1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Функция (11) имеет строгий минимум (равный нулю) при (е = О, а, = О, т) 0 (1 = 1....., т; о = т+1,..., и). Приведенный здесь критерий устойчивости стационарного движения в несколько иной форме был установлен Раусом в 1884 г. П р и м е р. Определить устойчивые стационарные движения неоднородного весомого шара на гладкой горизонтальной плоскости, если центр тяжести шара 11 отстоит от геометрического центра О на расстоянии д, масса шара равна М, момент инерции относительно оси ОО равен С, а два других главных центральных моглепта инерции равны между собой, А = В (рис.
6Ц '). ~) Рассматриваемое в этой задаче твердое тело представляет собой физический маятник, у которого ось подвеса является осью динамической симметрии, а точка опоры О может свободно скользить (без трения) вдоль горизонтальной плоскости. ~бд. Устойчивость стационарных движений 253 В качестве независимых координат возьмем две горизонтальные координаты центра тяжести хр, уо и три угла Эйлера р, «д, и. При этом угол е» Рис. 61 является углом «чистого вращения» вокруг оси динамической симметрии Оь, проходящей через точки О и О; направление оси О~ совпадает с направлением вектора 12О. Напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии: 2Т = А(р + д ) + Сг' + М(хо + у,'» + 4), П = Мдсо Здесь р, д, г — проекции угловой скорости со на центральные оси инерции.
Но р + д = В + й яв В, г = «»+ «д соз В, хо = — д сов В. Поэтому 2Т = (А + Мд~ яп В)В~ + А»д~ яп" В+ Сг~ + М(хо~ + уод), П = — Мдд,созВ. Координаты то, у», р и «д являются циклическими. Во время движения соответствующие импульсы сохраняют постоянные значения, а именно: р,=Мхи, р =Муо =~В, р„=Сг= у, (12) ре = АФяп В+ Се сов В = б.
Кроме того, ре = (А -г Мд зш В)В. 254 Гл. Л!. Системы с циклическими координатами Напишем выражение для функции Гамильтона в переменных д, р, = о, рэ = д, р,, р„=,, ре = б: рвв 1 /б — усовд'у' 2(А+ ЛХбв вшв 0) 2А ~, сйп0 ) ~в в 2ЛХ А+ ЛХср в1пв д + П', (13) где (14) потенциал Рауса ). Условия существования стационарного движения (5) здесь имеют вид дП* дд р, =О. ХУи) = АП" = —, — Ки+ сопев (К = АЛХдб). 1 (б — уи)' 2 1 — ив Найдем; — уби' + ( ув + бв) и — уб Х (и) = — К, бв Хо(и) = (1 — Зри+ Зив — ли~), (1 — ив)з где в) 2чб д, в+бе' Допустим, что уравнение Х'(и) — О имеет корень и такой, что ~и~ < 1. Этому значению ~и = сов 0 и соответствует стационарное движение шара, при котором центр шара перемещается равномерно и прямолинейно, а углы Во и уу изменяются по линейному закону.
Для выяснения устойчивости стационарного движения докажем предварительно, что Хо(и) > О при ~и~ < 1. Действительно, если бы Хо(и) = О при ~и~ < 1, то из выражения для Хо(и) вытекало бы, что р = (1+Зи~)Ди +Зи). Мы исключаем из рассмотрения особые значения 0 = 0 и 0 = к. Поэтому втд.д О. в) уз + бе > О, так как при З = б = О функция П* = — ЛХда сов 0 имеет строгий минимум при д = О. Условие устойчивости — наличие строго экстремума функции Н при ро = О и некотором искомом значении д — будет выполнено, если при этом значении д функция П* имеет строгий лгинимум.
Для нахождения этого значения 0 = до положим и = сов 0 и ббд. Ус ьойчивость стационарных движений 255 Отсюда легко усмотреть, что )д~ > 1 при ~и~ < 1, что невозможно, поскольку д = 2 уб/(у~ + б ). Следовательно, Хп(и) р' О при )и < 1, т.е. Хп(и) сохраняет знак в интервале ( — 1, +1). Но Хп(О) = уг + бг > О.
Следовательно, Х (и)>Опри~и~<1. Поскольку А = Хо(и) ебп  — Х'(и) сов В = Хл(и) ып В > О, ддг то при рассматриваемом значении 0 функция П* имеет строгий минимум, т. е. соответствующее стационарное движение устойчиво. Условие существования стационарного движения Х~(и) = О можно преобразовать, положив б = уи + Агу(1 — иг). Если затем в полученное равенство подставить у = Сг = С(ф+ гб сов В), то это условие принимает окончательный вид (15) Ссггб+ (С вЂ” А)гд сов В+ Мдд = О. Это хорошо известное условие существования регулярной прецессии под воздействием внешнего момента ЛХддг1пд (момент вертикальной реакции ЛГ = Мд относительно полюса Р). Рассмотрим отдельно три случая. 1'.
Если )ЛХдд+ Сфд)) > )А — С~гд то условие (15) не выполняется ни при одном вещественном значении 0 и не существует стационарного движения с такими угловыми скоростями. 2'. Если ~Мдд -~- Срй( < )А — С(ф~ и величины Мдд. + Ссбгд и А— — С имеют одинаковые знаки, то при таких угловых скоростях существует стационарное движение с сов В > О. 3'.
Если же ~ЛХдд+ Сфф~ < ~А — С~~де, а величины ЛХдд+ Сфф и А — С имеют разные знаки, то при стационарном движении сов В < О. В атом случае существует устойчивое стационарное движение такое, при котором центр тяжести расположен выше геометрического центра шара. Рассмотрим теперь особые случаи. а) Вс = О.
Тогда из формул (12) следует, что у = б. Поэтому Х'(и) = — — К, 7 (1+ и)г = Х'(и)( — зшде) = О, /дП*'~ (,дВХ,, /Д~П* 1 7 А( г ) =Х(и)( — совВо)+ г+К>О. г=е (1-~- ие)г Стационарное движение всегда устойчиво. 256 Гл. г76 Системы с циклическими координатами б) Вс = к.
Из формул (12) находим: З = — д. Поэтому 7 1'(и) = — К, А ~ ) = ув(и)(-э1пда) = О, РАП" 1 ), АВ) в= А ~ ) = У'(и) ( — сое Во) = — К = — — К. ~дВ ), ' )1 ие)в Стационарное движение будет устойчивым при выполнении условия — >К, 7 4 которое в подробной записи выглядит так: С~с~ ) 4АЛХдд. (16) Если неравенство (16) имеет место, то, хотя в рассматриваемом случае центр тяжести расположен над геометрическим центром шара, вращение вокруг вертикальной оси будет устойчивым стационарным движением.
СПИСОК ЛИТЕРАТ л'РЫ 1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1, П/Пер, с фр, - Мл Физматгиз, 1960. 2. Бобеков И.Ы. Теория колебаний. — Мл Гостехиздат, 1958. 3. Бобьглее Д.К. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименыпего действия Лагранжа/Приложение к т.
1 Х1 Зап. Лк. наук.— СПб, 1889. 4. Булгаков Б.В. Колебания.- Мл Гостехиздат, 1954. 5. Валле Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике. Т.1, П/Пер. с фр. — Мл Издатинлит, 1948, 1949. 6. Вариационные принципы/сб, статей под ред, Л.С. Полака. — М., Физматгиз, 1959. 7. Гантлсахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. 2-е изд. --Мл Гостехнздат, 1950.
8. Голдстейн Г. Классичесссая механика/Пер. с англ. — Мл Гостехиздат, 1957. 9. Зигель К.М. Лекции по небесной механике/Пер. с нем. —. Мл Издатинлит,1950. 10. Золслсерфельд А. Механика/Пер. с нем. — Мл Издатинлит, 1947. 11. Картон Э. Интегральные инварианты/Пер, с фр. Мл Гостехиздат, 1940. 12. Кочин Н.Е., Кибеле И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика> Т.1. - М.
Л., 1948. 13. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. Т.1, П/Пер. с англ., Мир, 1964. 14. Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Механика. -. Мл Физматгиз, 1958. 15. Ландау Л., Пятигорский Л. Механика. М. -Л., 1940. 16. Ланиош К. Вариационные принципы механики/Пер. с англ. — Мл Мир, 1965. 17.
Ла-Салль Ж., С. Исследование устойчивости прямымм методом Ляпу нова/Пер, с англ. "Мл Мир, 1964. 18. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. 'Теоретическая механика. Ч. 1П. — Мл ОПТИ, 1934. 258 Список литературы 19. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. —.
Мл Гостехиздат, 1950. 20. Мак-Миллон В.Д. Динамика твердого тела/Пер. с англ. — Мл Издатинлит, 1951, 21. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - Мл Гостехиздат, 1952. 22. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. Мл Гостехиздат, 1956. 23. Роге Н.В. Лекции по аналитической мехыгике. ь1. 1. - - Изд-во ЛГУ, 1938. 24. Синг Длс. Л. Классическая динамика/Пер. с англ. — Мл Физматгиз, 1963. 25. Суслов Г,К. Основы аналитической механики. — 2-е изд.
— Киев, 1911— 1912; 1изд.3,переработанное Н.И. Бухгольцем и В.К. Гольцманом под названием: Теоретическая механика. — Мл Гостехиздат, 1944~. 26. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика/Пер. с англ, -- Мл ОНТИ, 1937. 27. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. — Мл 1956. 28. Четаее Н.Г. Устойчивость движения. — 3-е изд. — Мл Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
29. Якоби К. Лекции по динаьгике/Пер. с нем. — Мл ГОНТИ, 1936. 30. Согг1еп Н. С., ЯгеЫе РЬ. С1азз1са1 щесЬашсз. — ЫХ., Ьл Ъ'1!еу, СЬарщап, 1950. 31. Воий Е. Т. ТЬе адтапсед рагс о1 а Тгеайзе оп 1Ье бупаппсз о1 а зуееет о1 Н8Ы Ьоейез. — 6-1Ь ест. — 1.; Маспп1!ап, 1905. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Айзерман М. А. 191, 196, 238 Аппель П. 64, 257 Аристотель 29 Вабаков И.
М. 257 Бернулли И. 29 Бобылев Д. К. 98, 257 Булгаков Б. В. 257 Валле Пуссен Ш. 7, 257 Вебстер А. 245 Галилей Г. 29, 32 Гаьпгльтон У. 74, 76, 92, 139 Гельлггольц Г. 111 Герц 1. 245 Голдстейн Г. 154, 257 Гурвиц А. 196 Г|ойгенс Х. 32 Даламбер Ж. 35 Дирихле Л. 168 Донкин У. 76 Зигель К, 257 Зоъгмерфелъд А. 257 Каратеодори К, 154 Картан Э, 120, 257 КибельИ.А. 257 Корден Г. 258 Кочин Н.Е. 257 Крейн М.
Г. 219, 223, 224., 257 Курант Р. 218 Ла-Салль?К. 257 Лагранж ?К. 25, 74, 116, 168, 208, 257 Ландау Л.Д. 72, 257 Ланцош К, 257 Лежандр А. 76 Лефшец С. 257 Ли Хуа-чжун 122 Ливартовский И. В. 191 Лифшиц Е. М. 72, 257 Лойцянский Л. Г. 68, 257 Лурье А.И. 68, 257 Льенар А. 196 Ляпунов А. М. 172, 173, 178, 190, 258 Мак-Миллан В.Д. 258 Максвелл Дж. 222 Малкин И.
Г. 173, 258 Меркин Д.Р. 258 Мерсенн М. 226 Мопертюи П. 116 Остроградский М. В. 92 Пожарицкий Г. К. 251 Пуанкаре А. 120, 190 Пятигорский Л. 257 Раус Э. 81, 196, 240, 242, 251, 252, 258 Релей Дж. 219 РозеН.В. 257 Сильвестр Д. 51 Синг Дж. 258 Стокер Дж. 191 Суслов Г.К. 7., 258 Томсон В. 245 Торричелли Э. 167 Тэт П. 245 Уиттекер Е. 113, 258 Ферма П. 116 Фихтенгольц Г. М. 236, 258 Фишер Е. 218 'Четаев Н.
Г. 171, 173, 181, 184, 258 Шипар М, 196 Эйлер Л. 31 Якоби К, 87, 115, 258 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ансамбль статистический 127 Аппеля уравнения 64 Вековое (характеристическое) уравнение 187, 203 Виртуальные перемещения 16 Вихревые линии 110 Вихрь (ротор) скорости 109 Возможные скорости 15 Возможные перемещения 16 Выражение союзное 75 Гамильтона переменные 74 — принцип 92, 93 — — вторая форма 98 — уравнения 76 функция 76 — — главная 139 Гамильтона †Яко уравнение 136 Гельмгольца теорема 111 Геометрический критерий асимптотической устойчивости 198 Главные колебания 208 — координаты 172, вес Норъгальные координаты, 210 Гурвица многочлен 198 — определители 196 Далалгбера принцип 35 Движение стационарное 249 Действие по Гамильтону 91 Донкина теорема 76 Закон Мерсенна 226 «Золотое правило механики» 29 Импульсы обобщеннь|е 74 Интеграл уравнений движения 86 — энергии 54 — — обобщенный 79 Интегральный инвариант 102 — абсолютный 122 — относительный 121 — Пуанкаре универсальный 119- 120 - Пуанкаре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
