1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если в уравнениях (1') отбросить все нелинейные члены 1о то получим линейную систему дифференциальных уравнений, которая называется линейным прибл жением для нелинейной системы (Ц. В конце Х1Х века в исследованиях Пуанкаре и Ляпунова было установлено, что как в стационарном, так и в периодическом случае об устойчивости нулевого решения нелинейной системы (1) можно у" Ж Устойчивость по линейному приближению 191 судить по линейному приближению, а именно из асимптотической устойчивости нулевого ре«венин линейного приближения следует асимптвтическая уса«вйчивость нулевого решения нелипейной сис«пемы ).
Это положение находит широкие применения, поскольку ис- 1 следование линейных систем значительно проще, чем исследование нелинейных систем. Мы ограничимся рассмотрением стационарного случая и в этом случае для доказательства высказанного утверждения запишем систему (1') в матричном виде: дх — = Ах+у(х). ««« (1л) Здесь А = ))а«ь))9 квадратная матрица с постоянными элементами, а 1'(х) столбец с элементами )«(х«, ..., х„) (« = 1, ..., и). Поскольку по предположению нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво, то (см. 3 37) все характеристические числа Л«, ..., Л„матрицы А имеют отрицательные вещественные части шах В.е Ль = — о < О.
(2) 1(ййо Условимся через ~)я обозначать «длину» вектора-столбца я с ком- понентами гы ..., г„: )х) = (3) Поскольку каждый элемент столбца «(х) начинается с членов второго измерения, то )1(х)) < г)х), (А) х = 11у (йеС П ф О) (б) При этом предполагалось, что правыечасти Х,(:с«. .. к„, «) непрерывные функции. В настоящее время выяснено, что следует понимать под ливейяым приближением при разрывных правых частях Х„ и установлен соответсгвуюший критерий устойчивости по линейному приближению как в периодическом случае, так и в некоторых непериодических случаях.
Смл Айэер.ман М.А и Гангпмохер Ф.Р. Л Прикл. матем. и мех. 1955. Т.21. Вып.5. и Лиеортоескпй И.В. там же. — 1959. Т.23, Вып.з. См. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М,, 1952. где постоянное число в > О может быть выбрано сколь угодно малым, если ограничить изменение переменных хы ..., х„достаточно малой окрестностью )х) < Ь. Доказательствог) утверждения Пуанкаре и Ляпунова можно построить, опираясь на следующую лемму.
Л ем м а. Линейная сиспггма дифференциальных уравнвлий ««х)М = = Ах с пол«ощью линейного неособенного преобразования переменных 192 Гл. У. Устойчивость равновесия и движения может, быть приведена к етреугольиому» виду1) ду1 Й Л1У1+ 512У2 + ° + о1 пуп; (6) Л у, + ... + У,„уп, Л„у„, НУ1 дй Лгуг+ 512У2+ .. + огпуп+д1(у)~ аут Ж ''12У1 + ° + 52пуп + д2(У) (7) Л„уп + дп(у), где столбец я(у) с элементами д1(у), ..., д„(у) определяются равенством К(у) = П '1'(Пу) (8) и удовлетворяет неравенству г) !к(у)~ < у~у~, (9) 1) В результате преобразования (б) матрица коэффициентов А заменяется матрицей Б 1А1.1, которая имеет треугольную форму. ) Доказательство леммы приводится далее на с. 193.
З) Если определить норму матрицы А = а,ьс~, „равенством 9А ~агь~ ) , то легко проверяется справедливость неравенства )Ах < Ае)хУ Поэтому из неравенства (4) и равенства (8) следует, что ~я(у) < 44 '~~'р(Пу) < 11 ' ~%~~М. и, таким образом, в неравенстве (9) можно положить П = '2Щ 'Е'11 1 е. где Л1, ..., ˄— характеристические числа матрицы А, а модули ниедиагональиых» коэффициентов бы (1 < й) могут быть сделаны сколь угодно малыми эа счеп1 надлежащего выбора преобразоеани.ч (5) 2). Преобразование (5) применим к нелинейной системе (1л). В новых переменных система (1п) запишется так: у 38.
Устойчивость по линейному приближению 193 4у| 1 ~ 11 й 2й 2й~- г=1 — ~у,— +у,— ~ =~ НеЛ,у~ + 2 )ч ' й ' й,г) и Ь„у,у,)+- 1 (дьуг+д,уг) < l 1 + — ~" (Ь1,У,У-; + г>ь < ( — О+ д + 11))У) б = ~~' ~Ьгй) г<Ь 4у! й < ( — о+б+у)~у~, откуда ~у~ < ~уо~е1 — ейтн1« — 1,1 (у (10) Выберем положительные числа д и г1 так, чтобы выполнялись неравенства сг — б > 0 и и < а — б; тогда из неравенства (10) следует,что /у/ < ~уо! и Бпг у(г) = О, (11) т.
е, решение у = 0 системы (7) асимптотически устойчиво. Но векто- ры х и у связаны между собой линейным преобразованием (5); поэто- му и регпение х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво ). Доказательство леммы. Покажем сначала, что с помощью преобразования х = 11«гя вида (5) можно привести систему дифференциальных уравнений — = АХ Их й (12) Через уь мы обозначаем число, комплексно сопряженное с уь (Ь = 1, ..., и). В соответствии с приыечанием 3 на предыдущей странице из раеенстна (5) вытекает неравенство х~ < з11з ~у~ < зЩ ~уе! < зЩ 'зт1 г'з ~хоЬ где число г1 (как и число е) может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора достаточно малой окрестности ~х~ < ьг (и соответственно ~У) < Ь1).
Тогда, в соответствии с уравнениями (7) н неравенствами (2) и (9), найдем ' ): 194 Гл. К Устойчивость равновесия и движения к виду, в котором: 1) первая переменная 22 не входит в правые части всех уравнений, начиная со второго, и 2) в первом уравнении коэффициент при 22 равен характеристическому числу Л2 матрицы А, т. е. к следующему виду: 322 Р— л,,+ ь„.,+ ... +ь,„., оь 52222 + ... + Ь2„2„. (13) Ь 222+ ° +Ь 2 Для этого достаточно в качестве первого столбца матрицы 13~0 взять собственный вектор пм соответствующий характеристическому числу Л2 (Ап2 = Л2 им пл ~ 0), а остальные столбцы матрицы пз, ..., п„выбрать так, чтобы вместе с п2 они были линейно независимы (тогда де11РО ~ О).
Действительно, преобразование х = 11' ~я может быть записано и так: (О Х = П222 + П222 т... + П„з„, гДе зм ..., 2„- кооРДинаты вектоРа х в базисе пм пз, ..., и„. Система (12) имеет решение Х=П2Е '. (15) Поэтому преобразованная система дифференциальных уравнений — '=Х .ь,. ' (2=1,...,п), дс, дь (16) согласно равенству (14), имеет решение 22=Е лм (15') 2) Характеристические уравнения матриц А и 11 2А11 (см.примечание 1 к с.
192) совпада2от, так как 11 2(А — ЛЕ)11 = 11 2А11 — ЛЕ, я поэтому дес(11 А11 — ЛЕ) = де211 бес(А — ЛЕ) де211 =- дес(А — ЛЕ) (Š— единичная матрица). что возможно лишь тогда, когда Ьм = Л2 и 5~22 = ... = Ь', = О, т, е, когда система (16) имеет вид (13). Так как при линейном неособенном преобразовании характеристическое уравнение матрицы А не изменяется'), то матрица ~ь,ь Ц имеет своими характеристическими числами остальные и — 1 характеристических чисел (Лл, ..., Л„) матрицы А. Применяя аналогичное преобразованиек системе последних п — 1 уравнений (13) и т.д., мы в конце концов с помощью неособенного линейного бдд. Кри перии асимптотической устойчивости 195 преобразования приведем исходную систему дифференциальных уравнений к виду дгг г — Лггг+ Ь,ггг+ ...
+ Ь, ью сЫ Лггг е .. -ь Ьг„г„, (17) 4г„ л„г„. дг Наконец, сделаем последнее преобразование переменных гг и р уь (П > О; й = 1, ..., и). Тогда система (17) залюнится системой (6), в которой недиагонгльные коэффициенты Ьгь = П~ 'Ь',г (г < Ь) могут быть сделаны сколь угодно малыми по модулю, если выбрать число П > 0 достаточно малым. Лемма доказана. 'й 39. Критерии асимптотической устойчивости линейных систем 1(Л) ь— з аоЛи + а1Ли +...
+ аи гЛ+ аи = О (ао > О) (1) мели отрицательные вещественнъге часгпи. Обозначим через Ль (й = 1, ..., д) веп1ественные, а через го х гг. (у = 1, ..., (и, — д)/2) комплексные корни уравнения (1) и предположим, что в комплексной плоскости все эти корни лежат слева от мнимой оси, т. е. что г < О Й = 1, ..., д; 1 = 1, ..., ; (2) 2 Л„<О, тогда д 1и — дг/г л.) П (л го зв'Нл г1 +ге') = в=1 д (и — д'г/г .= ао П(л ль) П (л 2гдл+го+ вг) (3) ~(л) = а.
П (л— В предыдущих двух параграфах было установлено, что в стационарном случае нулевое решение произвольной (нелинейной) системы дифференциальных уравнений в отклонениях асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения, составленного для матрицы коэффициентов линейного приближения, имеют отрицательные вещественные части. Поэтому приобретают большую практическую значимость необходимые и достаточные условия дпл того, чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэф- фглцггентамгл 196 Гл. У. Устойчивость равновесия и движения а! аз ав ао аг а« 0 аг аг 0 ао аг тат=от, Ьг=, ..., Ь„= аа аг (4) а„ (Здесь всюду следует положить ар — — 0 при р ) и.) Условие Рауса — Гурвица').
Для того чтобы все корни уравнения (1) имели отрицательные вещественные частпи, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства Если коэффициенты уравнения (1) заданы как числа, то условия (5) легко проверяются. Если же коэффициенты уравнения (1) содержат буквенные параметры, то вычисление определителей Ьь при большом й уже вызывает затруднение. Поэтому представляют интерес другие условия, установленные в 1914г. французскими математиками Льенаром и Шипаром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
