1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 42
Текст из файла (страница 42)
58. Если же и1 < а/Ь < из, то скорость прецессии меняет знак при сов В* = = а/Ь и след динамической оси описывает на сфере кривую, покещагпгую на рис. 59. Если а/Ь = им то скорость прецессии ф не меняет знака, но обращается в нуль на верхней параллели В = Вз (рис. 60) з). Аналитически изменение угла нутации определяется из формул 248 Гл.
РП. Системы с циклическими координатами Здесь знак «+» берется при изменении В от значения Вэ до значения 0» и знак « — э "- при изменении В в обратном направлении. Очевидно, изменение угла В во времени будет периодической функцией 011) с периодом т=2/ (32) 0=.0, Рис. 60 Рис.
59 Рассмотрим теперь движение твердого тела, проходящее через «особое» положение В = О. В этой точке кинетическая энергия задается вырожденной квадратичной форл«ой [сьь выражение (21) при В = О) 2Т = Адя + С(В +»р)~. (33) Согласно формулам (22) в особой точке В = 0 должно иметь место равенство ря = р, т.
е. (34) а=Ь Предполагая, что произвольные постоянные а и Ь связаны соотношением (34), мы легко раскрываем неопределенность в выражении (26) для потенциала Рауса '): а 1+ соя д П' = Мд1 соя В +— А 1 — сояВ После этого нутационное движенне снова определяется из интеграла энергии Т ~ П = солям Если движение проходит через «особое»» положение 0 = л, то вместо (34) имеем соотношение а= — Ь и выражение для потенциала Рауса принимает вид аэ 1+саед П* = Мд1соя В +в А 1 — сояд' В рассмотренных двух «особых» случаях верхняя или соответственно нижняя параллель на рис, 58 — 60 вырождается в точку.
») В выражении для П* мы отбрасываем постоянное слагаемое Ьэ,»В. После того как изменение угла нутации В = Вф найдено, изменения углов й и:р определя»отея по формулам (23). у 49. устойчивость стационарных движений 249 $ 49. 'Устойчивость стационарных движений др„дН вЂ” — — (г =- 1....., п), (1) <~1 ~Ъ где полная энергия системы Н = Н(дм рм р ) имеет вид 1 Н =- ~ сиз(й1, ° ° ° Диз)РгРз + П(й1, ° Дю) (2) т, з=.1 причем квадратичная форма, стоящая в правой части этого равенства, является положительно определенной ) .
При движении системы функция Н и обобщенные импульсы р (о = т + 1, ..., п) не изменяют своих значений, т.е. эти величины являются интегралами движения: Н(йп р,, р„) =Н(д,', р,", р".), р =-р„(о=т,— , '1,....,п). Движение системы называется стационарнь и, если при этом движении все позиционные координаты сохраняют постоянные значения о, =сопэ1=йу (1= 1, ..., тп). При стационарном движении все позиционные скорости раппы нулю и потому, согласно уравнениям (1) и равенству (2), т п в=~с1 И')рь+,) * (й')р" =О (1=1 " т) (4) а=1 о=ю-1-1 Из этих соотношений сззедуетэ), что при стационарном движении имеют постоянные величины и все позиционные импульсы р, = = свинь = Ро. ПосколькУ дз = Р, = О (1 = 1, ..., гп), то из УРавнений (1) вытекает, что при стационарном движении дН дН вЂ”.=О, =-О (1=1,...,т). до, ' дре (5) Эта квадратичная форма представляет собой кинетическую энергию системы, выраженную через обобщенные импульсы.
Соотношения (4) могут быть разреенены относительно позиционных импульсон рь, так как определитель де1ас,ь(д~)Е, „ отличен от нуля, поскольку квадратичная форма 2," з . с вр р, является положительно определенной. Рассмотрим консервативную систему, положение которой задается при помощи т позиционных координат де и п — т циклических коорДинат йо (1 = 1,..., т; о = т + 1, ..., и).
Движение такой системы определяется каноническими уравнениями: 250 Гл. Лй Системы с циклическими координатами Уравнения (5) представляют собой необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные значения 01, рг, о о рэ 1г = 1, ..., т; ег = т+ 1,..., и) для того, чтобы движение, определяемое этими начальными данными, было стационарным.
Заметим еще, что при стационарном движении имеют постоянные величины и циклические скорости а (о = т+ 1, ..., п), так как в соответствии с 11) дН в =, = ~~~ с,(г7")р, = сопз1 (сг = т+ 1, ..., п), (6) др„ Поэтому о~1 )+ о ~ +1 (7) Начальные циклические координаты 0 являются произвольными поо стоянными и в условия (5) не входят. Таким образом, при стационарном движении позиционные координаты сохраняют постоянные значения, а циклические координатны изменяются по линейному закону.
Пример. Регулярная прецессил тяжелого симметричного гироскопа п1едставляет собой стационарное движение. Действительно, регулярная прецессия характеризуется равенствами 0 = сопв1 = 0о, ф = сопз1, ф = сопв1, где угол прецессии гу н угол чистого вращения р — циклические координаты, а угол нутации 0 — угол, образованный осью гироскопа с вертикалью,— позиционная координата ). Заметим, что согласно соотношениям (6) небольшое изменение начальных величин 01, р, р дает небольшое изменение начальных цио о о, клических скоростей д„(о =- т+1,..., и).
Однако небольшое изменение величин дп, согласно формулам 17), дает с течением времени сколь угодно болыпое изменение самих циклических координат. Поэтому по отношению к циклическим координатам стационарное движение не может быт.ь устойчивым. В дальнейшем под устойчивостью стап1юнарного движения мы будем понимать устойчивость по отношению ко всем импульсам р, и р н позиционным координатам ул (г = 1, ..., т; о = гп+ 1, ..., п) г) .
Тогдаимеетместоследующий критерий устойчивости стационарных движений. ) Иэ формулы (21) предыдущего параграфа видно, чтп координаты гг и эг не входят явно в выражения Ллп кинетической и потенциальной энергий. г ) Илп, что то же, устайчпвость относительно величин д„ йм р = 1, ..., т; а — — т -~- 1, ..,, п), угу.
Ус ьойчивость стационарных движений 251 о о ту =Рг Рг~ Чо =Ро Ро Тогда, используя интеграл движения Н(д~+ С„р~+ ц, Ро ) в качестве функции Ляпунова, можно сделать заключение (см. с, 182) об устойчивости нулевого решения сг = О, и, = О (т. е, устойчивости стационарного движения) в предположении, что циклические импульсы р„не испытывают возмущений (т.е.
что эти величины для возмущенного движения имеют те же значения ро, что и для невозмущенного ) ). Однако сформулированный выше критерий устойчивости сохраняет свою силу и в общем случае, когда для возмущенного движения величины по = ро — ро (о = гп, + 1, ..., и) могут быть отличными от нуля 2) .
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно использовать следствие из теоремы Ляпунова (с. 182), взяв в качестве функции Ляпунова функцию в (Н( о+ьс о+, о) Н( о о о))2+ ~~, 2 (8) о=тэе Эта функция является интегралом движения и имеет при с, = О, гй =— = О, г1о = О (1 = 1, ..., щ о = т+1, ..., п) строгий минимум, равный нулю. Установим аналогию между устойчивостью состояния равновесия и устойчивостью стационарного движения. Для этого рассмотрим приведенную систему с т независимыми координатами д — 1, ..., в и с потенциальной энергией, равной потенциалу Рауса: о П*(йм Р'.) = П(й ) + — ~~', 5 В(йг)Р.'РИ о, д=гвт1 (9) (см. предыдущий параграф). На приведенную систему помимо потенциальных сил — дП'/дд; (1 =- 1, ..., т) действуют еще гироскопи- Именно такого рода устойчивость рассматривал Раус. Пожорвцкий Г.
К, Прикладная математика и механика. — 1958. Т. 22. Ими,2. Двиокение с начальными данными й~, Ро, ро (1 = 1, ..., т; о = = т+ 1, ..., и) будет устпойчивым стационарным движением, если фувкцил Н(ун р„р,",) в точке дг = д~, р, = ро (1 = 1, ..., т) имеет строгий экстремум. Действительно, рассматриваемое движение будет стационарным, посколькУ из сУществованиЯ экстРемУма фУнкции Н(йм ЄР) слео дует, что величины до, ро (1 = 1, ..., гп) совместно с величинами ро (о = ш+1, ..., и) удовлетворяют уравнениям (5). Введем отклонения 252 Гл.
Л1. Системы с циклическими координатами ческие силы. Так как стационарному движению исходной системы уе = Ч, р = р (1 = 1,..., т;и = т + 1,..., п) соответствует положение равновесия приведенной системы, то величины де, р должны о о . удовлетворять уранненияьг (10) Это необход мые и. достаточные услоег л существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (5) и получаются из последних исключением величин р; (1 = 1,..., т). Применяя теорему Лагранжа к положению равновесия с)е = д~ приведенной системы, получаем критерий устойчивости стационарного движения в следующей форме.
Движение с начальными данными до, до = О, ре (1 = 1, ..., т; о = т + 1, ..., и) будет устойчивым стационарнььм движением, если потенциал Рауса П'(с)„р~) имеет строгий минимум при сь = о г; Применяя теорелту Лагранжа к приведенной системе, мы фиксировали постоянные значения циклических импульсов ро = ре (о = = т + 1, ..., и). Однако критерий сохраняет свою силу и при варьировании импульсов р . Для того чтобы установить это, достаточно о в качестве функции Ляпунова взять интеграл движения )Ее(ДО ь ьс ч', Ро) Е*(60 0 РО)]2 ) ~ г)2 ~11) о=.п 1 где Е" = Т' + П* полная энергия приведенной системы )она совпадает с полной энергией исходной системы, выраженной в переменных Рауса де, ц;, ро (сьь З 48)), а 8, = де — д~, д;, О,„= р„— ре (1 = 1, ..., тп; о =- т + 1, ..., п) — отклонения возмущенного движения (от данного стационарного движения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
