1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Колебания оси снаряда характеризуются изменением углов о и )3. Для определения устойчивости вращательного движения снаряда будем исходить из трех интегралов движения; Ц Т-~-П = соней 2) С, = соней Сс = Ар = сопев Первый интеграл представляет собой интеграл энергии; С, и Сс . проекции кинетического момента Со на оси Сх и Сб. Постоянство С, прн движении системы следует нз того, что момент силы К относительно оси Сх равен нулю. Третий интеграл выражает постоянство обобщенного импульса Ар, соответствующего циклической координате <г. Заметим, что ) (см. рис, 46) С, = СС соя(х() -~ Сч соя(х<3) + СС соя(хЧ) = = Ар соя(хб) -~ Вд соя(х»3) + Вг соя(хя) = = Ар сова соя б+ Ву3 сйпо — б соя осоя 3яшб).
Комбинируя первые два интеграла с третьим и используя полученные выражения для Т, П, С„находим следующие два интеграла движения И'г и И'г, обращающиеся в нуль при а = ~3 = б = В = 0: И<» = — В(а соя В+ д ) + И(сояосоя)3 — Ц = сопяс, г г 'г 2 И'г = Вфя<по — бсояосоядяшВ) + Ар(соя<<соя)3 — Ц = сопяс. Будем искать знакоопределенную лгшейную комбинацию интегралов движения И'г — ЛИг. Предварительно определил< в И'г и И'г члены наинизшей степени относительно малых величин пч В, а, )3: 1 В~.г Зг) 2 2 И'г = В)ра — а)3) — — Ар(о + В ) +... 1 г г 2 тогда И'г — ЛИ'г = — )Во + 2ВЛсюВ+ (АрЛ вЂ” ИД ) + 2 + — [ВД~ — 2ВЛДо+ (АрЛ вЂ” ВЦог) + ..
2 Дуги о, 6, з на сфере с центром в С образуют прямоугольный сферический треугольник с <катетами» о, 6 и <гипотенузой» ш Для такого треугольника имеет место формула соя з = соя о соя б. Справедливость формулы следует из элементарных геометрических соображений. г) Дуги а, я/2-'сд и (хб) образуют прямоугольный сферический треугольник с <катетами» о и я/2-~-6, поэтому соя(хг) = соя о соя(я/2 + р) = — соя о я!п Л. 186 Гл.
У. Устойчивость равновесия и двеоюевия Для того чтобы каждое вз выражений в квадратных скобках было положительно определенным, достаточно, чтобы выполнялось неравенство В Л ( В(АрЛ вЂ” И). Сокращая на В н преобразуя, получаелг ВЛ' — АрЛ-~-И ( О. Для того чтобы последнее неравенство имело место при некотором вещественном Л,нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имел вещественные корни, т.е.
должно иметь место неравенство Азрз > АВИ. Это и есть условие, обеспечивающее устойчивость вращательного движения снаряда (прн »отклонениях» о, В, о, В), так как прн выполнении этого условия можно подобрать вещественное значение Л, при котором интеграл И'з — ЛИ»з будет иметь прн о = В = о = 3 = О строгий минимум, равный нулю. й ЗТ. Устойчивость линейных систем Н*, сй — ан,. сь (1 = 1, ..., и). Будем искать частное решение агой системы в виде т,=и,ем »=1,...,п; ~ ~~и,~~>0 ~=-1 (2) Подставляя выражения (2) в уравнения (1) и сокращая на е~', получаем соотношения, связывающие искомые величины и, и Л: п ельнь = Ли; (1 = 1, ..., и), (З) ь=г Как известно, обычно такая система может быть записана я виде системы Ляффереяцяаяьяых уравнений первого порядка, разрешеяяых отяосятельяо производных.
Для системы уравнений Лагранжа такая запись возможно всегда (см. 1 7). В предыдущем параграфе было показано, что исследование устойчивости любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений ), сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы уравнений в отклонениях.
Пусть дифференциальные уравнения в отклонениях линейны и имеют постоянные коэффициенты 187 у о7. Устойчивость линейных систем или и (а,,ь — Лдгй)иь = О (г = 1, ...., и), а=1 (4) где б,ь символ Кронекера (б,ь=-1 при г=а, б,к=О при гфй). Так как в искомом решении (2), по крайней мере, одна из посто- явных и, должна быть отлична от нуля, то определитель системы однородных уравнений (4) должен равняться нулю: аы — Л а12 а21 агг — Л атп а2п (5) ап1 апг ... апп — Л Таким образом, для определения Л мы получили алгебраическое уравнение в-й степени относительно Л.
Уравнение (5) называется характаеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов а1п аг а11 а!2 а21 агг А= ап1 ап2 апп ' и1 и2 и=, 1~ив Х1 Х2 Тогда вместо равенств (1) — (3) и (5) можно написать 1) При умножении квадратной матрицы А иа столбец х мы элементы 2-й строки матрицы А умножаем иа соответствующий элемент столбца х и все эти произведения складынаем. Полученная таким способом сумма является 2-м элементом столбца-произнедения Ах. Производная от столбца ах/сЫ получается дифференцированием каждого элемента столбца х.
Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы А. Взяв в качестве Л какое-либо характеристическое число матрицы А, мы найдем соответствующие этому числу постоянные и, из системы линейных уравнений (4). Для дальнейшего нам удобно будет ввести матричную запись как для исходной системы (1), так и для систем соотношений (2) и (3). Введем в рассмотрение векторы-столбцы 188 Гл.
И Устойчивость равновесия и движения с1х — = Аи, сй х = пе лс (2') (3') Ап=Лп (пф:О), сЫ(А — ЛЕ) .= О. х = ~ ~Слпле~й~ л=л (6) снова будет рептеннелс системы (1). Для того чтобы показать, что форлсула (6) охватывает все решения системы (1), предварительно докажем, что векторы-столбцы пм па, ..., и„, соответствующие различным характеристическим числам Лм Лж ..., Ли, линейно независимы. н слил =- О. л=л (7) Улпюжим обе части равенства (7) слева на матрицу А. Тогда, исполь- зуя равенства Апл = Ллпл (пл ф О, 1с = 1, ..., п), находила Ллслпл = О.
л=-1 (8) Исключим из соотношений (7) и (8) постоянную сл. (Л, — Л )с,пд = О. оса (О) Здесь Е = ~!бел//", л. — единичная матрица. Столбец и у': О, удовлетворяющий вместе с числом Л соотношению (3'), называется собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу Л. Таким образом, в каждом решении системы (1'), имеющем внд (2'), Л вЂ” характеристическое число матрицы А, а и соответствующий собственный вектор. Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение (5) имеет п различных корней Лл (Л = 1, ..., п). Каждому характеристическому числу Лл соответствуют собственный вектор пл н частное решение системы (1) вида плетне. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами 189 1'37.
Устойчивость линейных систем Это равенство опять умножим сссева на А и используем полученное равенство совместно с (9) для исключения сэ н т.д. В конце концов получим: (Л„ — Лс)(Л„ — Лэ)...(Л„ — Л„ 1)с„п„ = О, (10) откуда с„ = О. Так как в равенстве (7) все слагаемые равноправны, то сс = сз = ... = с„ = О, т.е.никакой зависимости вида (7) между собственными векторами пс, пэ, ...., п„не существует и эти векторы линейно независимы. Положив в формуле (6) 1 = О, найдем: хо = ~ Супы а=1 (11) Произвольно задавшись начальным вектором хо, мы из равенства (1Ц, в силу линейной независимости векторов пс, ..., пи, однозначно определим Сь (а = 1....., п).
Таким образом, формула (6) охватывает решения системы (1), удовлетворяющие любым начальным усссовиям х(0) = хо, т. е, охватывает все респения системы (1). В курсах по теории диффересщиальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые «вековые члены», содержащие вместо постоянного вектора пь полинам относительно й пь + и'„1+ ... В общем сссучае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется х =- ~ Сь(пс, + пь1+...
)в~и~'. (12) а=1 Из формул (6) и (12) непосредствесшо получаются важные следствия. 1'. Если все характеристические числа матрицы А меют отрицательные вещественные части, т. е. снах В.е Ль = — о ( О, 1<у(а Число а > О иногда ссааываетея степенью устойчивости, то 1шс х(1) = 0 и нулевое решение системы дифференциальных урав- С-соо пений (1) асимптогпически усгпойчиво ). Пусть теперь Ве Ль ) 0 хотя бы для одного а. Тогда система (1) имеет ненулевое решение х = Сьпье~се', которое стремится к бесконечности при 1 — 1 оо.
В то же врелся начальное значение (при 1 = 0) хо = Сьпь может быть сколь угодно малым, поскольку Сь — произвольная постоянная. В этом случае решение х = 0 неустой сиво. Таким образом, имеет место предложение: 2'. Если хотя бы одно характеристическое число Ль матрицы А имеет положительную вещественную часгпь (КеЛь ) 0), то 100 Гл.
У. Устойчивость равновесия и двихсенил нулевое решение системы диффереициальных уравнений (1) неустой- чиво ). Пример, Положение равновесия линейного осцилллтора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на с. 166), дифференциальное уравнение движения тх + 2г"х + сх = 0 (т, с, г" ) 0) может быть записано в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если положить хэ = х, хг = х: дхэ Йхз с — = хг, — = — — хэ — 2 в хз. ас ' Ж т т Характеристическое уравнение =Л +2 — Л+ — =0 1 — 2 ~/т — Л т т — Л вЂ” с/т имеет корни с отрицательной вещественной частью — У'/т, что и обеспечи- вает асимптотическую устойчивость положения равновесия.
й 38. Устойчивость по линейному приближению В системе дифференциальных уравнений (нелинейных!) ах, — ' = Х;(хм ..., х„, .1) (1 = 1, ..., и) (1) разложим правые части в ряды по степеням отклонений хм ..., х„: Ихг х— агьхь+уг (1=1, ..., п), в=1 ~) Всея все КеЛь < 0 (х = 1, ..., и) в хотя бм е одном вз этих соотношений имеет место эвах равенства, то решение х =- 0 будет устойчивым, если е формуле (12) во всех слагаемых, где неЛе = О, будут отсутствовать вековые члены.
В протвепом случае решение х = О будет неустойчивым. где у, — сумма всех членов разложения Хг., начиная с членов второго порядка огносительно хм ..., х„(г, '= 1, ..., и). В стационарном случае аэь постоянные коэффициенты, а функции Уг зависЯт от хм ..., х„и не зависЯт от й В пеРиодическом слУчае аеь периодические функции от 1 с периодом т, а нелинейные члены 1, = 1;(хы ..., х, 1) также периодичны относительно 1 с периодом т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
