1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Гамильтон предложил в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы, взять величины 1, ун р; (г = 1,..., и), где р, (г = 1, ..., п) вбвбщетгые имаульсыг определяемые равенствами рг= —, (г=1,...гп). ггг' (1) г Чг Переменные 1, уп р, (г = 1, ..., и) будем называть переменными Гамилтпвна. Поскольку якобиан правых частей равенств (1) по переменным д, является отличным от нуля гессианом функции А ]ем. условие (19) на с.
73]г то уравнения (1) могут быть разрешены относительно д, (г = = 1,..., и): (2) г]г — Фг(1г г1ьг рь) (г = 1, ..., и). Такиы образом, переменные Гамильтона могут быть выражены через переменные Лагранжа и наоборот, и состояние системы можно характеризовать как системой значений переменных Лагранжа, так и системой значений переменных Гамильтона. В случае натуральной системы 7 — квадратичная функция (сы. с.
69.-70) относительно обобщенных скоростей и, согласно равенствам 75 у" 7й Канонические уравнения Гамильтона (1), обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости; в Р' = ~~~ а ьйь+с (1=1 н) (3) в=1 Решая зту систему линейных уравнений относительно д; ),получаем для д; снова линейные выражения д, = ~ Ьэ,р, + Ь, где Ьиь и Ь, функции от 1, аы ..., оа.
Если в натуральной системе силы Я, (1 = 1, ..., н) имеют обычный потенциал П(г, д;), то из равенства А = Т вЂ” П следует и): (5) Заметим, что любая функция от переменных Лагранжа К = Г(1, Ои д,) после подстановки в нее вместо обобщенных скоростей д, выражений (2) или (4) превращается в некоторую функцию Г(1, дб р,) от переменных Гамильтона. Функции Е(1, оо р,) будем называть союзным еыразкеиием для функции г'(г, д„й;). П р и м е р ы. Для свободной материальной точки декартовы координаты х, р, х являются независимыми и в потенциальном поле П = П(й х, у, х) функция Лагранжа имеет внд 5= — т(х +у +й) — П(г,х,у,х).
.э .з .э 2 Декартовым координатам соответствуют импульсы дЬ р,= — =эпх, рэ — — тр, р,=тй. (б) дх Если мы отсюда определим х, у, й и полученные выражения подставим в ро то получим союмюе выражение дяя Ь К = — (р.' -5 р' + р') — П(1, *, р, в). (7) Как было установлено в 1 7, бег (а,я)," „~ г О. з) Прн силах, имеющих обобщенный потенциал, формулы (5) неверны. В этом случае (ем.
равенства (7) н (10) на е. 70 — 7Ц дТ р,= — — и, (э=1,,,,,п). дд, 76 Гл. П. Уравнения движенил в потенциальном поле Если вместо П(й х, у, г) имеем обобщенный потенциал У = Пзх -ь Пгу+ Пзг+ П, где Пг, Пг, Пз, П вЂ” функции от й х, у, з, то из равенства Ь = — т(х 4- у + 8 ) — Пгх — Пгу — Пзй — П г г г 2 находим дб р„= —, = гпх — Пп дз р, = тз — Пз, 16~) рв — гпу- Пг, и союзное выражение Х имеет вид В = — У. +р„+р,) — — (Пг+П, +П,) — П.
1 г г г 1 г г г 2гп * " ' 2гп (7') Гамильтон ввел в рассмотрение функцию Н(1, ум р,), определяемую равенством п Н = ~ р г)1 — Х, (8) з=1 й~, дН др, дН др,' Эти уравнения называются каноническими уравнениями нли уравнениями Гамильтона~). Функция Н(1, у„р,), определяемая равенством (8), называется функцией Г мильтона. Вывод канонических уравнений Гамильтона будет опираться на следующую математическую теорему. Теорема донкинаг). Пусть дана некоторая функция Х(хз, ..., з:„), гессиан которой отличен от нуля: г)е1 ~ О, (10) г) Впервые вти уравнения в общем виде были получены английским мвтемнтиком У.
Гамильтоном в 1834 г. г) Р181озорь. Тгвпзи 1854. Переход от переменных х, к переменным у, д =- = 1,, п), о котором идет речь в теореме Девкина., часто нвзыввют преобразованием Лежандра. и показал, что с помощью этой функции уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы 2п обыкновенных диффе- ренциальных уравнений первого порядка: З' ! л.
Канонические уравнения Гамильтона и пусть имеется преобразование переменных, спорождаемоел футс- цией Х(хг, ..., х„): ус= (г=1,...,п). дХ (11) дх! Тогда существует преобразование, обратное преобразованию (1Ц, ко!порее также порождается некоторой функ.цией У(у!, ..., уп): х! = — (! = 1,..., п); дУ (12) ду! при этом порождающая функция У обраптого преобразования связана с порождающей функцией Х прямого преобразования формулой ) (12) ~=! Если функция Х содержит параметры сгг, ..., о, т.
е. Х=-Х(хг,...,хп; сгг,...,п ), то У также содержит эти параметры, т, е. У = У(уг, ..., у„; ссг, ..., пя,) дУ дХ (~ =1, ...,т). (14) до, дссу Доказательство. Гессиан функции Х совпадает с якобианом правых частей в уравнениях (11). Поэтому условие (10) показывает, что из уравнений (11) можно выразить переменные хг, ..., хп через У!» Уо: х, = ~,(у!, ..., у„) (! .= 1, ..., и). (15) Пусть функция У(у!,..., у„) определяется формулой (13), в которой переменные х, заменены выражениями (15).
Тогда дУ д 1' 1 " дхь " дХ дхь — — хьуь — Х =- ~~! уь + хл — ~ ь=! ь=! ь=! Но, согласно равенствам (11), две суммы, стоящие в правой части этого равенства, взаимно уничтожаются и, следовательно, имеют место формулы (12). Предполагается, что а леной части формулы (!3) асе л, аыралсепы через у„т, е, что У = У(у! ° ° у ~). 78 Гл. Н. Уравнения движения в потенциальном поле Пусть теперь Х содержит помимо переменных т1,..., то еще параметры п1, ..., ее .
Тогда эти параметры фигурируют в прямом преобразовании (11), а следователы1о, и в обратном: я,=~,(61, ...,у„; о1, ...,от) (1=1, ...,и). Функция У определяется равенством (13), в котором т; заменены на ~,(У1, ..., У„; О„..., Оп); ПОЭТОМУ ) дУ д ( ~ дте дпе доз,, дод 1.=1 1=1 дХ дт; дХ дХ длг дсез деев доз е=1 О=1,...,т). дН % рВ дЬ дН вЂ” — (1=1,...,п), (16) дуе дд1 д7 дН д1 д1 Равенства (16) и (17) представляют собой тождества, являющиеся следствием связи (1) между обобщенными скоростями и обобщенными импульсами.
Но уравнения Лагранжа могут быть, в силу (1), записаны так: (17) — — (1=1,...,п). дре д7, й дел (18) Эти уравнения совместно с равенствами (16) и приводят нас к каноническим уравнениям Гамильтона 116„дН др, дН вЂ” — — — — (1= 1, ..., и). (19) д1 др,' д1 д~ Помимо уравнений Гамильтона мы получили тождество (17), которое будет использовано в дальнейшем.
1) При вычислении производной ду/доз величины у1,..., у„ рнссмнтриннются квк постоянные. Теорема Донкина доказана полностью. Используем теорему Доикина для перехода от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона, заменяя в теореме функцию Х На Ь, ПЕРЕМЕПНЫЕ Х1, ..., тв На д1, ..., ди, ПаРаМЕтРЫ а1,..., От На О1, ..., Дп, 1, ПЕРЕМЕННЫЕ У1, ..., У„иа Р1, ..., Р„И, НаКОНЕЦ (с учетом примечания 1 на с.
77), функцию У = ~," я,у; — Х на и Н = ~, 1 ре1), — Ь. Тогда по теореме Донкина (гессиан функции Ь относительно 111 (1 = 1, ..., и) не равен нулю!) из формул (1) следует: 79 у" Ы. Канонические уравнения Гамильтона Из уравнений (19) следует тождество дн д' )гдн дчг дн др,'г[ дн дн й ~-; )чдЧ, й др, й/ д1 д1 н = н[ч,, р;). В этом случае1) дн)д1 = 0 и, следовательно, в силу тождества [20), ан[й = О, т.е.
при движении сиспеемы Н(Чгг Р) = сопв1 = Ь, (21) где Ь произвольная постоянная. Функцию Н будем называть обобщенной полной энергией, а соотношение [21), не содержащее, Ч или р и включающее произвольную постоянную Ь, обобщенным интегралам энергии. Для того чтобы пояснить эту терминологию, рассмотрим натуральную систему. Тогда Ь является квадратичной функцией [см. равенство [4), 1 111 Г = Г2+ А1+ но в о о и дГ'2 .
дх'1 Н = Е р1Ч вЂ” Г = Š—. Чг — Г = Е Ч,— Е, Чг — Т вЂ” Г1 — Т . г=1 г.—.-1 дйг ', дйг *, дйг г=1 г=-1 Но по теореме Эйлера об однородных функциях 2) дГ,2 Чг — 2~'2 г г=1 д1„, ,'ЧЬ = Ь,. г=1 (22) Поэтому окончательно для произвольной натуральной системы Н=А2 Го. (23) Пусть Т =. Тг + Т1 + То. Если силы имеют обычный потенциал П = П(1г Ч,) или обобщенный потенциал гг = 'гг + П, то А2 = Тг, Го =- То — П, и поэтому Н =- Т вЂ” Т + П. (24) Из равенства П7) следует, что для обобщенно-консервативной системы и дйггдг = О, т.
е, 1 не входит явно и в функцию Лагранжа Ь. См. примечание 1 на с. 53. Назовем систему обобщенно-консервативной, если функция Гамильтона Н не зависит явно от 1, т.е. если 80 Гл. Н. Уравнения движения в потенциальном поле Если система склеропомца, то Т = Тг, То = О, и потому Н=Т+П. (25) (26) Т+П = 6. Консервативная система является частным случаем обобщенноконсервативвой, и в этом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный. Если система склерономна и силы имеют обобщенный потенщтал К = 7 + П, в котором П не зависит явно от времени 1 (дП/дс = О), то снова функция Н определяется формулой (25) и не зависит явно от й Поэтому и в этом случае система является обобщенно-консервативной и имеет место интеграл энергии (26) г). П р и м е р.
Горизонтальная рейка вращается около вертикальной оси, а вдоль реки движется груз массы т. Сила, действующая на груз, имеет потенциал П(г), где г — расстояние груза до оси вращения. Обозначим через ~р угол поворота рейки, а через 1 = та -- ее момент г инерции относительно вертикальной оси вращения. Тогда г и гг -- независимые координаты системы и Т= — 1г1 Ч- — тп(г +г р )= — т(г Ч-(г +д)~р). 2 2 2 Отсюда р = — = ттг(г + тг )ф. дТ г г дч' дТ = — = 3М, дт Поскольку систелщ консервативна, то Н вЂ” Т+ П вЂ” — р„Ч- ) Ч- П(г). т) !1рп наличии обвбщеввого потенциала 1' =- Ут -~- П мы по-прежнему называем полной энергией величину Т -~- П, а ве Т -'; 1', ) См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
