь у новой системы П = О, а кинетическая энергия имеет вид 1 Ь Т = Т'+ —,, Чг,„, (и = соне!). Тогда Ь П(Ч1) Ч " и т = Т'+ — П*(Ч1)р' ~г 2й г" 4О.
Приведенная система. Потенциал Рауса 245 Но тогда при р,„а, — — св, г — — ъ'21« -'П И,)р .г=П (О«). Таким образом, у данной консервативной системы кинетическая и потенциальная энергии Т* и П* = П*191), а у новой «расширенной» системы Т = Т' + П'(9,) и П = О. Потенци льн я энергия данной системы получилась эа счет кинетической энергии «расширенной» системьг, имеющей ббльшее число ст,епеней свободы. Движения, при которых изменяются только циклические (скрытые) координаты, иногда называются скрытыми движениями ). 1 Вьппе мы видели, что потенциальная энергия консервативной системы всегда моэкет быть рагхматриваема как кинепгаческая энергия скрытых движений. Гг Эта концепция о кинетическом происхождении потенциальной энергии и, следовательно, о кинетическом происхождении сил, приложенных к телам, осуществляющим явные 1нескрытые) движения., была широко развита Герцем в его «Принципах механики» (1894г) э) .
П р и м е р. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой О в случае Лагранжа, когда па тело действует сила веса Мд, существует ось динамической симметрии и центр тяжести Р расположен на этой оси. О Положение тела будем задавать с помощью трех углов Эйлера О, гд, 1», где угол нутации Π— угол между вертикаль- р ной осью Оз и осью динамической симметрии ОЧ (рис.
56), ф — утоп прецессии, а «г — угол чистого вращения. Пусть 1 = ОР, а А и С вЂ” экваториальный и аксиальный моменты инерции соответственно. Тогда 2Т=А(р +д )+Сгз, П=М91совд. гдг. р, д, г — проекции угловой скорости ьг на главные оси инерции Об, Ось Об. Но рз -1- 9~ = О -1- зг~ вгп О, г = Р + ф сов д.
Поэтому окончательно 2Т = А1О -Ь ф вш О) + С(ф+ гдсовд), П = Мд1 сов д. (21) Ярким примером проявления скрытых движений ввлвютсв системы, содержащие внутри себя гироскопы. За счет «скрытых» движений гироскопов движение таких систем резко отличается от движения систем бвз гироскопов. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи.
— М., 1959; см.также; ТЬогпвов ггг, ава Тай Р. Тгеайве оа па«вга1 РГ61оворьу. — Рагс 1.— 9319 в Вебст«РА. Механика материальных точек, твердых, упругих в жидких тел. — М., 1933. — Гл.'г. 246 Гл. РП. Системы с циклическими координатами ре = (Авш'В+ Ссов'0)ф+ Ссовддц р„= С сов ВО + Сф.
(22) Разрешив эти соотношения относительно у) и сЬ, получим ра — сов Вр, Ав1пвд (23) — С сов дре+ (Аяп О+ С сов~ 0)р эс— АСвш 0 Коэффициенты при ре и рт в правых частях равенств (23) и представляют собой величины Ь в. Выражение для кинетической энергии в переменных Рауса В, В, рю ре получаем, подставляя выражения (23) для 1Ь и О в выражение (21) для 2Т, или сразу по формуле (11) '): 2Т=АО + Сре~ — 2С сов Вдаря + (Аяп В+ С сов~ В)р~~ (24) АСяпз 0 При движеяии системы импульсы ре и рт сохраняют постоянные значения р,,=а, р„=Ь. (25) Нутационное движение определяется приведенной системой, для которой Т* = — АВ, П" = Мд(сов В -~- в + —.
(26) 1 . „(а — Ь сов В) Ь 2 Аяпв 0 С Изменение угла нутации В = 0(1) находится из соответствующего интеграла энергии '2 (а — ЬсовВ) — АВ + Мд1совВ+ = сопвс = Ь. (27) 2 Авш В Введем вспомогательную переменную и = сов В. Умножая обе части равенства (27) на (2/А) (1 — иа) = (2/А) япа В, находим ( — ) = 1(и), (28) где 1'(и) — многочлен третьей степени относительно и: 1(и) = — (Ь вЂ” Мд(и)(1 — и ) — — (а — Ьи ). 2 2 в А Аз (29) с) В данном случае твердое тело представляет собой гпроскоппческп иесзязаппую систему.
В этом случае в формуле (11) а," (ь у = 1, ..., пг). Найдем выражения для обобщенных импульсов р„, ре, соответствующих циклическим координатам:р, ф: у ЛВ. Приведенная система. Потенциал Рауса 247 Полагая в этом выражении и = х1 и и = ио = сов Во < 1, находим ') Д вЂ” 1) < О, 1'(ие) = ~ — ) > О, Х(+1) < О. /'дий о Тогда мпогочлен 1(и) имеет три вещественных корня иг = сов Вм из = сов Вз и и': -1 < иг < из < 1 < и', и )поскольку Д+со) = +со) график многочлена ) (и) имеет такой вид, как показано на рис. 57.
0==0, Рис. 57 Рис. 58 Так как при движении тела — 1 < и = сов В и т(и) = (ди/дЬ)~ > О, то величина и = сов В должна изменяться в интервале иг < и < из, т. е. В1 > В > Вз. Угловая скорость прецессии определяется из первой формулы (23): а — 5 сов В Ае1п В (30) ди х / = Ь-~-сопят, В = агссоеи. ~Я(и) (31) Мы здесь предполагаем, что а ф яЬ. Особые случаи а = д:Ь будут рассмотрены ниже. Кроме того, вачельвое значение Во выбираем так, чтобы Во т' О и, следовательно, (ди/дс)с и О.
Можно доказать, что й ве может обращаться в нуль ва нижней параллели. Если отношение а/Ь находится вне интервала и1 < и < из, то скорость прецессии 1Ь сохраняет постоянный знак и прецессионное движение происходит все время в одном направлении. В этом случае след, оставленный осью ОС на неподвижной сфере с центром в О, описывает кривую, изображенную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
