1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Чьг) (1З) (1' = г1+ 1, ..., и). Обозначим чеРез Чг, ..., Чеы Чг, ..., Чьг (аг < а, Ьг < Ь) все величины, фактически входящие хотя бы в одну из правых частей формул (13); тогда Чг =1(Чг Ч» Чм Чь ), Рг =1(9 Ч Чг Чьг) (14) (г = г1+ 1, ..., и). Покажем теперь, что величины Чл, Ч„(Л > а, р > Ь) фактическн не входят в те формулы (1Ц, где г < аг, Ь < Ьг. Допустим противное. Пусть, напРимеР, Чл (Л > а) фактически входит в выРажение (1Ц длЯ Рн, где гг <аг, Рн =7( .
Чл, ) (гг <аг, Л>а). Но величина Ч„фактически входит в одно из выражений (14); пусть, на- пРимеР, она входит в выРажение дла Чг О > е1): Чг = г'(..., Чн, ...) (гг < аг, г > г)). Тогда (Чм .: Чн-г, Рн: Чг г,, Чл-г, Чл+г,, Ч, Чг,, Чз, Чг) (Чг, ..., Ч„, Чг,..., Чз) (15) и, следовательно, и ч- г1 + 1 величин Чг .. Чг-г Рг Чг«г .,Чл — г,рл, Чл«г, Ч Чг . Чз Чг независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7). Таким образом, Р, =1(Чг,, 9, Чг,; Чь), Рь, =1(Чг Ч, Чг~, Чь) (16) (гг =1, ..., а„йг = 1....., 6,). Обозначим через Ч г«м ..., 9 .„Чь«г, ..., Чь, те нз величин 9„9» (г > аг, Ь > Ьг ), которые фактически входят в правые части формул (1б). Тогда Р,г = 7(Чг, ..., Ч г, Чг, ..., Чьг) (гг = 1, ..., аг; аг < аг < а), (17) рь, = 1(Чг, ..., Ч„„Чг, ..., Чьг) (Ьг = 1, ..., Ь,; Ь, < Ьг < Ь).
Теперь покажем, что величины Чл, 9„(Л > а, д > 6) фактически не входят в выражения (11) для р„рь, где г < аг, Ь < Ьг. Действительно, пусть, например, Чл (Л > а) фактически входит в выражение для р, (аг < < гг < аг): Р„= 1(..., Чл, ...) (гг < гг < аг, Л > а). Но величина Ч„фактически входит в одно из выражений (17), например, уху. Структура произвольного канонического преобразовании 157 в выРажение длЯ Рн. Тогда величина Чн фактически входит в одно из вы- ражений (14), например, в выражение для дг (у > о): рч =У(.,д.„) (г5 <ог <ге <аз), ду = У( ", Чч, ". ) (г1 < а„г > И).
В этом случае имеет место эквивалентность между системой величин Чг., °, Чи — г, Ри, Ч,тп, Ч г — г, Рм Ч гтг,, Чх — ы длтг,, Ч, дм, дз, Чг (18) и базисом (7). Поэтому величина рх независима от величин (18). Прибавляя рх к величинам (18), получим базис из п + б+ 1 величин, что невозможно. Таким образом, р. =Лды ",д., Чг,", дь), рь. =Я1дг,",Ч., дг,",дз) (19) (гг = аг -ь1,..., аг, Ьг = Ьг -~-1,, 6г). Обозначим через дчгтг, ..., Ччз, дз,ты, дьг те из величин Ч„дь (г > > аг, Ь > Ьг), которые фактически входят в формулы (19).
Равенства (19) запишем так: Рм = У1дг, ", Чвю дг ". ЧЬ.) (гг = аг+ 1, ..., аг, аг < аг < вз < а), (20) Рьг = 7(Чг . Ч з Чг . Чзз) (Ьг = Ьг + 1, ..., Ьг; Ьг ~< Ьг ~( Ьз < Ь). Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одновременно не будут достигнуты равенства а„= а,эг, Ье = Ь„тг, тогда Р*, = У(дг, ", Ч...
Чг, ", дь.) (г,=а, г+1,...,а,;аз«...а,<а), (21) Рь. = Пдг, " ., Ч... Чг, " , Чь.) <Ь,, = Ь,, + 1, ..., Ь.; Ьг « ... Ь. < 6). Вместо формул (14), (17), (20),..., (2Ц можно написать ( =4+1,, и) (22) Рг = У1дм ", Ч... Ч, ", Чз.) Р*=йдм",Ч...дг,",дь„) (г'=1,....,а), (23) рь=Х1ды...,д„д,...,дз) (к=1,...,6).
(24) Пусть теперь а, > Ь,. Тогда из формул (23) можно исключить дг, ..., дь, и получить зависимость между д„р„что противоречит условию леммы. 158 Гл. 1У. Канонические преобразования й 30. Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа Установим некоторые критерии каноничности, т. е, необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять 2п независимых функций )относительно ды рь (Ь = 1, и)] д,=дь(1 дюрь), р,=1Ь,(1,дюрг) (г=1,...,п) (Ц для того, чтобы определяемое этими функциями преобразование было каноническим.
Пусть преобразование (Ц является каноническим. Выпишем для него определяющее тождество /" р„бд, — Йб1 = с ~ '1 р, бд, — нбг — бг (г, д,> р,). (2) *=1 =1 Возьмем произвольное фиксированное значение 8 = 8. Тогда нз тождества (2) находим: ) р,бд, = с~ р,бд, — ЬГ(1, д„р,). (3) Но равенство (3) есть определяющее тождество для преобразования, не содержащего явно времени, д*=дг,(1,дыра), р =~ЛДдьрь) (г=1,...)п) (4) Следовательно, формулы (4) определяют каноническое преобразование с валентностью с, не зависящей от выбранного значения Г = г.
Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразования, получающиеся из преобразования (Ц после замены переменной 1 различными фиксированными значениями 1, являются каноническими, и притом с одной и той же валентностью с. Тогда, определяя функцию Н равенством (5) мы из равенств (3) и (5) получаем равенство (2), т. е. приходим к тому, что зависящее от времени 1 преобразование (Ц является каноническим. Таким образом, для того чтобы зависящее от времени преобразование (Ц было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы были каноническими, и притом с одной и той лсе еалентностью с, есе. не зависящие от времени 1 преобразования, получающиеся из преобразования (Ц заменой Г произвольным значением 1. Вели а, < Ь„то а, < Ь, + 1.
Тогда из формул (22) и (24) можно исключить все д, и получить зависимость между ды рь, что опять противоречит условию. Таким образом, допущение о существовании максимального базиса (7), в котором д < и, привело нас к противоречию. Лемма доказана. Поэтому при установлении критериев каноничности можно ограничиться каноническими преобразованиями, не содержащими явно переменной времени й й, =!р,Ць,рь), р, =л!гойлрь) !=1,..., а; ' ' ' ~0) . (6) !г д1!7ы ", р.) д(йл, ...,, „) Для канонического преобразования (6) определяющее тождество (2) записывается так: рл 6ол = с~! рл 6йь — 6К(!7ь, р!). Р) л=! л=! Выразим здесь 6!7ь через 6!7, и 6р, с помощью формул (1).
Тогда равенство (7) примет вид (Ф,6а, + Ф,6р,) = — 6К(ул, рл)., =- ! (8) где Ф,=~ рл — — ср„Ф,=~ рь— дйл дйл л=! дя, до, ь=! (! = 1, ..., и). (8) Остается записать условия того, что левая часть равенства (8) является полным дифференциалом, и мы получаем критерий каноничности в виде равенств дФ, дФ, дФ, дФ, дФ, дФ„ дал дй, ' дрл др, ' дрл да, ' Подставляя глода выражения (8'), после элементарных преобразований находим (л, й = 1, ..., и), (10) где 6,л — символ Кропекера: 6,л = 0 при ! ф к, 6,ь = 1 при ! = к (л, к =1, ..., п). Условия (10) можно записать в компактной форме, если ввести так называел!ые скобки Лагранжа, которые определяются для зада!пгых 2п функций !р„ф!, (! = 1, ..., п) от двух переллепных й и р следующим образом '): Пусть читатель сравнит скобки Лагранжа со скобками Пуассона, введенными в $ 1б.
Там были заданы две функции зл, Ф от 2п переменных о„р, и скобки Пуассона равнялись суллме якобиавов дОр, Ф)/д!до р,). Здесь же даны 2н функций от двух аргументов и скобки Лагранжа равны сумме якобиавов !1! ). г=! г=-! г=! 660. Критерий каноничности преобразования 159 )'др! д!6! др, дфл~ ~" д(зл„ф!) Рбо 1л.1У. Канонические преобразования Использовав эти обозначения и взяв в качестве Ла„ф, функции д„р, 1, ..., и), определяемые формулами 16), мы лложем записать условия 110) так: ~д,,дл) =О, )р,рл) =О, )д,рь] =об,л (л, й = 1, ..., п); (12) й 31.
Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования Рассыотрилл якобиеву матрицу канонического преобразования ддл ддл ддл д$ др, др„ дд дд дд дд др, др. дрл дрл ддл '' дд дрл дрл дрл ''' др др„ др„ дра др„ дд, " ' дд. др, ' ' др. Здесь дс11дц — якобиева матрица и-го порядка ~дд,/ддьд.
Аналогично определяются якобиевы матрицы и-го порядка дл11др, др/дц и др/др. Введем в рассмотрение специальную матрицу порядка 2п 0 ... 0 -1 ... 0 0 ... 0 0 ... — 1 1 ... 0 0 ... 0 0 ... 1 0 ... 0 где Š— единичная матрица и-го порядка. Рассматривая наряду с матрицей М транспонированную матрицу М~, составим произведение М~ЛМ и докажем, что в силу соотношений 112) предыдущего параграфа это произведение тождественно равно сЛ: М'ЛМ = сЛ, где с — валентность канонического преобразования.
здесь с валентность канонического преобразования. Равенства 112) выражшот необходимыо и достаточные условия того, чтобы преобразование 10) было каноническим. В случае преобразования, зависящего от времени 1, условия 112) сохраняются, только они должны выполняться при любом значении й у Я. Симплектичность лкобиевой матрицы 161 Действительно ~), ., ~(-::) ('-:,) 1(.. -- (-;-) (:— :-))" ((-) -("-:)') М Л М ( ~ ~ ) (Ф) Ф-(Ф) й Но Проведя аналогичные вычисления для остальных трех блоков, получим ( Е О ) что и требовалось доказать.
Для унивалентного канонического преобразования равенство 13) записывается так М'ЛМ = Л. (4) с)еС М = х1. Таким образом, симплектические матрицы являются неособенными э). ~ ) В случае, когда элементами матрицы являются матрицы-блоки, умножение выполняется по тем же правилам, кэк если бы элементами матриц были числа, т. е. строки первой матрицы-сомножителя умножаются на столбцы второй матрицы- сомножителя 1см.
например: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — З 5). Как легко проверить, произведение двух симплектических матриц, обратвая матрица для любой симплектнческой и единичная матрица являются снова симплектическими матрицами. Поэтому симплектнческие матрицы образуют группу -- симплектическую группу. Симплектические матрицы характеризуются следующим свойством. В билинейной форме 1 = 1;," э (тр,' — у,х',) подвергнем йп переменных я„у, и 2п переменных х',, у,' одвому и тому же линейному преобразованию с снмплектической матрицей коэффициентов М.
Тогда в новых переменных л,*, у,* и т',, у', форма 1 сохранит свой вид: 1 = тл", г(т,*р, — У,* ). Матрицы М, для которых справедливо равенство 14), называются симплехтическими. Поскольку с)ее Л = 1, а определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей, то нз 14) нахо- дим 162 Гл.1Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
