1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 20
Текст из файла (страница 20)
124) о Траектория светового луча совпадает с траекторией материальной точки, если )ель формулы 123) и 124)] 1 г П=й — — и . 2 125) Еслн принять, что вблизи поверхности Земли показатель преломления и убывает как линейная функция высоты г и = по (1-1с — '), Н 126) где Н -- высота атмосферы, то, пренебрегая малыми членами порядка 1г1'Н), можно написать г / П=6 — — по(1 — 2й — ) =сьдг, 2 л Н) 127) с=" — — по д = 1 г Йпо 2 ' Н 128) Формула 127) определяет потенциал силы тяжести вблизи поверхности Земли с видоизмененным значением д.
Поэтому если показатель преломления и указанным образом изменяется с высотой, то свет распространяется по параболе с вертикальной осью, $ 21. Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы 1 Т = ~- а,.(д„.", д.)ив. 2 Введем метрику в координатном пространстве 1дг. .. д„), определив квадрат длины дуги Нв с помощью положительно определенной квадратичной дифференциальной формы лЬ = ~ а,л1ды ..., д„) Йьвдл. ь л=г 12) Пусть дана произвольная склерономпая система; ее кинетическая энергия равна Гл. Ш.
Вариационные принс,ипы Тогда величина дуги кривой, соединяющей две точки координатного про- странства 1д, ) и (д,), определяется равенством ~од <од „дй, дую ~ о~ ~ о~ Сопоставляя формулы 11) и 12), найдем, что при днижении системы (4) т. е, что кинетическая энергия системы )при метрике (2)) всегда совпадает с кинетической энергией иэобраэгсающей точки в и-мерном координатном пространстве, если этой точке приписатпь массу т = 1.
Рассмотрим теперь движение системы по инерции (П = О). Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий )по отношению к метрике (2)). Из интеграла энергии согласно формуле 14), следует,что (5) т.е. движению по инерции (а также любому движению с постоянным значением й кинетической энергии) соответствует и координатном пространстве (дм ..., д ) равномерное движение изображающей точки со скоростью ъ'2й. В соотнетстиии с принципом паилсеньшего действия геодезические линии являются зкстремалями ) вариационной задачи 6И'* = О, (б) И' = ~ 2Тдг = 25(г — го) = ъ'25 э, (7) го где г = ъ'2п(1 — 1о) длина кривой и координатном пространстве (йы ,й ).
Вариационпая задача 16) принимает нид ы) 6э=б / ~ а,ьдд,две=О. ИЛ о ) То есть кривыми, для которых И'* имеет стационарное значение. где И'* — действие по Лагранжу. Но и расслгатринаемом случае как для прямого, так и для окольного пути имеет место интеграл энергии Т = Ь с фиксированным значением Ь; поэтому 119 у эх. Универсальный интегральный инвариант Я/ Я я ' = 2 ) э// — П) сг = 2)' (9) э а Поэтому движение консервативной системы с данным значением полной энергии // осуществляется в координатном пространстве вдоль экстремали вариационной задачи (с закрепленными концами) )10) Сопоставляя формулу (10) с формулой )8), заключаем, что для консервативной системы трасктпврии прямых путей яв лютея гевдеэи /сскими линиями в координатном првстаранстве с метрикой дэ, = )//) — П) ~ а,э дй, дую й 22.
Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна Рассмотрим теперь интеграл 1 = уг [~," рэ вй) — Н Й~ вдоль контура С, состоящего из одвовременных состояний системы. Такой контур получается., если трубку прямых путей (см. рис. 33 на с. 101) рассечь гиперплоскостью 1 = соней Для такого контура Й = 0 и основной интегральный инвариант принимает вид /) Это всегда имеет место, когда концы дуги геодезической достаточно близки. Таким образом, геодезическая линия характеризуется тем, чтв длина дуги этой кривой имеет экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с дугами других кривых, имеющими с геодезической одни и те хсе концы') (ем рис Зб иа с. 115). В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга геодезической.
Поэтому геодезические линии называются также кратчайш ми линиями в пространстве. Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. склерономную систему с не зависящей явно от С потенциальной энергией П = П19), ..., 9„). Тогда, согласно формулам )15) и )19) предыдущего параграфа, 120 Гли 111.
Вариаиионные прини,ипы Этот интеграл был впервые введен Пуанкаре. Позже Картав распространил этот интеграл и на контуры, состоящие из неодновременных состояний, введя дополнительное слагаемое — Н бй Интегральный инвариант Пуанкаре 1б не меняет своего значения., если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С', состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл 1б удобно рассматривать в обычном (нерасбпиренном) 2п-мерном фазовом пространстве (б1б рб ..., д„, р„). В этом пространстве контурам С и С' (рис. 33) соответствуют контуры Р и Р, охватывающие трубку «прямыхэ траекторий (рис 36); при этом 1е рбб,=уб рбб,. б=б б=б р,бб1, = р;бд, = хЯ„ (2) где Яб площадь области, ограниченной контуром Р, в плоскости (б7„р,) (1 = 1, ..., и). Направление обхода контура Л индуцирует направление обхода на проекции Рн В формуле (2) перед Я, берется знак плюс, если контур Л, обходится по часовой стрелке (т.е.
в направлении кратчайшего поворота оси р; к оси б1,), и знак минус -. в противном случае. Тогда и и б, = 1 г. бб б,, = 1. бе,. б=1 б=1 б1, (3) Рис, 37 Таким образом, при движении системы меняются контуры Р и Р„изменякбтся и площади Вб, но алгебраическая сумма (3) этих площадей остаетсл неизменной. Это и есть геометрическая интерпретация инвариантности интеграла Пуанкаре.
Заметим,что один из контуров Р и Л', например Р, можно выбрать совершенно произвольно. Можно считать, что точки контура Р являются различными состояниями системы в один и тот же момент времени 1; тогда соответствующие состояния системы в момент времени 1' составят контур Р'. Вместо фазового пространства рассмотрим отдельно п фазовых плоскостей об, р; (1 = 1,...,и). Спроектируем произвольный замкнутый контур Р, расположенный в фазовом пространстве, на эти плоскости (рис.37).
Получим контуры Р, (1 = 1,...,п). Тогда для любого 1 121 1 г2. Универсальный интегральный инвариант В выражение для 11 не входит Н. Следовательно, интеграл Пуанкаре 11 является инвариантом для любой гамильтоновой системы. Поэтому интеграл 11 называется универсальным интегральным инвариантом. Нетрудно доказать и следующее положение. Если для некоторой системы дифференциальных уравнений — „, =Ф(1,Ь,рь), —,„=Р*(1 ыь) ад, арг (1=1, ...,н) (4) интеграл 11 является инвариантвм, тв система (4) является гамильтвнвввй. Действительно, в этом случае ю — — ю — 1 г ( р р,ргр; — рг)— г=1 ( — 'рю, гр;б — ) = ( г ( — 'рг, — — 'рр,) = г=1 г=1 =~1;(Р.ююс-сгюрг г=1 Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции 1) — Н(1, йы рь): в ~,(Р16Ч1 — Фбр) = — бН(1, уы рь), г=1 дН Ф= —, др, ' дН Рг = —— дйг (1=1, ..., н), Здесь гюН = г," 1 ((дХ)дгь) юд, + (дН1др,) бр,).
что и требовалось доказать. Отметим еще следующие термины: интеграл Пуанкаре — Картава 1 и интеграл Пуанкаре 11 называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Термин юотносительныйр означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур; первый порядок означает, что в выражение, стоящее под знаком интеграла, дифференциалы входят линейно. Заметим, что относительный интегральный инвариант первого порядка 11 при помощи 122 Гл.Н1. Вариационные ирине;ипы формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного инте- грального инварианта второго порядка д,д*.
= 11 г ( — ') д*дд*, (д) д=г д<ь где интеграл в правой части берется по поверхности Я, ограниченной замкнутым контуром В. Эта формула в применении к интегралу 1, дает 1,=~~ р,бд,=,74= О" бр,бд„ 1з =~Э ~~' р бд бргбдь — 14 — 11О бр бд брьбдг 1г — г=фф~',рибдч бр„бд*„= Ун,=/ .. /брибди бр„бд„ В 1947 г китайский ученый Ли Хуа-чжун доказал единственность этих универсальных интегральных инвариантов.
Он показал, что всякий другой уяиверсальный интегральный инвариант отличается постоянным множителем от одного из перечисленных интегралов 1 Наьг в дальнейшем понадобится теорема Ли Хуа-чжуна для интегрального инварианта первого порядка; поэтому мы формулируем эту теорему для произвольного п и докажем ее для п = 1. Теорема Л и Х у а - ч ж у н а. Если п г' = 7 Г $ ~гдд д,р ) бд;.д Вид, д,дпддд д=г универсальный относительный ингпееральный инварианга, то 1' = с14, еде с — настоянная, а 1г — интеграл Пуанкаре. (6) ) Нша- Сьипд Бее, 1пгапппеп о1 Нагп111оп пуегеюв апв аррйспеюпе 1о ГЬе 1Ьеогу ог сапоп1са1 ггапп1оппайппэ В Ргос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
