1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 14
Текст из файла (страница 14)
предыдущее примечание. Таким образом, для сялерономной натуральной системы тггункцгтя Гамильтпони Н представляет собой ттолную опергиют), выраженную через переменные Г мг льтона. Рассмотрим теперь консервативную систему, т.е. натуральную склерономную голопомную систему с не зависящим явно от времени обычным потенциалом сил. В этом случае время 1 не входит явно в выражение (25) для полной энергии Н и потому, согласно равенству (21), имеет место закон сохранения энергии 81 у 13.
Уравнения Рауса Канонические уравнения в дашсом случае имеют вид 1т р. йр р, М т М т(тг + ср) ' Ир„ тр сМ та(т' + сР)' а интеграл энергии записывается так: — П'(т), — = Ос Нр„ асе р + г г + 2тП(т) = Ьс (Ьс = 2та). й 13. Ътравнения Рауса (г = 1, ..., т; о = т+ 1,..., н) (1) ум нос ос~ Рс (здесь т произвольное фиксированное число, меньшее и). Для того чтобы от переменных Лагранжа перейти к этим переменным, нужно все с) выразить через величины р„(о = т+ 1, ..., и), используя для этой цели соотношения дЬ р =, (о=т+1,...,«с). (2) дс)о Допустим, что гессиан функции Е относительно обобщенных скоростей с)о («малый гессиан») отличен от нуля ): с)ес сдгс.
ф О. дд д<р,г В обсцем случае это неравенство не следует из неравенства (19) на с. 73, а является дополнительным условием. Для натуральной же системы неравенство (3) вытекает из того, что Ьг = (1сс2) 2,'„", с а„зд„д„.- положительно определенная квадратичная форма.
В этом случае главный минор, составленный нз коэффициентов квадратичной формы: ( Вгб Йе« ( — — — — ) = ссес (а„а)~ д= «с ',дс сер ) ' Ь, а=т«1 должен быть положителен, Раус предложил взять в качестве основных переменных, характеризующих состояние систеъсы в момент времени 1, часть переменных Лагранжа и часть переменных Гамильтона. Переменными Реуса являются величины 82 Гл.
П. Уравнения движения в потенциальном поле дВ Ч = —, (а =т+1,..., и), (4) др„ В(», ц,, Ч„, Ч,, р„) . функция Рауса, определяемая равен- где В = ством В= ~ рц — К; (5) а =1п-~-1 здесь знак означает, что все Ч выражены через р . При этом переменные», Чо Ч, Ч; (т'.
=- 1, ..., т; а = т+ 1,..., и) рассматриваются как параметры и потому, в силу этой же теоремы Донкина, дВ дб дЧ» дц» (».=- 1, ..., т), (6) дц» дц» дХ (а = т + 1, ..., п), Ча дВ дЬ д» д» (7) (8) Уравнения Лагранжа для координат Ч; в соответствии с равенствами (6) перепишутся так: ЫдВ д — — — — = 0 (» = 1,..., т).
Уравнения Лагранжа для координат ц (9) »р. д7, — — (а = т+ 1, ..., и) дц,„ совместно с формулами (4) и (7) дают е»ч„дВ е»р д — — — (а = т+ 1,..., и). (10) в»» дц ' е»» дц„ Уравнения (9) и (10) е» дВ дВ =0 (»=1,...,т), »» дц» дц, »»Ч дВ»»р дВ е»» дцв е»» дцо Тогда, применив доказанную в предыдущем параграфе теорему Донкина, получим преобразование, обратное преобразованию (2), а именно у Ц. Циклические координаты образуют систему уравнений Рауса. Она состоит из т дифференциальных уравнений второго порядка типа Лагранжа н 2(п — т) днффереппиальных уравнений первого порцдка типа Гамильтона, причем функция Рауса в первых уравнениях играет роль функции Лагранжа, а во вторых функции Гамильтона ).
й 14. Циклические координаты Координата у называется циклической, если она не входит явно в функпию Лагранжа Е, т. е. если дЛ/ддо = О. При выводе уравнений Гамильтона и уравнений Рауса были установлены равенства дЬ дН дН ду ду ду Из этих равенств следует, что частные производные дЬ/дуо, дН/ду„ и дНггдд могут обращаться в нуль только одновременно. Поэтому циклическая координата может быть также определена как координата, не входящая явно в функцию Гамильтона Н или в функцию Рауса Н. Все эти определения эквивалентны. Обобщенный импульс, свответствунзщий цик ической координате д„, во время движен я сохраняет постоянное значение. Действительно, из канонических уравнений следует: Ыр дН а1 дуа Н = Н(г, дн рс, с„).
(2) Выпишем канонические уравнения для нециклических координат барс дН вЂ” — — (г = 1, ..., т). (3) дуг ауг дН 11 др,' Если мы хотим сохранить связь между обобщенными импульсами и функцией Лагранжа, то следует считать, что в первых уравнениях 111) роль функции Лагранжа играет функция — Я, поскольку, согласно формулам (6)г р, = —, = (г = 1, .. д т). дА д( — Л) дд. дф Индекс г пробегает значения 1, ..., пч а индекс о — значения щ т1, ..., н. т. е. р =- сопвФ =- с„.
Допустим теперь, что имеется г = и — т циклических координат уо (о = т + 1,..., п). Циклические координаты уо ие входят явно в Н, а соответствующие этим координатам импульсы р могут быть заменены постоянными с„. Тогда г 84 Гл.Н. Уравнения движения в потпенциальнвм поле Из структуры (2) функции Н следует, что уравнения (3) предста- вляют собой систему из 2т дифференттиальньтх уравнений первого порядка с 2т неизвестными функциями ст„рт (т = 1,..., т). Проин- тегрировав эту систему, найдем т р, =- тр;(с, с, с„с;) (т=-1, ..., тп), (4) где с„с', (т =- 1, ..., т) новые 2т произвольных постоянных. После подстановки выражений (4) в Н мы можем определить тто из уравнений Ц дн й дс (а = т + 1, ..., и) (5) при помощи квадратур Г дН д = / Й+ с„(а =- ти+ 1, ..., и). (6) са Н=Л(1,д„вы с ). (7) Тогда уравнения Рауса для нециклических координат д дН дЛ вЂ” — — — » О (т=1,...,т) (8) д1 дв, дст, образуют искомую автономную систему, а циклические координаты тт определяются из соответствующих уравнений Рауса (11) предыдущего параграфа с помощью квадратур Г дВ д = /, й+с~.
со (О) Антоне»твой системой мы здесь называем систему дифференциальных уравнений, пе содержащую»лип»них» неизвестных функций, которые должны были бы быть определены предварительно до интегрирования данной системы уравнений. Таким образом, по существу все свелось к иптегрированито системы (3), порядок которой 2т меньше порядка исходной системы 2п на 2г единиц, где г = и — т - — число циклических координат, т. е, наличие г циклических координат дало возможность понизить порядок систпемы на 2г единиц.
Система уравнений (3) гамильтонова. Покажем, как при помощи уравнений Рауса можно получить автономную систему т)из т дифференциальных уравнений второго порядка типа уравнений Лагранжа. Действительно, заменив обобщенные импульсы р, соответствующие циклическим координатам т7, через постоянные с„(а =- т,+1,..., и), мы функцию Рауса запишем в виде функции от 1, »7„дт и с„(т = =1,...,т; а=т+1, ...,и): 85 г Ц.
Циклические координаты При атом предварительно в дН,еде все д; и д, заменяются функциями от 2т + 1 аргументов 1, с; и с', (е = 1, ..., т), получаемыми в результате интегрирования системы (8). Пример. В примере, рассмотренном в конце з 12, Х = Т вЂ” П = — тет~+1т~ + И~)1о~] — П(т), 2 - циклическая координата и р, = та[~.
+ »1 )ф = сопзФ = с„. Составим функцию Рауса: й = ртео — Ь = — т~ — т + (т -~- »1~)1о ) + П(т) = 2 2 г 2 1 рт 1 .г, ст 1 = — — тпт + П(т) = — — тпт -т П1т). 2 2тп те+ сР 2 2тп та+ е1» Определение движения сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка е1 дЛ д — — — — =О, 81 дт дт которое в развернутом виде выглядит так: ст т тпб = — — П (т).
Заметим, что зто уравнение относительного движения груза вдоль рейки,поскольку в правой части стоит центробежная сила г с„т тп 1т + »г)г = тптР (с~ = Рт). Циклические координаты иногда называют игнорируемыми или скрытыми координатами. Это название об ьясняется тем, что при интегрировании системы уравнений (3) или 18) мы как бы забываем о существовании циклических координат; считая р„постоянными параметрами. В разобранном примере игнорирование циклической координаты привело к игнорированию вращательного движения рейки и мы получили дифференциальное уравнение для относительного движения вдоль рейки. Само название «циклическая координата» связано с тем, что во многих задачах механики угол у», характеризующий движение по замкнутым траекториям (циклахе), не входит явно в выражение для Ь и потому является циклической координатой. Отметим некоторую аналогию между голономной системой, имеющей циклическую координату, и обобщенно-консервативной системой.
Для первой системы дН(дд =- О, для второй дН)д1 = О. Для 86 Гл. Н. Уравнения движения в потенциальном поле первой имеет место интеграл ро = сопв», для второй системы имеет место интеграл Н = сопз». Корни этой аналогии будут обнаружены в дальнейшем при рассмотрении основного интегрального инварианта механики. В зак,аючение заметим, что более глубокое исследование движения систем с циклическими координатами будет проведено в гл. 1»П.
й 15. Скобки Пуассона В этом параграфе будут рассмотрены некоторые свойства интегралов гамильтоновой системы уравнений движения. Некоторая функция 1(», ц,, рг) называется интегралом уравнений движения ОН дрг он бр,' если для любого движения данной системы эта функция сохраняет постоянное значение с ): Я,ймр)=с. (2) Иногда интегралом называют само соотношение (2). Для обобщенно-консервативной системы интегралом является функция Н(г»н р,). Если й„-- циклические координаты, то интегралом будет ро. Очевидно, что если функции »ы ..., »» являются интегралами уравнений движении, то произвольная функция от этих интегралов Р(Л, ..., Я будет также интегралом.
Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать только независимые интегралы. Если известна лполная» система интегралов, состоящая из 2п независимых интегралов»ы..., »2„(п . — число степеней свободы системы), то, разрешая соотношения ,5я(», г»п р») = сь (1= 1,..., п) относительно д, и р„получаем конечные уравнения движения ф = 'гсг(»~с11 1 с2п)~ Рг = г»ч(»~ем ~ с2п)~ (л) содержащие 2п произвольных постоянных сы ..., сао. Таким образом, если известны 2п независимых интегралов, то известны все движения системы. Если нам известны» независимых интегралов »м ..., уп где» < 2п, то мы имеем лишь частичное представление о движениях системы, и чем больше 1, тем более полным является это представление. Поэтому мы всегда заинтересованы в нахождении возможно ббльшего числа независимых интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
