1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Еще Торричелли (1644 г.) было известно, что положение системы тел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, если центр тяжести этой системы тел занимает наинизщее из возможных положений. Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и установил следующий критерий устойчивости положения равновесия консервативной системы: 168 Гл.
У. Устойчивость равновесия и движения Теорема Лагранжа ). Если в некотором положении консервативной системы потпенциольнпя энергия имеегп строгий минимум, псо это положение является положением устойчивого равновесия сисгпемы. Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что в рассматриваемом положении все координаты д1, ..., д„и потенциальная энергия П(уг, ..., д„) равны нулю, т.е. уг —— ... — — д„= 0 и П(0, ..., 0) = 0 ) .
Так как в данном положении системы функция П имеет минимум, то в этом положении обобщенные силы равны нулю дП Ф=- — =0 (1=1 ... п) дуг т. е. точка 41 — —... — — ун = 0 является положением равновесия систеэ|ы. Далее, из того, что значение П(0,..., 0) = 0 есть строгий минимум, следует, что в некоторой 71-окрестности положения равновесия (3) ~д~ < Ь (1=1,..., и) илгеет место строгое неравенство (4) П(у„ ..., у„) > П(0, ..., О) = О, если только все координаты у, не равны одновременно нулю. Составим выражение для полной энергии системы: Е(дг,..., д„, дг, ..., у„) = Т+ П = 1 Вев(ЧЫ; и )Ч1Чя+ П(Ч1,, Яв). (О) Ц э=1 Из неравенства (4) и из того, что Т > О, если хотя бы одна из обобщенных скоростей уг не равна нулю ), следует, что при выполнении з неравенств (3) всегда Е>0, 1) Эта зверел~а имеется в «Аналитической механике» Лагранжа (1-е издание 1788 г.), ве строгое доказательство теоремы дал впервые Лежен Лирихле.
Поэтому эту теорему часто вазынают теоремой Лежева Дирихле. ) Потенциальная энергия П определяется с течнестые де произвольной аддитивней постоянней. Эту постоянную подбираем так,чтебы значение П в положении равновесия было равно нулю. э) Это справедливо, если и-екрестнесть начала координат О в координатном пространстве не содержит особых точек (см. приме ~ание 1 на с. 51). Мы предполагаем, что точка О, в кетерей функция П имеет минимум, ве является особой.
Пе тогда н некоторая гхе-окрестность точки О не содержит особых точек. Мы выбираем ьэ < Сэе. 169 у УУ. Теорема Лагранжа если только все 2п величин оо о, (1 = 1, ..., п) не равны одновременно нулю, т, е, полная энергия Е(уп е)е), обращаясь в нуль в начале координат О 2п-мерного пространства состояний, имеет в этой точке строгий минимум (равный нулю).
Выберем теперь произвольно число е, подчинив его лишь ограничению О < е < Ь, и рассмотрим значения полной энергии Е на гравице е-окрестности, определяемой веравенстваъги ~у,~ < е, ~й,~ < е (1= 1, ..., п) (6) (рис. 42). Поскольку эта граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек, то непрерывная функция Е достигает на этой границе своего минимума Е*. Так как на границе е-окрестности все значения Е положительны, то положителен и минимум Е". Таким образом,на границе е-окрестности Е>Е'>О.
(7) Рис. 42 С другой стороны, поскольку непрерывная функция Е обращается в нуль в начале координат О, то всегда существует такая бокрестность точки О ), в которой (8) Поскольку если начальные координаты и начальные скорости удовлетворяют неравенствам (2), то начальная энергия Ев < Е'. Но при движении консервативной системы ее полная энергия сохраняет свою начальную величину Ео и, следовательно, во все время движения Е < Е*.
Поэтому при движении системы точка, изображающая зто движение в пространстве состояний, ве может достигнуть гранины е-окрестности,на которой Е = Е*, и находится все время внутри этой окрестности. Теорема доказана. К доказанной теореме мы сделаем два замечания. Замечание 1. Теорема Лагранжа остпаепеся справедливой для неконсервативной системы, которая получается иэ консервативной добавлением гироскопических и диссипативных сил. Действительно, заметим прежде всего, что положение равновесия сохранится, если к системе дополнительно приложить гироскопические или диссипативные силы Я (дя, $,.). Для этих сил Юи(Чь~ Чь)че < О, к=1 Поскольку е 4-окрестности еыполпяется перепел«тяс (В), те е < е.
170 Гл. К Устойчивость равновесия и движения Выберем, как и ранее, за начало координат пространства состояний положение равновесия и предположим, что среди функций Я, есгь хотя бы одна лдд такая, что Я,(0) ~ О. Тогда по непрерывности цг ~ 0 и в гл-окрестности начала координат. Но поскольку дь и дь независимы, нх значения в этой окрестности всегда можно выбрать так, что а это противоречит условию диссипативности или гироскопичности сил. Поэтому предположение о существовании 1,) (0) ф 0 приводит к противоречию., т. е, все Я (0) = О, (р = 1, ...., и), а это и свидетельствует о том, что добавление гироскопических и диссипативных сил не нарушает равновесия.
Гироскопические силы не нарушают закона сохранения полной энергии (см. 9 8), и потому все доказательство теоремы Лагранжа остается без изменения и при наличии гироскопических сил. При диссипативных силах полная энергия Е = Т -~- П убывает при движении системы, и, следовательно, во время движения вместо равенства Е = = Ее имеет место неравенство Е < Ео. Но отсюда также следует, что во все время движения Е < Е', если Ев < Е*. Поэтому и здесь с этим небольшим изменением доказательство теоремы сохраняется.
Замечание 2. Положепве равновесия консервативной системы будет устойчивым и в том случае, когда в этом положении потенциальная энергия П имеет нестрогий минимум, по в любой е-окрестностн положения равновесия существует зал«кнутая гиперповерхность (9) 1'(дл, ..., д ) = О, содержащая положение равновесия внутри себя н обладающая тем свойством, что на этой гиперповерхности значения потенциальной энергии строго больше, чем значение П в положении равновесия. Действительно, пусть по-прежнему в положении равновесия ол = ... ...
= 9„= 0 и П(0, ..., 0) = О. Кроме того, пусть уравнение гиперповерхности (9) выбрано так, чтобы лля точек, расположенных внутри замкнутой гиперповерхностн (9), выполнялось неравенство г'(дп ...,9 ) >О. (10) Тогда это неравенство вместе с неравенствами (дл) < сь (О < сь < е; й = 1, ..., и) (11) определяет в 2и-мерном пространстве состояний область (конечный «гиперцилиндрл ) С, расположенную внутри е-окрестности (6). На границе области С либо 1" = 0 (тогда П > О, Т > 0), либо хотя бы при одном й имеет л«есто равенство ~дл~ = сл (тогда Т > О, П > 0). Поэтому на границе области С всегда выполняется строгое неравенство Е = Т + П > О. у'ц. Признаки неустойчивости В рассматриваемом случае минимум функции Е на границе е-окрестности (6) может равняться нулю.
Тогда при доказательстве теоремы Лагранжа нужно вместо е-окрестности взять расположенную внутри нее область С. На границе области С минимум полной энергии Е* > О. После этого остальная часть доказательства остается без изменения. При и = 1 замкнутая гиперповерхность (9) вырождается в совокупность двух точек на оси д, расположенных по разные стороны от начала О, а область С - - в прямоугольник, расположенный внутри е-окрестности точки О (рис.
43). Изложеггные в замечании 2 соображения сохраняют свою силу и тогда, когда к системе дополнительно приложены гироскопические и диссипативные силы (см. замечание 1). Если точки, в которых функция П имеет минимум П = О, заполняют сплошную кривую, исходящую из положения равновесия, то это положение равновесия может быть и неустойчивым. В качестве соответствующего примера можно взять движение свободной материальной точки с потенциальной энергией, не содержащей одной из коорди- Рис. 43 наг, напрнмер х: П = П(у, г), причем П(0, 0) = 0 и П(у, г > 0) при у + г~ > О.
В этом примере точки минимума заполняют ось х. Положение равновесия х = у = = 0 неустойчиво, так как при сколь угодно малой по величине начальной скорости,направленной вдоль оси х, точка будет совершать равномерное движение вдоль оси х. В приведенных на с.166 примерах 1 и 2 рассматривается консервативная система, а в примере 3 (с. 166) на точку действует и диссипативная сила. Потенциальная энергия имеет строгий минимум в примере 1 в наинизшей точке окружности, а в примерах 2 и 3 при х = О, Поэтому эти положения равновесия являются устойчивыми.
Пример 4. Консерватиенал система с одной степенью свободы имеет потенциальную энергию П = д зш 1/д ]дополнительно определяем: 4 г П(0) = 0]. В соответствии с замечанием 2 положение д = 0 устойчивое положение равновесия. й 34. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева Еще в 1892г. А.М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движенияь поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия. 172 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
