1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 15
Текст из файла (страница 15)
) Это значение с может меняться, когда мы переходам от одного движения системы к другому. 87 З 15. Скобки Пуассона Мы познакомимся здесь с методом нахождения интегралов уравнений движения, предложенным Пуассоном и Якоби. Пусть 1(1, ун р;) интеграл уравнений (1). Тогда при подстановке вместо д„р, (1 = 1, ..., н) любого решения гагаильтоновой системы (1) функция 1 превращается в постоянную с, т. е., согласно уравнениям (1) (5) Пуассон ввел специальное обозначение — скобки Пуассона — для следующего выражения, составленного из частных производных двух произвольных функций |р(1, ун р;) и ф(1, йп р,): а а=1 (6) При помощи скобок Пуассона равенство (5) необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция )'(1, дн р;) была интегралом уравнений (1) — записывается так: — + (1Н) = О. дУ д1 (7) Отметим следующие свойства скобок Пуассона: Для любых функций ~р(1, у„р,), ф(1, уо р,), т(й дн р,): 1' (у Ф) =-(Фр); 2'.
(ср1У) = с(у1б) (с постоянная); 3' (у+1Ух) = Мх)+(у'х); 4'. ((К Ф) х) + ((Ф х) К) + ((х р) Ф) = О; 5', (д/д1) (у ф) = ((ду 1д1) ф) + (у (дф/д1)), Тождества 1', 2', 3', 5' получаются непосредственно из определе- ния (6) скобок Пуассона. Тождество 4', которое называют тождеством Пуассона, уста- навливается при помощи специальных соображений. Пусть Х и У - дифференциальные операторы первого порядка над функцией ~(лы ...,л ): ХУ=ЕХ.—, ду (8) дту где Хы Уь (й = 1,..., пт) функции от переменных ты ..., т Тогда «коммутатор» с =- ХУ вЂ” Уо также будет оператором первого 88 Гл. йб Уравнения движения в потенциальном поле порядка ) лу = Х(У1) — У(Х1) = ~ ~[Х(Уь) — У(Хь)] . (0) ду я=1 Вернемся к скобкам Пуассона (9зу).
Эти скобки можно рассматривать как результат применения линейного оператора Ф вида (8) к функции у' от переменных д„р, (з = 1,..., п): Ф,~= (ЮЛ = ~~' (~ — — — ч- — — ). l др ду др ду'з дре дче доз' дре (10) ((Фх) 9) + ((х р) Ф) = (ФМх)) — (р(фх)) = (ФФ вЂ” ФФ)х представляет собой дифференциальный оператор первого порядка относительно т. Таким образом, в левую часть тождества Пуассона не входят частные производные второго порядка от т, а значит, в силу симметрии, отсутствуют и частные производные второго порядка от р и ф. Другими словами, все члены в левой части 4' взаимно уничтожаются, что н требовалось доказать.
Докажем теперь основную теорему. Теорема Якоби. Пуассона. Если э" и д — интпегралы уравнений дви:ксения, то (7" д) -- также интеграл этих уравнений. Доказательство. Требуется доказать, что для функции (г"д) выполняется соотношение (7): (~д) + (Уд) Н) =0, когда такое же соотношение имеет место для каждой из функ- цийУ,д: — +(10) =О, ду д1 — + (дН) = 0. дд де (12) Непосредственные вычисления показывают, что в правой части равенства (9) все члены, содержащие частные производные второго порядка от фуякцин Е взаимно уничтожаются. Этот дифференциальный оператор первого порядка вполне определяется функцией дк Аналогичные операторы Ф, Х определяются функциями ф н т.
Перейдем теперь непосредственно к установлению тождества Пуассона 4'. После раскрытия сложных скобок любой член в левой части 4' будет содержать в качестве множителя частную производную второго порядка от одной из функций ~р, 19, т. Но ((р ер) Х) не содержит частных производных второго порядка от т, а сумма 89 Х 15. Скобки Пуассона Действительно, согласно 5' П1 "д) Ид + 'П1 = -((,1 ХХ) д) — (Х(д Н)) = ((Н,Х) д) + ((д Н) Х). Поэтому, используя тождество Пуассона, получаем ) + ((,(д) ХХ) = (( ) Н) + ((д ХХ) У) + ((Н,Х) ) = 9, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема дает автоматическое правило, позволяющее из двух интегралов Х(1, дп р,), д(1, до р,)при помощи алгебраических операций и операции дифференцирования получить третий интеграл: Взяв скобки Пуассона, например, от Х и (х д), мы снова получим интеграл и т, д, Однако не следует забывать, что новый интеграл может оказаться или тождественно равным нулю или функцией от предыдущих известных нам интегралов. Таким образом, только при специальном выборе независимых интегралов ~ы ..., 11 (1 < 2п) можно быть уверенным, что при помощи скобок Пуассона можно получить неДостаюЩие (До полной системы) интегРалы ))т1, ..., Хт„.
В качестве примера ) рассмотрим интегралы количеств движения и моментов количеств движения для свободной и изолированной от внешних воздействий системы материальных точек ): Р. ~- р Р„С;р„ М, = ~ ~т, = ~ ~(ур„— ярэ), Мэ —— ~~ тп — — ~> (ср, — хр,), М,=~ т.=~~ (трэ — ур ), где ;э = тт,, рэ — — тпу, р, = тпй. Функции Р„Р,, Р„ЛХ„Мк, ЛХ, являются интегралами, т.е.
имеют место «интегралы сохрапеиияэ : сэ ЛХ = сч ЛХу: сэ ЛХ: сб (13) Р, =от, Р,,=сы См. (15. — С.М). Здесь в далее в этом примере суммирование проводится по всем точкам системы. Оо Гл. П. Уравнения движения в потенциальном поле Заметим, что скобки Пуассона, в которых одна величина (р или т) отно- сится к одной точке, а вторая к другой, всегда равны нулю; поэтому (Р, Р„) — ~ ~(р, р„) — О (р ) ~ р Р (М М„)=~ (т тп„)=~1 т,=М,.
(14') Циклической перестановкой букв х, у, г получаем аналогичные соотноше- ния (Р„Р,) = О, (Р,М,) = Р„, (М,М,) =М„. (Р„Р,) = О, (Рг М ) Р (М„М,) = М„ (14в) Шесть законов сохранения (13) не являются независимыми. Из соотноше- ний (14') и (14о) следует, что если имеют место интегралы М =ею М„=се, (15) Р,,=от, то имеют место и интегралы (18) Р, =сг, Р,=сг, М,=св. Конечно, все это верно для потенциального силового поля. В непотенциальном силовом поле из равенств (17) Х= О, Ь. =О, 7,„=О не следуют равенства ) (18) Я=О, Ь,=О. т) Интегралы сохранения (15) имеют место лишь при выполнении равенств (17). Аналогична интегралы (16) имеют место лишь при наличии равенств (18).
если система изолирована. При наличии же внешнего силового поля с главным вектором ЩХ, У, Я) и главным моментом Ьо(Ьч, Ь„, Е,) любой из этих интегралов имеет место, если соответствующая из величин Х, У, Я, 7„Ьг, Х, равна нулю. Составим скобки Пуассона для величин, связанных с одной точкой: др.
дтп„ (р,рг) = О, (р тг) = — — =р„ др дх дтп дт„дтп дтп„ (т, тг) = —, = хрг — ур, = тп,. г р р г ГЛАВА П1 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 9 16. Принцип Гамильтона Рассмотрим произвольную голономную систему с независимыми координатами ом ..., д„и функцией Лагранжа Ь(с, ом о;).
Интеграл И'= Тд1 называется действием (по Г м льтону) за промежуток времени (1о, 1»), а выражение Хд1 элементарным действием г). Так как функция Т имеет вид Т = 1 (1, о„о,), то для вычисления действия (Ц необходимо задать функции у, = ое(1) (1 = 1,..., п) в интервале времени 1о < 1 < 1м Другими словами, действие И' есть функционал, зависящий от движен я системы. Если мы произвольно зададим функ- М, ции с1; = д,(1) (1 = 1,..., п), то получим некоторое кипематически возможное I I (т.е, допускаемое связями) движение. В о, расширенном (п «- 1)-мерном координат- а ном пространстве, где координатами явля- Ие ются величины о, и время 1, зто движе- Ч~ ние изображается некоторой кривой. Мы будем рассматривать всевозможные такие кривые - «пути», проходящие через две заДанные точки пРостРанства ЛХо(1о, До) и ЛХз(1ы ч~) (см.
рис. 29 для п = 2), т.е, все возможные движения, переводящие систему из данного начального положения (д) ), которое она занимала в момент времени 1о, в данное конечное положение (д, ), которое она занимает в момент времени 1ь 1 При этом заранее фиксируются начальный и конечный моменты вре- Для натуральных систем й =- Т вЂ” П имеет размерность энергии. Поэтому размерность Леаствия есть энергия х время: — сила х длила х время.
92 Гл. 111. Вариационные принципы мели (о и (м начальное и конечное положения системы. В остальном движения произвольны. Если система натуральная и несвободная, то рассматриваемые здесь движения подчиняются лишь одному ограничению: при движении системы наложенные на точки системы связи не должны нарушаться.
Это условие выполняется автоматически, когда мы задаем движение в независимых координатах, полагая дг = д,(1) (1 = =1, ..., и). Допустим, что среди рассматриваел«ых путей имеется так называемый «прямой» путь, т. е. путь, по которому может двигаться система при заданной функции А (т. е. в данном силовом поле). Для прямого пути функции у, = д,(1) (1 = 1, ..., п) удовлетво(эяют уравнениям Лагранжа а дВ дЬ вЂ” — — — =О (1=1, ..., и). (2) Шдф ду, Все остальные пути, проходящие через точки Мо и Мм будем называть «окольными» путями.
(На рис. 29 прямой путь изображен сплошной линией, а окольные пути пунктирными линиями.) Мы докажем, что действие И' имеет длл прямого пути экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с окольными путями. В этом и заключается принцип Гамильтона '). Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство путей «1, = д,(1, а) (бо ( б (11, — 7 < а < 7; 1 = 1, ..., и), содержащее в себе при а = О данный прялюй путь; при а ф О получаются окольные пути. Пусть все эти пути имеют общее начало Мо и общий конец МС Действие И', вычисленное вдоль пути, принадлежащего этому семейству, представляет собой функцию параметра сг Иг(о) = Ь)1, 91(1, а), 91(1, а)) й. з) Этот принцип содержится в работах У.
Гамильтона, опубликонапных в 1834-183бгг. (смс Вариационные принципы механики: (Сборник). М., 1959.— С.339). При этом Гамильтон предполагал,что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Т в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего случая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обосиовая М. В, Остроградским н 1848г. (там же.— С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
