1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 25
Текст из файла (страница 25)
139, формулы (1) определяют свободное унивалентное каноническое преобразование. Это преобразование переводит гамильтонову систему (2) в гамильтонову систему с функцией Н = 0 [см. формулу (13) на с. 138) ,1 о до — ~=0, — ~=0 (Й=1,...,н), гй с1» (б) а гамильтонову систему (3) в гамильтонову систему с функцией Н, которая будет равнаг) Нг.' г(адьо дНг с(рь одНг о о (с 1 и) (5) гй Р'„' с(1 я'„ Таким образом, новые переменные дьо и Роз обладают следующим замечательным свойством: для певозмущепного движения они сохраняют постоянные значении, равные начальным значениям: дли возмущенного же движения они представляют собой функции от времени и начальных значений: яь (г Ч» рз) (о( о, о р (1 др ро) (/с = 1 ...
и) (6) определяемые как общее решение газ«платоновой системы (5), в которой функцией Гамильтона является «энергия возмущения» Нн Это следует из соотношения Й вЂ” (Н -~- уй) =- Π— Н. Левая и правая части »того равенства равны дЯ1дб где Я производящая функция рассматриваемого свободвого уиивалеитиого кшшвического преобразоваиия (см, с. 133). и пусть требуется определить движение «возмущенной» снстемы с гамильтоновой функцией Н + Н„т. е. определить решения системы дифференциальных уравнений 152 Гл.1Ъ'. Канонические преобразования Конечные уравнения для возмущенного движения в исходных координатах ап р, (» = 1, ..., п) получаются при подстановке функций (6) в формулы для певозмущенного движения (1) вместо постоянных 0;, и Рь.
о о Нам удалось, используя теорию канонических преобразований, заменить интегрирование гамильтоновой системы (3) интегрированием гамильтоновых систем (2) и (5); из общих репзений (1) и (6) этих систем суперпозицией получаем общее решение системы (3) (о1 ~Ц(1 о о) й(1 о О)) ~о1( о о ) ~~~( о о )) Мы фактически показали, что «возмущение в энергии» системы эквивалентно «возмущению начальных данпыхк Проиллюстрируем это на рис. 40. В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости 1 =- 0 возьмем фиксированную точку ЛХо и проведем из пее невозмущепный у, прямой путь, т. е. прямой путь (1) для системы (2). На рис. 40 этот путь изображен жирной линией МоХо. В гиперплос- кЗ ',' р кости 1 = 0 смещение начальной точки, задаваемое функциями (6), изобразим тонкой линией ЛХоИ~о.
Из точки ЛХое этой кривой проведем невозмущенный прямой путь ЛХосЛХо» (па рис.40 он изображен Лб пунктирной линией). На этом пути возьа ЛХ„ЛХ„' мем точку Р с данным значением координаты времени 1. Это и будет положение системы в возмущенном движении в Рис. 40 момент времени й При невозмущенном движении система в момент 1 занимала положение Я. Таким образом, возмущение сказалось в «сдвиге» ЯР. Прямой путь в возмущенном движении изображен жирной линией МоР. Таким образом, возмущенное движение можно рассматривать как «сложное» движение в фазовом пространстве: точка движется по певозмущенному прямому пути, но сам этот путь смещается (в общем случае деформируясь) из-за «возмущения» начальных данных.
3 29. Структура произвольного канонического преобразования В этом и в следующих параграфах этой главы мы приведем некоторые дополнительные сведения о канонических преобразованиях. Для произвольного канонического преобразования можно установить формулы, определяющие это преобразование с помощью произ- бгд. Структура произвольного канонического преобразования 153 водящей функции и валентности с, подобно тому, как зто было сделано в 3 25 для свободного канонического преобразования.
Пусть, например, из 4п величин д„р„дп р, (1=1, ...,и), (1) связанных между собой каноническим преобразованием Чг — '1'1(!) Чь~ Рь)~ Рг Ф1(1~ Чь~ Рь)1 (2) 1=1,...,п; фО можно в качестве 2п независимых взять величины Ч1~ ~ ЧП Р1Е1 ~ри~ Ч11 ~ Чт Ртг-и ~ Ри (3) (О < 1,т < и). Тогда с помощью тождеств и и рдбдд-б ~ ддрд — ~ д,бр„ д=1Е1 д=г+1 и и Рь бдь = б ~~! ЧьРь — ~~~ дь бРь, Ь,Ь=т ' 1 Ь=тт1 д=1-г1 можно основное определяющее равенство (9) на с. 131 записать в виде т и р бдг — ~~', дь брь — Йй = 1=1 Ь=тт1 г' и с ~ Х ~вг бд1 ~~~ дд брд Н б! бУ~ (4) 1 —.-1 диИ1 где 1! = Е + ~~ д! Рь — с Ь=ги 1 д=И-1 (5) (1 =- 1,..., 1: д = 1+ 1, ..., и; 1 =- 1, ..., т; 6 =.
т+ 1, ..., п). Поскольку все 4п величин (1) выражаются через 2п величин (3), то мы можем считать, что сг есть функция от величин (3). Тогда из тождества (4) легко находим дГ д5! — = ср„= — сдд, дд! ' дрд 154 Гл. 11'. Канонические преобразования Формулы (6) эквивалентны формулам (2) и определяют рассматриваемое каноническое преобразование с помощью валентности с и производящей функции 11 от независимых величин (3).
Ниже мы докажем математическую лемму, согласно которой из 4п величин (1), связанных преобразованием (2), всегда можно выбрать 2п независимых так, чтобы среди выбранных величин не было ни оДной паРы сопРЯженных 1!м Р, или 6„Рг !) . ТогДа пРи наДлежащей перенумерации координат д„щ, (г, )с = 1, ..., и) и соответственной перенумерации импульсов р,, рз, (г, й = 1, ..., п) выбранные 2п независимых величин можно представить в виде (3). Поэтому длл произвольного канонического преобразования имеют место формулы, которые могут отличатьсч от формул (6) лишь нумерацией величин (1) 2).
Подобно тому, как это бьгло сделано в 3 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка п, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции 11, отличен от нуля'1). Поэтому первые и уравнений (6) лзогут быть разрешены относительно величин (оз, р1, 1 = 1, ..., т; Ь = = т+ 1, ..., и). После подстановки полученных выражений в последние и уравнений (6) мы представим уравнения канонического преобразования (6) в виде (2). Сфорл!улируем и докажем лемму, на которую мы опирались при получении структурных форьгул (6) для произвольного канонического преобразования.
Л е м м а. Ес.ли даны 2п независ мых функций йг, ..., дл, рг, ..., р от 2п независимых величин йм ..., 9в, рг,..., р, то из 4п величин о„р„д„ р, (г' = 1, ...., п) всегда можно выбрать 2п, независимых так, чтобы среди них не было ни одной пары сопряхсенных (дь, рь) или (йь, рь). Доказательство. Допустим противное, т.е. допустим, что любые 2п из рассматриваемых величин, среди которых нет ни одной пары сопряженных, всегда зависимы.
Тогда выбереь~ и, -1- д независимых из данных 4п величин таким образом, чтобы первые и не имели значка, а послед- г) В книге Ролдстейна (8, с. 262) утверждается, что при произвольнаьг каноническом преобразовании в качестве системы 2п независимых величин всегда ьгожет быть взята одна из четырех систем: д, и 66 С, и рн р, и 66 р, и р, (г = 1, ..., и!. Ошибочность этого утверждения можно усмотреть из простого примера канонического преобразования 95 = — рг, Рг = т Ь = Сг рг = Рг 0 = 2; и) ) Это положение приведено Карагеолори в его книге (СагайеодогуС,, Чаг!аь!овзгесьвввй ивд рагпе!!е Е>Негев!!а!я!е1сьвнйев егэзез Огдвввй, 2 Авй., В. 1, 1936, 696), однако лемма, на которой основано наше доказательство (см. ниже), установлена Каратеодори лля частного случая, когда переход от переменных ен р, х пгремеянмм д„ р, (г = 1,...,п)является каноническим иреобрвзоваиием, з) Этв условие можно записать тах: де! (дз11/дг, дгь) ь ф О, если через гм , г„, гг, , г„ обозначить соответственно величины (3) в том порядке, в каком они были выписаны валле (см.
(3)). у29. Структура произвольного канонического преобразования 155 ние Н имели этот значок, причем выберем эти и + с1 величин так> чтобы среди них не было сопряженных и чтобы число с1 имело наибольшее из всех возлгожных значений. Согласно допущению д < и. Поскольку, не изменяя ии услония, ни утверждения леммы, можно поменять ролями две сопряженные величины д, и р, или д, и р„а также сделать произвольную перестановку индексов 1,...,п как у величин д„ р„ так и у величин д,, р„то можно считать, что выбранными являются следующие (7) Ряд величин (7) назовем максимальным базисом. Очевидно, что дг=йд» ",д., ды",дэ), Р =7'(д» ",д, дм",дв) (8) где 1' знак функциональной зависилюсти'). Не нарушая общности, можно считать, что из величин Рл . Р Р» ..
Рв не входящих в формулы (8), величины рл, , р , рг, , р» (а < и, Ь < ф) (0) являются функциями от базисных величин (7), а каждая из величин Р эл, °,Р, Рьш,рв (10) независилга по отношению к базису. Таким образом, р, = ~(ды ..., д„, д„..., дв) (1 = 1, .... а), Рь =Яды,д, дм,дв) (й=1,,Ь) Покажем теперь, что величины д,.»м ..., д„, д»»м ..., дш сопряженные енезависимым» величинам (10), фактически не входят в правые части формул (8). Действительно, пусть, например, дл (Л > а) фактически входит в выражение для некоторого дг (у > Ы): дл=у(,дл, ) Тогда система величин ды ..., дл л, дл„м ..., д„, ды ..., дш дг эквивалент; ка базису (7): (дм, дл-л: длины, д, дг,, да, дл) (дл,, д, дм, дг), (12) т. е.
каждая из величин, входящих в одну из двух систем, выражается через величины другой и наоборот ). Поэтому и ф д-с 1 величин ды °, дл — м Рл, длел, °, д, дл, °, дш дл независимы, что противоречит «максимальности> базиса (7). ~) В резных формулах одной н той же буквой л" обозначаются различные функциональные зависимости. Если дл фактически входит в какую-либо функциональную зависимость» то эту зависимость можно разрешить относительно дЛ. 156 Гя.1У. Канонические преобразования Такиьг образом, формулы (8) могут быть записаны так: Чг = 1(Чг Ч; Чг Чь), рг = 1(Чг Ч г~ Чм .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
