1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— 573. э) См. (25, 5259). ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ $ 11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы Пусть обобщенные силы ф яв,лаются потенциальными, т. е. пусть существует потенпиал сил (потенциальная энергия) П = П(1, д,) (сн1.88) и (1=1, ..., п). (1=1, ..., п) Н дТ дТ вЂ” — — — =О (1=1, ...,п), (2) где 1=Т вЂ” П. Функция Т называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Кинетический поте1щиал Ь, так же как и кинетическая энергия Т, представляет собой функцию второй степени относительно обобщенных скоростей: (4) т =т2+з1+~0~ где Поскольку ио"генциальная энергия П не зависит от обобщеннык скоростей, а й = Т вЂ” П, то дд1ддц = дТ)ддг, а до)дд, = дТ)дд, — дП/дд, (1 = 1, ..., и). дП Я1 = —— дд1 Тогда уравнения Лагранжа а1 дТ дТ дП 111 дд; дд, ддэ записываются в виде ) 1 Ь2 = — у с1йд1да, 2,' Ц 1=1 го = ~ сэдо 1о = „(4') 1=1 70 Гл.
П. Уравнения движения в попэенциальноле поле Здесь коэффициенты с,у, с„со являются функциями от координат уы ..., ув н времени 1 (2, й = 1, ..., и). Сопоставление формулы (3) с формулой (5) на с. 49 дает лп=Т2 то=То — П (б) л'2 Тз ~ Заметим, что в случае, когда действующие на материальные точки активные силы г, = Х„1+ У 1 + Е,к (о = 1, ..., 1э') имеют потенцвэл П(й в„у„е,) в декартовых координатах х„у„е, (о = 1, ..., 1э'), т. е.
эти силы и в независимых координатах д, (1 = 1, ..., п) имеют потенци- ал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координаты уе, ..., д„и время й Действительно, Я, Бд, = ~ ~(Х, От + У, ау + л„ве,) = — ОП = — ~ — Бдо *=2 =1 дд, откуда и следуют равенства (Ц.
Рассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала П(1, дь) существует обобщенный потенциал И(1, ду,дь), через который обобщенные силы ф выражаются с помощью формул (1=1,..., и). (б) Тогда уравнения Лагранжа е) дТ дТ е( др е11 дд, дде Й дд, снова записываются в виде (2), где теперь (7) Из формул (6) следует: д2И ф = ~~,, уь+(э*) (1=1, ..., и), (8) , д4дФ„. где (ве) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных уско- рений дь (Й = 1, ..., и).
дП Х„= — —, дх, дП У = —— ау„ дП Я„= — — (о = 1, ..., 1У), а.. дИ (1=1, ...,и) ду, 71 у'11. Уравнения Лагранока Г), = Гээ(1, !!я, Г)Ь) (1 = 1,..., П), то, согласно формулам (8), в этом случае все частные производные второго порядка от Гх по обобщенным скоростям должны быть тожде- ственно равны нулю, т. е. вбвбо1енный поп!внии л Гх линейно зависит от обобщенных скоростей )У=~иб,+и=1,+П, (10) где П, (1 = 1, ..., п) и П вЂ” функции от координат вГ, ..., в„н вре- мени 1. Но тогда, согласно равенству (7), Х снова будет квадратич- ной функцией относительно скоростей в! и вместо равенств (5) будем иметь ) 7! = т! — ~;, 7„= 7'в — И.
(11) Ьг =Та, Подставляя выражение (10) для Гх в формулу (6), получаем йп, д ~" д,= ' ~с,'п„д„п = й1 дчг ди "- Гдп! дих!, ди = — — -!- э ~ — — ! аь+ —. (12) дв! ~ — ' (, дйь до* г) дГ Формулы (12) показывают, что в случае, когда линейная часть х'! обобщенного потенциала не зависит явно от времени 1 (дп,,1дГ = 0 (! = = 1, ..., п)), вбвбщениые силы Я! складываются из потенциальных сил дп/дд, (1 = 1, ..., п) и гироскопических сил (1=.1, ..., и), (13) где ди, ди у,ь =- — уы =-, ' — (1, й = — 1, ..., и). (13') ч! Ч! Важность рассмотрения обобщенного потенциала подтверждается следующим примером.
Коэффициенты н выражениях для 1 и Т свяэаны между собой. Действительно, при обычном потенциале с, = а„а при обобщенном потенциале с, = а, — и, (э = 1....,, и). В обоих случаях с,ь = а,ь (О й = 1, ..., п), со = ао — Г! и йг = Тг— положительно определеяцая хвадратичвая форма. Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когда обобщенные силы ьг! не зависят явно от обобщенных ускорений, а зависят лишь от времени, координат и обобщенных скоростей 72 Гл. П.
Уравнения движения в потенциальном поле П р и м е р ы. На точечный электрический заряд в электромагнитном поле действует сила Лоренца Р=е~Е+ — хН1, 114) где ч скорость точки, е заряд, с величина скорости света,а Е и Н напряженности электрического и магнитного полей. Векторы Е и Н выражаются через скалярный потенциал ~р и векторный А с помощью формул ') 1 дА Е = — бгадуз — — —, Н = го1А. 115) с дг' Найдем обобщенный потенциал У для силы Лоренца Р. Из формул 114) и 115) находим едА е е ЙА Р = — ебгас) 1с — — — + — 1у х гас А) = — ейгэг) 9з — — — + с д1 с с сЫ е ее)А е + — ~14ч ч)А+ у х гоСА) = — ебгас)уз — — — + — бгад1чА), 116) с ссй с где скорость у в выражении бгаг) 1уА) считается вектором, не зависящим от точки поля ). Отсюда, выбирая в качестве независимых координат декартовы координаты точки х, у, з и полагая е У = е~р — — 1уА), с 117) т. е.
У = еуз — — 1хА, + УАв + зА,), с имеем едА дУ д дУ дУ с Ф дх Ж дх дх ~,чУ~)А -~-ч х го1А = ягаб~ чА), в которой е рассматривается квк постоянный вектор. В справедливости этой фор- мулы легко убеждаемся, сравнивая между собой проекции ва осв х, у, з левой я правой частей равенства. Действительно, для ося х ",.сэ те, -~-сэ дх ду дв ), дх ду дАь дА, 1 дА, дА„ дА, д — е,, ' — ' ) =ее ' фев "-~-е, ' = (чА). —,(,' — '~ —,, " ' — < А).
де дх У дх дх дх дх Апвлогячвые формулы имеют место для проекций яа оси у я а См., например; Ландау Ль5 а Лифозиц Е.М. Теория поля. — М.— Л., 1948. - С. 55. з) Здесь для выражения )чЧ)А = е 1дА/дх) -~- с., 1дА/ду) -~- ь„1дА/дв) используется известная формула векторного анализа » 11. Уравнен л Лагранжа Аналогичные формулы имеют место для Ри и Г,. Таким образом, обобщенный потенциал силы Лоренца (14) впределлегпся формулой (17). Для функции Лагранжа Т имеем выражение 1 г е Ь = Т вЂ” У = — те — егг 4- — (уА).
2 с Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал П(», рл) илн обобщенный потеппиал 1г(», д„д»), мы будем называть натуральнымгг. Для таких систем функция Лагранжа Ь является функцией второй степени от обобщенных скоростей, т.е. представляется выражениегг (4), где Х,г положительно определенная квадратичная форма относительно обобщенных скоростей. В качестве примера ненатуральной системы можно рассмотреть движение материальной точки в релятивистской теории при отсутствии силового поля. В этом случае движение точки определяется уравнениями Лагранжа, в которых г г»г Ь= — тс (1 — — ) Ь = — ти + соне».
1 г 2 В этой и следующей главах мы будем вести изложение для систем общего типа г), движение которых определяется уравнениями Лагранжа (2) с произвольной функцией Т, = Ц», д;, д,). Мы будем лишь предполагать, что гессиан функции б относительно обобщенных скоростей не равен нулю ): ,Зг г " фдад,», „, (19) Уравнения (2) в развернутом виде могут быть записаны так: В Е дь 4- (**) = О, »Зд, ада (20) ~ ) Те положения, которые справедливы только для натуральных систем, будут специально оговорены. Лля натуральных систем (дгЬ»ддц дав) = (дгТ)дд',ддь) = а,ь (б» = 1, ..., п), и потому во доказанному в» 7 (с.
49) неравенство (19) выполняется. где иг = йг -~-гу~ ц-гг, а с — величина скорости света. Здесь 1 уже не является функцией второй степени относительно скоростей ац р, г. г Если в выражении для функции б разложить (1 — и~»с ) в ряд по степеням и»'си отбросить члены второго и более высокого порядка относиг г г»г г г тельно и/с, т.
е. положить (1 — и /с ) 1 — и 1'2с, то получится еклассическое» выражение функции Лагранжа для изолированной материальной точки, а именно: 74 Гл. Гб Уравнения движения в потенциальном поле где через (в*) мы обозначили сумму членов, пе содержащих обобщенных ускорений д, (г = 1, ..., п), Поскольку определитель системы линейных (относительно йь) уравнений (20) отличен от нуля ]ем.
перавенство (19)], то систему (20) можно разрешить относительно обобщенных ускорений и записать в виде Чг = Сг(1г г7ьг Й) (г = 1, ..., и). Поэтому сделанный в 8 7 вывод об однозначном определении движения системы путем задания начальных данных дв, г79 (г = 1, ..., и) справедлив не только для натуральных систем, но и для рассматриваемых здесь систем более общего типа.
9 12. Канонические уравнения Гамильтона Лагранж показал, как выписываются дифференциальные уравнения движения системы, если известен кинетический потенциал (функция Лагранжа) г = Цг, уо г)г). Будем называть переменные 1, 90 г), (г = 1, ..., и), через которые выражается функция Лагранжа, переменными Лагранжа. Система значений этих переменных характеризует момент времени и соответствующее состояние системы, т. е. положение системы и скорости ее точек. Как уже было отмечено в конце предыдущего параграфа, задание функции Лагранжа и начального состояния однозначно определяет движение системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
