1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Однако зто не всегда так. Это справедливо лип«ь для движений системы, т, е. для таких путей а, = /1,(1), р, = р,(1) (1' = 1,, п), у которых функции а,(1) и р,(1) связаны соотношениями р, = — (1 = 1, ..., и). дЬ дф (6) Однако при второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой!) к сравнению допускаются в качестве окольных путей произвольные кривые (2п+ 1)«мернога расширенного 4аэоеого пространства, проходящие через точки Ве и В/. Для этих путей соотношения (6) могут пе выполняться, и потому в общем случае для них Ь* П б. Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма при/шипа Гамильтона переходит в первую бИ' = О.
Заметим еще, что в отличие от точек Ме и М/ в первой форме принципа Гамильтона точки Вс и В« не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства в общем случае прямой путь провести нельзя. Точки Ве и В/ выбираются па том прял«ом пути, для которого формулируется принцип Гамильтона. й 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картава) Выведем формулу для вариации действия бИ' в общем случае, когда начальные и конечные моъ«енты времени, так же как и начальные и конечные координаты, не фиксированы, а являются функциями параметра сн бо = 1е(о)/ «1/9 = 6«" (о)/ (1= 1, ..., и).
11 =11(о'), д, = «1«(о) Так как прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл Гл.Ш. Вариационные принципы В этом случае, дифференцируя интеграл И' = ), ЬбВ по парамет- ру а и интегрируя по частям, находим об баб бо'баб / А дЬ =-б,бб,— б и б бе ~ — бб, — ббд)бб= б=б бо п н = Е1 бь1+ ~Р, бббдб~б=б, — Аа ббо — ~ Р,Гбдб)б=.бо + б, — — ( — — — " ')бб,бб.; (2) б=1 о )б~,) „= Г ~— %(Х, ) б Гб=-1, ...,% Л=-О, 1). (3) ~д б=бб С другой стороны, для вариаций конечных координат д~ = д~Ге1(о), а) имеем формулы бд, =дб1б+ ~ ' ~ бо Гдд;(1, а)) или бд,' = Гбд,)'б=и + д) об Гб' =- 1, ..., п). Отсюда )бд ~)б=б, — — бд,' — д,' бгб Гб = 1, ..., и).
(4) Совершенно аналогично Гбдб)б=б, — — бд' — д'ббо (о =1, ", и). Г5) Подставляя выражения Г4) и Г5) для )бд,)б-б, и Гбд,)б — б, в выражение (2) для бИ', выражая, как обычно, д, через р, и замечая, что 101 у 18. Основной интегральный инвариант получаем спедуюшую формулу для вариации действия бИ« в общем случае: и „ г ггдЬ д дЬ'1 да», «г дФ ге где ! о и ~, Р бде — Н 6~„= ~, Р~ Бд,' — Нг йт — ~~' Ра био + На йа. »=1 а »=1 В частном случае, когда для любого о соответствующий путь является прямым, т.е. когда о, = а,(1, о) (г = 1,..., и) — семейство прямых пу.тей, интеграл в правой части равенства (6) равен нулю при любом о и формула для вариации действия принимает следующий простой вид: бИ' = ~ р,ба, — Нй »=1 О Вместо расширенного координатного (и+1)-мерного пространства возьмем расширенное фазовое (2п + 1)-мерное пространство, в котором координатами точки будут величины «1е, р, (г' = 1, ..., п) и й В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую СО с уравнениями а; = г1д(о), рг = ро(о), 1 = бо(о) (г = 1, ..., и; 0 < о < 1).
(8) Здесь при о = 0 и о = 1 имеем одну и ту же точку кривой Св. Из каждой точки кривой СО, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 33, п =- 1) а, = дг(1, сг), р, = р»(1, о) (г = 1, ..., и; 0 < о < 1), (9) где даР, 0) = О»(1» 1), р»(б, О) = р»(й 1) (г — 1, ..., и).
На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую Сы охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Уравнения кривой Сг ьюжно записать в виде г) аз =дг(о), р; =рг(о), б=бг(о). (10) Каждому значению о из интервала О < о < 1 соответствует определенная «образующая» трубки (прямой путь), а на этой образующей имеется только одна точка кривой С». Поэтому каждому значению а отвечает только одна точка кривой Сг, т.е.
координаты точки кривой Сг являются функпиями параметра и. 102 Гм 1П. Вариационние ариан,ипи Рассмотрим действие И' вдоль образующей трубки от кривой Со до кривой Сбб б боб сю 00 Тогда при любом о, согласно формуле (7), и 1 6ИР = И"(о) бег = ~ Р,двб — Нй 1=1 о Рис. ЗЗ Интегрируя это равенство почленно по о в пределах от о = 0 до ед = 1,получаем ь 1 Ю=бд[1) — И[ ° )= ) г ргбд, — НН о о 1 — ' р! бд,' — Н бд~ - У ~~ р,'. бд — Н бю~ = — р бд, — и б ~ — 1 ~1, р бд, — и бр~, 1 сю т.
е. б рд бд. — нюб = 1 г рр,бд, — нбр~ . 111б с ю с 1 Таким образом, установлено, что криволинейный интеграл рр бю — Н бр~, Ь=б (12) взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т.
е. является инбпегральным инвариантом. Интеграл 1 мы будем называть интегральным инвариантом Пуанкаре -Картана. 103 у»8. Основной интегральный инвариант Докажем теперь обратное предложение. Пусть известно, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка ~Ми = иг'ей~ Чу~ Р»)~ с»» — ' = Ре(», Чгп Р,) (» =1, ..., и).
(13) Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным Ч,", Ро (» = 1,..., и). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре— Картана (12) является ин"гегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре- Картава, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины прн произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что Р, = — (» = 1, ..., и), (14) 'дН дЧ; дН дРг т. е, докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией Н, которая входит в выражение под знаком интеграла Н Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр) Р, дополнив систему (13) еще одним уравнением: с~~~ с»Ч„др~ др„г»» Яг Я„Р, Р„1 Здесь я = гг(», Ч;, р;) -- произвольная функция от точки расширенного фазового пространства.
Интегрируя систему (15), мы находим выражения для Ч„Р, и» в виде функций от переменной»г и от произвольных начальных данных Чо, ро (» = 1, ..., п) и»о (при»г = 0): Ч = 'Р1(Р~ Чу~ Рй|»о)~ о,о о,о Р1 у'г(Р1 Ч»1 Р»~ »о)~ » = Х(Р; Ч,", Р,', »о) (» = 1, ..., п1. (16) Ч9(сг), Р9(сг), »0(о), Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку Мо(Чо, ро, »о) на кривой Со, т.е.
в уравнения (16) вместо Чо, ро и»о следует подставить 1О4 Гл.111. Вариационпые принципы Сделав этобмы найдем параметрические уравнения для прямых пу- тей, образующих данную трубку, (Г, =. д(ГГ(, а), р, = рД(бб о), 1 =. ГГГ(, сг) !17) !1=1,...,п; 0(а<!); здесь значение а выделяет определенный прямой путь Г«образующуюь трубки), а значение параметра р фиксирует определенную точку на этом прямом пути. Полагая Гб =- сопя!, мы на каждой образующей получаем точку, а на трубке замкнутую кривую. Будем считать, что в интеграле !12) вместо (1„р( и 1 подставлены их выражения (17).
Тогда интеграл 1 будет представлять собой функцию параметра Гб и при каждом фиксированном значении Гб будет криволинейным интегралом вдоль соответствующей замкнутой кривой Г( = сопв!. В силу инвариантностиб (11 = О, где буква (Г означает дифференцирование по параметру р(. Проводя дифференцирование под знаком интеграла, находим: и б = 1 ~~ (бб,бь ..Р.ббв( — «ябб — Яббб~ . «=1 Написав б(1(1б и бй вместо с! 6(Г( и (1 Й ) и проинтегрировав по частям вдоль замкнутого контура, получим: ю=у (! («рсбб,— бр«бе( — блбббблбб~ = (.1=1 =~ф ~(;«.ф )б„б(-б,.б'— " )б,.~ ° «=1 + — (ГН + — а(1 й Операции б! и 6 можно переставить местами, так как они представляют собой дифференцирование по различным независимым переменным и и ес Далее,при интегрировании по частям проинтегрированная часть пропадает Гравие нулю), так как конечная точка пути интегрировавия совпадает с начальной.
Г!оэтому для любых двух функций и и е при интегрировании по замкнутому контуру 105 918. Основной интегральный инвариант или, в силу [15), разделив почленно на бр = с]с/х, ° =~(~ [[Р+ я)М+( — д,+ я)бр~+ + — — + й й я. [18) сй ]л Выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе я, а это возможно только тогда, когда выражение в фигурных скобках равно нулю. Приравняв это выражение нулю, получим дН дН ОФ' ' др, что н требовалось доказать 7). Из доказанного следует, что инвариантность интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона.
3 а м е ч а н н е. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную р и использовали то обстоятельство,что интеграл ! не меняет своего значения при переходе от одной кривой семейства р = сопяе к другой кривой того же семейства. Из-за пРоизвольности фУнкЦнн Я[С, ум Р,) семейство кривых р = сопя$ по супееству является произвольным семейством непересекающихся замкнутых кривых, охватывающих данную трубку прямых путей. Если мы не ввелв бы параметр р, а приняли бы в качестве параметра время 1, то, повторяя те же рассуждения, мы только частично использовали бы инвариаптность интеграла 1 [только для кривых из одновременных состояний с = сопяс) н не могли бы прийти к нужному результату. Рассмотрим теперь подробнее структуру интеграла Пуанкаре— Картана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
