1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Подставляя выражения (9) дня 0 в формулу Ч=~~ 0 иб, 1=1 получаем: (14) Ч=Ч-~-Ч ~ где с1 = ~~~ С.и вш(ю 1+ о ) р'=1 215 040. Экстрелгальные свойсгпва частот свободные колебания, а Ч =~' до 1=1 выггузссденаые колебания системы, и — амплитудный вектор с координатамн и11 г итз г ..., и„з (у = 1, ..., п).
й 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей В з 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат п или в скалярной записи и Дг ~ми001 (1 = 1, ..., и; С(ЕС(игз)г 1 1 ф 0)г (1') 1=1 осуществляющее переход к нормальным координатам 01, ..., 0„, в ко- торых квадратичные формы ) и и А(с(, с)) = ~ ~асйг)сг)ы С(с(, с1) = ~ ~есйдсдй (2) г, 1г=1 г, в=1 имеют простой («каноннческийэ) вид: и в А(с), с() = ~ ~д~, С(с1, с() =- ~ ~пг~д~.
1=1 1=1 В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумеро- ваны так, что их частоты идут в возрастающем порядке (4) ОЗ1 ~ (Ыт ~(... ~ (Ып. С(сй Ч) — удвоенная потеидиальвая эяергия, а А(сй «1) получается из выражеггия для удвоенпой кинетической энергии А(й, и) замепой в ием й па «1. 216 Гл. И. Малые колебания Рассмотрим отношение квадратичных форм (3) С(ч, ч) ы10,'+ ы202'+... + ыа0а (5) А(Ч, Ч) 012 + 022 +,, + 02 С(ч, ч) > А(ч, Ч) (6) С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, что при 02 = ... = 0„= О отношение С(ч, Ч)7'А(Ч, Ч) достигает значения ов1. Следовательно ), ав1 — — шгн С(ч, ч) (7) А(Ч, Ч) Наложим теперь на систему линейную однородную связь 2): в,,+,, ...
в„„=в (1 в,* в). 1=1 (8) Выражая здесь ()1, в)2, ..., в)а через нормальные координаты с помощью преобразования (1), мы в нормальных координатах снова будем иметь линейную однородную связь в',в,, (',в,в...вв'„в. — в (2 в," в). 1=1 (8') Связь (8) или (8') будем сокращенно обозначать так: 1) ЕСЛИ МЫ На ЧИСЛОВОЙ ОСИ ОтЛОжИМ ТОЧКИ Ы(, Ызв ..,, из И СОСрвдатОЧИМ в этих точках массы гаг = Р~, пзз = 822, ..., вп = 02, то, согласно формуле (б), веаичина О(Ч, Ч)гл(Ч, г1) будет координатой центра этих мав в'. Отсюда сразу следуют соотнопвения (8) и (7), поскольку центр масс всегда расположен между крайними массами и совпадает с одной из крайних масс тогда, когда все остальные массы равны нулю. ) Если дана нелипеиная связь и положение равновесия удовлетворяет уравнению этой связи, то в разложении левой части уравнения связи в степенной ряд 11в71 Е 2292 -'- ° 'в- в д т 2' в ьд аь 4 = О .
Ь=1 нет свободного члена. Кроме того, мы предполагаем, что линейные члены действительно имеются, т.е. что 2," (2 > О. Тогда, отбрасывая члены второго и более высокого порядков малости, мы представляем уравнение связи в виде (8). при любом д ф О или, что то же, при любых значениях 01, ..., 0„, не равных одновременно нулю. Заменяя в числителе дроби (5) все овр на меньшее или равное им число пв1, найдем 217 учу.
Экстремальные свойс ~ва частот Всегда можно найти такие значения до и до, которые вместе с дз = ... = 0„= 0 удовлетворяют уравнению связи (8'). Для соот- ветствующего Ч, согласно формуле (5), С(Ч Ч) ы1дз +созда < А(ч, ч) д, +д Поэтому и ) .
С(ч,ч) < ш)г1 1( ) ыо (9) Будем теперь варьировать связь 7, = О. Тогда левая часть в нера- венстве (9) будет изменяться, оставаясь все время меныпей или рав- ной аз~о. Но при связи дз = 0 (здесь |( = 1, Ц =... = )„' = 0) отношение С(ч, ч)/А(ч, ч) задается формулой С(Ч., Ч) ю202 +... + со д„ А(с1, Ч) 099 +... -Ь дз и поэтому (по аналогии с формулами (5) и (7)) С(Ч, Ч) о~2 ' е,=о А(ч, ч) Таким образом, среди всех связей вида 7 = 0 величина С(Ч Ч) г,=о А(с1, Ч) Вместо одной связи ь = 0 можно накладывать на систему несколько связей Ь| — — О, ..., Ьь 1 —— О. Аналогично тому, как это было сделано в частном случае одной связи, можно показать, что озв —.-шах ппп ' (5.=-2, ..., и).
т . С(ч ч) (11) ь,=о А(с1, Ч) ь'„' ','.='о Формулы (7) и (11) выражают экстремальные свойства частот консервативной системы. Эти свойства иногда называются максиминимальными. 1) Символ, стоящий в левой части иеравевства (9), обозвачает минимум отвовеевия С(Ч, Ч)/А(Ч, Ч) ари условии.
что рассматриваются только векторы Ч:А О, удовлетворяющие уравиевию связи (8). достигает своего наибольшего значения ыа при связи дз = О. Следог вательно, (10) о=о А(ч, ч) 218 Гл. Рй Малые колебания Вместо формул [7) и [11) легко получить аналогичные формулы: С(Ч Ч) ы„= юах (7') ы„ь =понтах ' [Ь=1, ...,п — 1). в С[Ч Ч) го=о А[Ч, Ч) Е„=а [11') Экстремальные свойства главных частот, выражаемые равенствами (7') и [11'), иногда называют минимаксим льными '). 1-,, 1,, 1 — 1 -А[Ч, Ч) = — у аыд1дь, -С(Ч, Ч) = — ~~ с,ьд1дь [12) и с главными частотами оц < озт «...
ш„. Для этой системы С(Ч Ч) ОЗ1 — — Пйн А[Ч, с1) озь — — тах ппп ' (Ь = 2, ..., п). С[Ч, Ч) А(Ч, Ч) ьл-~=о (15) Пусть новая система имееги ббльшую жесткость при той же инерции, т.е. при любом Ч А(Ч, Ч) = А(Ч, Ч), С(Ч, Ч) ) С[Ч, с1), или меньшую инерцию при той все жесткости А[Ч, Ч) < А(Ч, Ч), С(Ч, Ч) = С[Ч, Ч). В обоих случаях при любом д ~ 0 С(Ч, Ч) С(Ч, Ч) А(Ч, Ч) А(Ч, с1) [16) ~) Экстремальпые свойства частот были установлены веыецкпмп матемагпкаыв Е.
Фишером [Мопа1вЬебе Ьтг Маей, ппб РЬуе. 1905. Уа 18. Р. 243- 249[ и Р. Кураптолю [Хе11всЬг16 Рйг апкеи. Магй. ппб МесЬ. 1922. Л'-2. Р. 278 — 285). Наряду с данной системой рассмотрим еще одну консервативную систему с кинетической и потенциальной энергиями 219 843. Экстремальные свойс ~ва частот а~у < ьзу (у = 1, ..., п). (17) При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак <, если только не выполняется тождество ) С(ч, ч) С(ч, ч) А(ч, ч) А(ч, ч) (18) Мгй пришли к теореме Р е л е я т): при увеличении жесткости сисгпемъг или уменьизеьгии ее инерции главные частоты увеличиваютсл 5).
Выясним, как влияет наложение связей на величины главных ЧаСтОт Ы1 < ЬЗЗ « ... ОЗг,КОНСЕРВатннией СИСТЕМЫ. Наложим на систему в независимых линейных связей Х1 = О, Ха = О, ..., Х, = О. Пусть полученная таким образом консервативная система с и — г степенями свободы имеет главные частоты се' < ьзг « ... ьз„',. При этом С(ч, Ч) б,=-о .4(Ч, Ч) (19) Х,=о Сопоставляя формулу (19) с формулами (7) и (11) (при 6 — 1 = в), находим: ОЗГ < СЕ1 < Сезам (20) Точно так же при любом 6 < и — в 2 С(Ч Ч) ыь —— шах гпш Х,=о,...,ь.=о А(Ч, Ч) ь,=о, ..., ьь,=-о (21) г) Действительно, согласно формуле (5), в случаем =- ф П = 1....., и) имеет место тожцество (18).
Эта теорема была установлена английским физиком Релеем в 1873 г. (Релей Дою.В. Теория звука. — М., 1955. — Т.1. — 5 88). В первом случае по разности С(с1, с1) — С(сн с1), а во втором - по разности А(Ч, Ч) — А(Ч, Ч) можно оценить, насколько увеличиваются главные частоты (см. (7, гл.з, 11ОЙ Но тогда и минимумы, и максимумы этих отношений будут связаны межлу собой таким же неравенством, т. е. из неравенства (16), в силу форлтул (7), (11), (14) и (15), следует: 220 Гл. 17.
Малые колебания Здесь связи Хг = О, ..., Ь» = О фиксированы, а варьируются связи Ь1 — — О,..., Ьь 1 — — О. Сопоставляя равенства (21) с равенствами (11) и с формулой С(Ч: Ч) а1ь,, — — гнаХ Гаги ь,=о А(Ч, с1) ' й„.„,, =о в которой варьируются все з+ 6 — 1 связей, будем иметь шь < а»ь ь шьч» (22) Формулы (22) показывают, что при н ложении з независимых связей каждая из первых и — з главных частот увеличивается, не превосходя при этом старую главную частоту, номер которой на з единиц больше номера данной частоты. 1. В качестве приложения последнего предложения можно показать, что корни Л» ( Лг «...
Л векового уравнения»Л(Л)»вЂ” д г(е1(с,ь — Ла,ь)," ь, —— О разделяются корнями Л( ( ... ( Л„* » уравнения »Л|(Л) = с1е1(с,ь — Ла,ь)," „~, = 0 ), т. е. Л, < Л; < Л, < Л," « ... Л„" , < Л„. (23) Действительно, уравнение 21»(Л) = О является вековым уравнением для консервативной системы, получающейся из исходной наложением одной связи о„ = О. Поэтому, полагая Ль = ь»~ь (1' = 1, ..., п), Л„* = х,*~ (1 = = 1, ..., и — Ц,мы сразу из неравенств (22) получаем неравенства (23) при з = 1.
2. Укажем еще на одно любопытное применение предложения об изменении частот при наложении связей. Известно, что наличие трещины в стакане определяют, постукивая о стакан пальцами. Это связано с тем, что у стакана без трещины по сравнению со стакалом с трещиной имеются дополнительные связи между его частями. Поэтому у стакана без трещины частоты колебаний должны быть более высокими. 344. Малые колебания упругих систем В качестве важного примера малых колебаний консервативной системы рассьютрим и масс ты гпг, ..., т„, сосредоточенных в и точках (Ц, (2), ..., (и) упругой системы Я (струны, стержня, мембраны, пластины и т.д.), имеющей конечные размеры и каким-либо образом закрепленной на краях.
».'»» (Л) — главный минор (и — 1)-го порядка в определителе Ь(Л). Иногда говорят, что веравевства (23) выражают «теорему разделения» для корвей векового ураввеввя. Неравенства (23) могут быть использованы для пахождевия вижцих и верхних границ корней векового уравнения (см.,например,(2. - С.106-107)). 221 у" 44. Малые колебания упругих систем Будем предполагать, что перемещения (прогибы) уг, уг, ..., у„точек (1), (2), ..., (и) системы о и действующие на массы тг, тг,..., т„силы Гм Гг, ..., Г„параллельны одному и тому же направлению и потому определяются своими алгебраическими величинами (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
