1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Коу. Кос. Е41пЬоигк. 1947. дг. А-62. Р. 237 — 247. Известно, что в фазовом 2и-мерном пространстве существуют следующие универсальные относительные интегральные инварианты 1дь нечетных порядков и абсолютные интегральные инварианты угь четных порядков, 123 бей. Универсальный интегральный инвариант Доказательство.
Пусть 1' =.. А(1, ч, р) бч+ В(1, ч, р) бр с)ч дН др' йр дН й дч' Общее решение этой системы имеет вид Ч=Ч(1,Чо,ро), р=р(1,Чо,ро), (8) где Чо, ро начальные значения Ч, р при 1 = 10. Пусть ч = чо(о), р = ро(о) (О < о < 1; чо(0) = чо((), ро(0) = ро(()] (9) уравнения замкнутого контура Ро в фазовой плоскости (рис. 38). Точки, которые в момент 1 = 10 находились на контуре Ро, в произвольный другой момент времени Р 1 образуют контур Р.
Параметрические уравнения этого контура получаются из равенств (8), если туда вместо Чо н ро подставить их выражения (9). Сделав это, получим: Ч =. Ч(г, о), р = р(Х, о) (О < ст < (). (10) ч Подставляя эти функции вместо ч и р в интеграл 1', мы получим В как функцию параметра й Из инвариантности 1' следует, что с(1'Гй = О. Дифференцируя под знаком интеграла и интегрируя по частям '), находим 81' Г с(А с(В с( д 0 = — = ~1 — бч + — бр + А — бч -~-  — бр = й ~ й й й й АА АВ с)ч с(р — бч+ — бр+ Аб — + Вб — = й й й й См. примечание 1 на с.
105, В процессе преобразований мы полагаем 6А =- = (дАГдд) Бде (дАГдр) Юр, 6В = (дВГдд) бо-~- (дВГдр) бу и затем используем уравнения (7), универсальный интегральный инвариант. Интегрирование ведется по замкнутому контуру в фазовой плоскости (ч, р). Пусть далее дана какая-либо гамильтонова система дифференциальных уравнений с функцией Н(с, ч, р): 124 Гл.
Вй Вариационные принс;ипм оА Иц нВ пр — — од — бА — + — бр — б — =- й сй сй сй -г + — б+ -г + — бр, где дА дВ г= — — —, др до Последний интеграл равен нулю при любом значении переменной 1, рассматриваемой как параметр, и при произвольном контуре интегрирования. Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом относительно переменных д и р. Отсюда или после элементарных преобразований аг ан аг ан аг +— + — =- О. др дй Так как функцию Н можно выбрать совершенно произвольно, то дг М М вЂ” = — = — =О, др до д~ т. е.
дА дВ г= — — — = с=. др дд Тогда д(А — ср) дВ др дй и, следовательно, существует функция Ф(~, о, р), такая,что ) дФ дф . (А — ср) бд + В бр = — бч + — бр = бФ. дд др ) Здесь время 1 рассматривается как параметр. 125 у во'. Теорема Диувилля Но тогда АБЧ+ В бр = срдЧ+ дФ, и потому 1' = АбЧ+ В бр = с рбЧ = с1„ что и требовалось доказать. При и ) 1 идея доказательства сохраняется, хотя само доказательство становится более сложным. й 23. Инвариантность объема в фазовом пространстве.
Теорема Лиувилля Рассмотрим еполный» абсолютный интегральный инвариант 1 = бр1 5Ч1...бр„бЧ„. Инвариантность этого интеграла означает ипвариантность фазового объема в 2п-мерном фазовом пространстве и устанавливается следующим образом г). Запишем конечные уравнения движения, получающиеся после интегрирования уравнений Гамильтона, в следующем виде: Чг = Ч1(г: Чы Рй) ~ о о р =Ч(1 Чь рь) (1=1 и) (2) где Чо, р"„начальные значения Чь, рй при 1 = уо (я' = 1, ..., п).
Выберем в фазовом пространстве некоторый объем 1о и примем каждую точку из этого объема за начальную (при 1 = оо). Тогда преобразование (2) к моменту врелеени 1 переводит объем 1о в объем 1. При этом 15Чо бро... 5Чо бро (3) где О(Чм Рм, Чо, Рв) о о о о о(Чы Рп . ~ Чо~ Ра) т.е.
1 является якобианом, составленным из частных производных от Чз р по начальным данным Чо,ро (г, у = 1, ..., и). Без нарушения общности, мы можем считать, что якобиан, стоящий в равенстве (3) под знаком интеграла, положителен, и опустить знак абсолютной величины. В дальнейшем (см. 131) иввариантность фазового объема будет установлена, исходя из общих свойств движения гамильтоновмх систем, 126 Гл.
111. Вариационньге прина;ипм При 1 = 1в этот якобиан равен 1, поскольку при этом значении 1 все г~в = ц~й и рй = р~~. При изменения 1 якобиан изменяется непрерывно, не обращаясь в нуль, так как особые точки, в которых этот якобиан мог бы обратиться в нуль, исключаются из рассмотрения, т. е. предполагается, что в рассматриваемом объеме таких точке нет. Тогда якобиан положителен в этом объеме ').
Дифференцируя по 1 под знаком интеграла, получаем: — — бд1 брг... АУ„бР„. уо Подсчитаем производную от якобиана Г: с11 ' о=го ' а1 о=го г=г где 1; определитель, получаемый из якобиана дифференцированием г-й строки. Учитывая теперь, что при г'Г1 о о — — О, аь ар, а% г=г, др г=г, 2' при любом 1 =О, 3' при любом г' г=г, находим: ~1г'~г — г = для г=1, ...,и дг1г =-а — а о ~1г о=го = о для 1 = го+ 1 2п; дРг о=го поэтому гп п д1 г=г, г1г Рг г=г, "- ~ О ОН, а дНе1 "- ~ О'Н.
а'Н, 1 Л ~д о аре д е д о ~ Л ~д о дро дре д в~ — г Рг ~г г ~г Рг г ) В доказательстве ва с. 162, упомявутом в предыдущем примечавии, ве требуется каких-либо предположений об особых точках. дЯг а о о=го дг1г до Дг е=га др, а о дрг ар 127 г Ю. Теорема Диувилля Таким образом, («Сд,С«СС),, = О. Так как начальный момент Со можно выбрать совершенно произвольно, то для любого С др р(С Дг р ) = д1г — = О. «Ср «СС (6) В развернутом виде равенство (6) может быть записано так (с»ь з 15); — +(рН) =О, др дс (6') где (рН) скобки Пуассона.
Согласно равенству (6), фупкпия р(С, о,, р,) является интегралом движения. Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема Лну вилл я. Плотность статистического ансамбля всегда является интегралом движения. Так, например, для консервативной системы любая функция от энергии системы может слугкить плотностью статистического ансамбля. т. е, величина фазового объема д не изменяется при сдвиге точек этого обьема из состояний, занимаемых в момент времени Со, в состояния, занимаемые в произвольный другой момент времени С.
Из инвариантности фазового объема вытекает одна из основных теорем статистической механики теорема Лиувилля. Представим себе, что имеется очень большое число совершенно одинаковых «экземпляров» системы, отличающихся друг от друга только начальными состояниями СС~, ро (С = 1, ..., п). Все эти «экземпляры» образуют стпатистический ансамбль. Примером статистического ансамбля является совокупность молекул газа, находящегося в данном объеме.
Каждому элементу объема 01г фазового пространства можно отнести «массу» др, характеризующую количество «экземпляров», приходящихся на данный элемент об ьема «С»'. В силу доказанной инвариантности объема в фазовом пространстве величина Л' не меняется с течением времени. По своему физическому смыслу не изменяется и величина др, так как экземпляры, находившиеся в объеме еС»' в какойто момент времени, будут перемещаться вместе с этим объемом. Поэтому при движении остается неизменной плотность статистического ансамбля ГЛАВА ГЧ КАНОНИт1ЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И 'УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ $ 24.
Канонические преобразования Преобразование координат в 2п-мерном фазовом пространстве (содержащее в общем случае переменную времени 1 как параметр) ч'(г чы рь) р'(1, чьн рь) с в 1, ..., , у': О (1) д(ч р . ч р ) — — (1=1, ...,и) др; дН (2) дй йд дН чг др;' снова в гамильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Гамильтона Н); 1ч, дй ИД дй (1 = 1, ..., и).
(3) й др;' й дч, Важность изучения канонических преобразований связана с тем, что эти преобразования дают возможность заменить данную гамильтонову систему (2) другой гамильтоновой системой (3), в которой функция Й имеет более простую структуру, чем Н. Если в фазовом пространстве последовательно выполнить два канонических преобразования, то результирующее преобразование снова будет каноническим. Кроме того, преобразование, обратное некоторому каноническому преобразованию, всегда является каноническим и тождественное преобразование Ч, = Ч„ р, = р, (1 = 1,...,п) есть каноническое. Поэтому все канонические преобразования в совокупности образуют груплу.
Примеры. 1. Преобразование Ч, = оЧ„р, = Др, (1 = 1, ..., и; а ~ О, д ~ 0). называется каноничесаиээ, если это преобразование переводит любую гамильтонову систему 129 уев'.Канонические преобразования как легко проверить, является каноническим. Оно переводит систему (2) в систему (3) с Й = орН. 2. Преобразование о,. = орп р, = 3де (1 = 1, ..,, и; о ~ О, б ~ 0) будет каноническим. В этом случае 3. Преобразование д, = р, 13 й р, = ц, с131 (1 = 1, ..., и) будет каноническим, так как легко проверяется, что из уравнений (2) всегда получаются уравнения (3) при 1 =-! Для вывода условий, при которых преобразование (1) является каноническим, рассмотрим два расширенных (2п + 1)-мерных фазовых пространства (дп р,, 1) и ®, рп 1), яереходящих одно в другое при каноническом преобразовании (1), и две трубки прямых путей гамильтоновых систем (2) и (3) (рис.
39). Рис. 39 Возьмем два произвольных замкнутых контура С и С, которые охватывают эти трубки и соответствуют друг другу в силу преобразования (1). Кроме того, пересечем обе трубки одной и той же гнперплоскостью 1 = сопз1. В сечении получим два «плоских» контура Со 1ЗО уль 1У. Канонические иуеобббавованил и Со. Эти контуры также переходят друг в друга при каноническом преобразовании (1), так как при каноническом преобразовании вели- чина 1 остается неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
