1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2 1 2 2 Преобразования 2) и 3) являются свободными. Они имеют производящие функции и валептнск:ти соответственно Я = — Д 2 ",, ч,ч„с = — ап'; Я = = — с1812"",', Ч,Ч„с = — 1. Преобразование же 1) ве является свободным. Для пего с = аб, Р— : О. 2. Рассмотрим произвольное аффинное преобразование фазовой плоскости (ч, р) (здесь и = 1); гейб. Уравнение Гамильтона-Якоби Левая часть этого равенства будет полным дифференциалом при условии, что с = оД вЂ” оеб. Таким образом, преобразование (8) является каноническим с валентностью с, равной определителю преобразования,и с производящей функцией Р = — оо1й + — дд1р +о дйр.
1, 1 2 2 Это преобразование будет свободным, если,9 ~ О. 3. Преобразование о = Я соэ 2р, р = Я эш 2р является свободным унивалеитным каноническим преобразованием с производящей функ- цией 1 о 1 г —— Я = — о агссов — — — отго — ~~. 2 й 2 йе = $(1., Оь) (1 = 1....., п). Заметим, что в дальнейшем преобразование произвольной системы Гамильтона к системе с функцией Н простой структуры удается осуществить с помощью свободного канонического преобразования. Свободное же каноническое преобразование не является точечным.
Таким образом, неточечные канонические преобразования играют существенную роль в теории гамильтоновых систем. 8 26. Уравнение Гамильтона — Якоби Теории канонических преобразований приводит нас непосредственно к уравнению Гамильтона- Якоби. Пусть дана голономная система, движение которой подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона — — (1=1, ..., и). Ире дН (1) й дое ай дН е11 дре ' Для натуральной системы координаты ом ..., оа определяли положение системы, а совместно с импульсами рм ..., р„они определяли состояние системы, т.
е. положение и скорости ее точек. При каноническом преобразовании общего типа эта специфика координат теряется. Величины дм ..., д„уже це определяют положения системы, а только вместе с ры ..., р„определяют состояние системы. Переменные ды ..., о будут по-прежнему определять положение системы лишь в частном случае точечного канонического преобразования, при котором функции д,(1, ол, рь) фактически не содержат импульсов: 166 Гл. 1У. Канонические преобразования Постараемся определить такое свободное унивалентное каноническое преобразование, чтобы в преобразованной гамильтоновой системе дЙ бр, дЙ вЂ” — — — — (1=1, ..., п) (2) с11 др, ' е?1 д4 функпия Й была тождественно равна нулю: Тогда система (2) интегрируется непосредственно дд о +Н1г, Ч„Р,) =О.
(5) Это в сочетании с формулами (6) того же параграфа дает — +11 й дп — =О. (6) Полученное уравнение в частных производных (6) носит название уравнения Гамильтона Якоби. Таким образом, производящая функция о'(е, ц„д,) с основными переменными 1 и д, 1е?, рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона — Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона— Якоби, для производящей функции д(е, д„ве) должно выполняться условие с)е1 ~ О.
(7) Как только производящая функция о'(с, е?„д,) найдена, формулы дд — Ре~ дй дд =.=-р две где о, и д, суть 2п произвольных постоянных. Зная каноническое преобразование, т.е. связь между ен, р, (1 = 1, ..., п) и еь, 1л (е = 1,..., п), мы выразим все е?, и р; как функции времени 1 и 2п произвольных постоянных ою дь (А = 1, ..., п), т.е. полностью найдем конечные уравнения движения данной голономной системы [все решения системы (1)].
Как же определить нужное нам каноническое преобразование? Для этого, в силу формулы (7) предыдущего параграфа, необходимо и достаточно, чтобы для производящей функции о (1, д;, ое) искомого канонического преобразования выполнялось равенство 137 уейб. Уравнение Гамильтона Якоби определят искомое свободное каноническое преобразование. Заменив в этих формулах гу на вп н р; на дн мы получим уравнения движения данной голономной системы в конечном виде.
Весь этот процесс удобнее описать, если с самого начала в д заменить г), на сх, (1 = 1,..., и). Введем о п р е д е л ение. Решение о(с, г)з, сг, ) уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, содержащее и произвольных постоянных цм ..., о„называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие сне( у'= О. (8) Теперь мы можем сформулировать доказанную теорему. Теорема Якоби. Если д(1, д», ан) — некоторъгй полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (6), то конечные уравнения движения голономной системы с данной функцией Н могут быть записаны в виде1) дд дгуг (1=1,...,п), дд — = Ге(г, Ф; оь) д( (11) Здесь мы вместо произвольных гюстоянных — б, пишем просто б,. В силу условия (8) последние и уравнений (9) можно разрешить относительно 9, и выразить дг, ..., д„в виде функций от е и 2в произвольных постоянных а„б,. где а, и дг -- произвольные постоянные (» = 1, ..., и).
Таким образом, знание полного интеграла уравнения в частных производных (6) избавляет нас от необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнений Гамильтона.
Якоби в частных производных. Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только неболыпую «горстку» решений.
Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отса»да и название яполный интеграл»). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем дд — = з',(г, дй, оь) (» = 1, ..., п), (10) дг), 138 Гл. 1У. Канонические преобразования Если известен полный интеграсс о1ес с)й, ось), то известны и функции 1',1с, с)ы егь) 1с = О, 1, ..., и). Из соотношений 110) можно выразить каждое ол через частные производные дНссдс)с, 1 и с)„ссоскольку, в силу условия (8), (12) Если использовать конечные уравнения движения с)с =сРс1сс Фс Рь) 0 0 ~$=-~с . и) Рс "тС'с (1 Ф Рс„) (14) (15) н вместо с)с1с) подставить в выражение для действия нх значения 114)с то Ис станет функцией от 1с с)~, ро 1с = 1,..., и).
Гамильтон предложил, используя конечные уравнения движения 114), выразить ро через 1с с)Р н с)с и таким образом представить действие в виде о) (16) Действие )Ус представленное в виде 116)с т.е. в виде функции от начальных координат, конечных координат н конечного момента ) Можно счигатсч что полвый интеграл б содержит еаце Сп -~- 1)-ю аддитивиую произвольную постоянную ояас, так как в уравнение 16) входят только производные от б, а пе сама функция б.
Подставив полученные выражения для ось в равенство 111), получим исходное уравнение в частных производный 16) ). В качестве примера полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби рассмотрим так называемую главную функцию Галсильгпосса. Для этого вернемся к формуле 17) на с. 101 и к рис 33 на с. 101. Рассмотрим только частный случай, когда 101ст) = сопзг = 10, т. е. примем, что контур Со состоит из начальных состояний системы при 1 = 10. Кроме того, вместо 1с с)с, рс, Нс будем писать просто 1, с)с, р;, Н. Тогда, если И' действие вдоль прямого пути 1т. е. вдоль образующей трубки) от начальной точки 1с = 10) до конечной точки, соответствующей данному значению 1, то гИ 'г, Р 8Д.
Н61 ~, 'Р0 640 (13) с=-1 с=1 139 у лб. Уравнение Гамильтона Якоби времени 1, называется главной функцией Гамильтона. Считая, что в равенстве (13) И' есть главная функция Гамильтона, мы на основа- нии этого равенства получаем дИ' д Д| ди до рч о (г =- 1....., и) (17) и дИ' =- — Н(г, в, р,).
(18) Из равенств (17) и (18) шгедует, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона †Яко д +Н е й„д =О, (19) а соотношения (17) представляют собой конечные уравнения движения, содержащие 2п произвольных постоянных д~, ро (г = 1, ..., и). Таким образом, Гамильтон показал, как записываются конечные уравнения движения при помощи полного интеграла уравнения (19). Однако этот полный интеграл у Гамильтона не был произвольным, и в нем произвольными постоянными были начальные значения д|' и ро. Получался порочный круг: для написания конечных уравнений движения (17) нужна главная функция Гамильтона, а для составления этой функции, как выше было показано, нужно знать конечные уравнения движения. Заслуга Якоби заключается в том, что, продолжив исследования Гамильтона, он разорвал этот порочиьп| круг.
Он показал, что конечные уравнения движения могут быть написаны в виде (9) при помощи произвольного полного интеграла о'(с, в, а|) уравнения Гамильтона Якоби. Вернемся к тождеству (13) и сопоставив| его с тождеством (2) на с. 132. Из сопоставления видно, что формулы (14) и (15), представляющие собой конечные уравнения движения и выражающие гамильтоновы кооРдинаты йн Р, состоыниЯ системы в момент 1 чеРез начальные координаты в,, ..., р, можно рассматривать как свободное унивалентное каноническое преобразование от переменных д,", ро (г = = 1,..., и) к переменным в|н р|„. (гс = 1, ..., и); производящей функцией этого канонического преобразования является -Иг, где И" главная функция Гамильтона' ).
Для обратного канонического преобразования,е котором осуществляется |ГсрЕХОд От ПЕрЕМЕИВЫХ Чн р, К ПсрЕМЕВНЫМ ОО, ре, Пранвпадящсй фуНКцИЕй будЕт глапиая функция Гамильтона гу. 141 у 27. Метод разделения переменных ,о„ ы 6), для которого выполняется неравенство / дар о1ео ~ ~ фО (о„с й), дд, доь (23) мы с помощью формул (9) и (21) получим следующие конечные уравнения движения обобщенно-консервативной системы: др =р а~. (24') (1=1,..., п), д= ~ о„ч„+до(й Чы,й, оы, ег ). о= г1 (25) Для нахождения функции до получаем уравнение ддо / ддо ддо + Н (1, ды ..., о,,,...,, ег ты ..., о„) = О.
(2б) Если координаты 4 ьм ..., 4„являются циклическими у обобщенно- консервативной системы, то функцию д ищут в виде д = -йт+ ~ ~о„д,„+ Ъо(С, ды ..., о„„ог, ..., оо, й), (27) о= где функция го определяется из уравнения Н(йы " , ч , д : " , , * ем ...,о.) = 6. дно дРо (28) дй! ' дй ' Из первых и — 1 уравнений (24о) можно выразить п — 1 координат через оставшуюся и-ю координату в 2п — 1 произвольных постоянных.
Тогда получим уравнения траекторий в координатном пространстве. Последнее уравнение (24о) устанавливает связь координат с переменной времена а до' . др до, ' ' ' ' дЬ =до (У = 1....., и — 1), — =1+ У, (24о) где сом дз Ц = 1, ..., п — Ц, 6 и 7 - произвольные постоянные. В силу условия (23) координаты ды ..., о могут быть определены из уравнения (24о) как функции от 1 н 2п произвольных постоянных ою дю 6 и у. Подставляя полученные выражения в уравнения (24'), найдем аналогичные выражения для обобщенных импульсов р, (г' = 1, ..., и) ). 1 В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (б) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналоги юное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая.
Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат 4 ..., д„являются циклическими. В атом случае Н = Н(1, йм..., д,„, ры ..., р„), и полный интеграл уравнения Гамильтона Якоби можно искать в виде 142 Гл. 1У. Канонические преобразования й 27. Метод разделения переменных. Примеры Н = С(Л(Ог, р ), ", Ь. (О, р )). В этом случае в выражении для функции Н переменные разделены; в кажную функцию (, входит только одна пара сопряженных переменных дп р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
