1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Уравнение (22) предыдущего параграфа теперь запишется так: С Л Оыд,...,,). О, =Ь. (2) Положим дУ'1 е1„— ) =. а, (г. = 1,..., и)., дф где аы ..., а„произвольные постоянные. Тогда, согласно форму- ле (1), постоянную й можно выразить через постоянные аы ..., а„ следующим образом: Ь, = С(а1, ..., а„). Разрешив равенства (3) относительно дУ/д))м найдеги ~) дУ вЂ” = Ге(д„а,) (1 = 1, ..., и), до, У = ~ / Е,(д„ае) пд, (5) и п е = -о( ,,..., „)«- 1' ) е.(д„ ;) ею,.
(6) 1=1 Мы предполагаем, что каждая функпия 1,(дн р,) фактически содержит импульс р„т.е. что д1,/р, й О. В етом случае уравнения (3) могут быть разрешены относительно р, = дУ/дд,; каждая функция Р', является функцией от двух переменных д, и он (1 =. 1,, н). Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Это положение имеет пе только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают па этом пути свое удобное практическое решение.
Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. 1'. Пусть 143 у и7. Метод разделения переменных В этолл случае и основное условие с)е( ~ О (7) сводится к неравенству Поскольку соотношение Л(дн рз) сп (8) эквивалентно уравнению Рз = — Г)(дм аз)~ то дг'; згд);з — фО (1=1,...,н), (10) даз др, и условие (7) всегда выполнено. Поэтому формула (6) определяет полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Конечные уравнения движения дЯ дд ддс ' даз — =р;., =д, (1=1,...,н) (11) в данном случае запишутся так '): дС /' с(дс 1+ З (дзгlдР1)р,=я,(д„о,) (1=1, ..., и).
(12) Рс .~1(дс~ ас) 1) о формулах (5) и (б) мы под интегралом ) Г,(д„сн) 4д, будем понимать интеграл ) " Р1(до о д Нд„где постоянная у; фиксирована и не зависит от значений произвольных постоянных ом тогда д г — ~ ~ Рь(дь, ь,) бдь = †, — ~ Р,(д„ о1) бд, = ( †, '- д,. Затем мь~ используем соотношение (10). д2о др, дд;да; да,' д2д =О при з~й (з,1=1,...,п) дд, дай 14о д в7. Метод разделения переменных Введем произвольные постоянные а1, ..., а„г и а„= 6 и положим последовательно д)У э1 дг дг, ) =аг, дд,) д)г 1) У2 а1, )72) — 2) = а2~ ' дД2 )) (17) Дп ап 1, Чп, = ао.
Определяя отсюда частные производные, найдем ) дЪ' — = С1(д1, а ), дф д1' — С2(22 а1~ 112): д)72 дЪ' = Сп(дп~ ап-1~ С"п). дггп Отсюда г=а,) о,е;п,—,,)ге') г=1 (18) з=- зэк'~г(е, 1,.;)эг.. 1=.1 (19) Здесь д~д дС. д~д — = О при т < й (1, й =- 1,..., и). Поэтому условие (7) сводится к неравенству П вЂ” ~о, " дС, да„ Мы предполагаем, что дд,/с)р, ф О, т.е. что р, действительно входит в функцию д,(д„, р)). Здесь и далее в этом параграфе под неопределенным интегралом понимаем (как и в п. 1') определенный интеграл с переменным верхним пределом и фиксированным, не зависящим от а), ..., а постоянным нижним пределом.
1"л. 1У. Канонические иреоорввовонил которое всегда выполняется, поскольку уравнение д,(а, ы дар,)=а, (20) эквивалентно уравнению Ре = Се(дн еп — ы аа)~ (21) и потому д ф0 (1=1, ..., п). (22) Для дальнейшего нам понадобятся выражения для производных дС,1'дае ы которые находятся из уравнений (20) и (21), а именно: дС, (дд;/дае 1ч) — дде1др~ р,=аде„а, „ад (23) Подставляя в конечные уравнения движения (11) выражение (19) и учитывая формулы (22) и (23), получаем окончательно: (дд~(дре)р;=Бдд,,а, над (24) (1 = 1, ..., п — 1), — 1+ -ди (дд-!др-),.=с.(,.,..
„. ) и (1=1, ...,п1 ре = С,(дп а, ы а ) (25) Здесь первые п — 1 уравнений (24) являются уравнениями для семейства траекторий в координатном пространстве; эти уравнения содержат 2п — 1 произвольных постоянных аы ..., а„, ды ..., д„ Последнее уравнение (24) содержит новую произвольную постоянную,З„и устанавливает связь координат д; с переменной времени й Уравнення (25) после подстановки в них функций де(1, аы да) (1 = = 1, ..., и), найденных из уравнений (24), определяют импульсы р, (1 = 1, ..., п) как функции от 1 и всех произвольных постоянных аб ,Зе (1 = 1,..., п). 147 у 97.
Метод разделения переменных Пример 2. Рассмотрим кеплерово движение, при котором 31атериальная точка лгассы т притягивается к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра. В этом случае в сферических координатах Т = ™ (гз + г'92 + г' 31п' Вт), 2 П=-- (7>О), Т и уравнение для определения 1г имеет вид Положим 2 121 1 ( 2 оз) 7 2 92 =РВ+, 2 ='-'~2 93 = Р т =аз = л. 31п В ' 2т'.' гзг г 91 — = Ре=нг Тогда, согласно формулам (24), находим: дВ 4~ — о2,, =Д, ' 'В ~ — 11Й'8 (26а) 1!гз д И — 42, (26б) (26в) и ф = 221 = соней т.
е. движение плоское. Почленно дифференцируя равен- ства (26б) и (26в), получаем, что секториальная скорость ) равна 1, ВВ х/а~ — à — = — = СОПЗЦ 2 Ж 2т т.е. движение в плоскости 29 = сопег происходит в соответствии с законом площадей. То есть производная цо времеви от площади, описываемой радиусом- вектором,проведенным из центра. Мы получили конечные уравнения для кеплерова движения. При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ВР = сонэк Тогда в начальный момент дф/дВ = О и, следовательно, согласно формуле (26а), ач=О (27) Гл.1У.
Канонические преобразования Наконец, для определения траектории полагаем 1/г = к и из формулы (26б) с учетом равенства (27)находим =,3- Р, г ть где 2тоз с= ог Й = —,,3 = 2~ Я2 т3?. ту пг (28) Вычислив интеграл, получим к — Ь агссоз = 0 — )3 чуйг+ с и, следовательно, к = 1с + чттР+ с сов (д — ~3).
где параметр и эксцентриситет конического сечения определяются из ра- венств 1 стг с 2огоз р= — = —, е= ~)1+ — = 1+ (30) Ьг ттг уг Пусть точка описывает замкнутую орбиту (движение планеты, притягиваемой Солнцем). Тогда эта орбита -- эллипс, в одном из фокусов которого находится центр притяжения (Солттце). Обозначив через Е и а, Ь (а > Ь) площадь и полуоси эллипса, найдем (поскольку,как известно, р = Ь~у'а) Кг кг гбг оз = х'р Пусть т - период (вреьтя обращения), т = 2тгт'чтог. Тогда на основании равенств (30) 1 тг тпг Рт' ттгтпгр ттгтп з'г 4 аз аг аз аг у 'ут где, согласно закону притяжения Ньютона, величина зт зависит только от центра притяжения. Мы получили три закона Кеплера для движения планет вокруг Солнца; 1) планеты движутся с постоянной секториальной скоростью по плоским орбитам; 2) этими орбитами являются эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце; 3) отношение квадратов времен обращения к кубам больших осей орбит для всех планет одинаково.
Наконец, вспомнив, что к = У) г, получим для траектории уравнение конического сечения, в одном из фокусов которого расположен центр притяжвния: (29) 1+ е сов (Ь' — т3) 149 у" 97. Метод разделения переменных Тогда основное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде; ~У, (д,. — ) — йд, (д„— )~ =0. (ЗЗ) Положим " дд17 * 1, " дд*7 где аг, ..., а„1 — произвольные постоянные, а постоянная а„, в силу урав- нения (ЗЗ) и равенств (34), выражается через аг, ..., а„г, а именно: (Зб) а = — аг —...— а„ Разрешим уравнения (34) относительно производных д)1/ддл — = г (д, а, 6) (1 = 1, ..., и). д1г дд, (Зб) Решение уравнения (33) берем в виде )г = ~ / Г,(до ао Ь) дд,.
(37) Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид Я = — И+ ~1 / К(до ао 12) 119,. *= 1 (38) Тогда конечные уравнения движения (11) получаются с помощью квадра- тур О=1,...,и — 1), /'дК „ *=1 (39) Р, = Е,(дн ам 6) (1 = 1, ..., и), (а1+аз+...а =0) ° 3'.
Рассмотрим еще в качестве примера применения метода разделения переменных случай, когда А(91 Р1)+ +У (д Р ) (32) 91(91 рз) +. + д (д р ) 150 Гл.1У. Канонические преобразования дЕ, ( ~д1, дд,! Ой ~ ~др, др,! г =кдг' . Й Уравнения (39) в окончательной форме имеют вид О = 1, ..., и — 1), (40) Д ~'/(~ — * — Ь вЂ” *~ д (до р)) дд, =1+В„, р, = Е,(д„о„1г) (г = 1,..., и) (ог ц- ог + .
-~- о = О). Как частный случай получаем теорему Лиувилля: Если кинетическая и потенциальная энергия системы имеют вид Т= — ~ ~А, ~ ~Вд~, П= (41) *=1 =1 где А„В, и П, — функции от одной переменной д, (1 = 1, ..., и), то конечные уравнен я движения системы .могут быть получены с помощью квадратур. Действительно, для системы Лиувилля ~,", (р,1'В, + 2П,) — 2Е;, А. (42) но это частный случай формулы (32). Разрешая уравнение 1,1д„р,) — 1гд, (до р,) = о, относительно р„получаем р, = Ео(до о, 1г) (1 = 1, ..., п). Предполагается, что выполняется условие разрешимости д~н/Вр, — 1г(дд,/др,) ~ О. В этом случае производные неявной функции Г, равны 151 у во. Применение в теории возмущений 3 28.
Применение канонических преобразования в теории возмущений Пусть известны движения системы с данной функцией Н, т. е, решения о о о о Ф = Фг(г, Чь, Рь)~ Рг = 41(г~ йы Рь) (1) (й,' = (ог) =., Р,' = (Р') =:. = 1 ": и) системы дифференциальных уравнений Щ дН Нр, дН д( др,' д( (1 = 1, ..., и), (2) г(й д(Н+ Н1) й др, ИР, д(Н+ Нг) с(1 до, Если в формулах (1) рассматриватыф и роь ((с =- 1, ..., и) как новые переменные, то, как было выяснено на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
