1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 11
Текст из файла (страница 11)
й Дифференциальные уравнения движения На линейные формы (5) нужно наложить лишь одно условие: эти п линейных форм вместе с д линейными формами АВгд, (,3=1, ...,д) с=1 должны образовать полную систему из т = и + д линейно независимых форм, т. е. определитель, составленный из коэффициентов этих т форм, должен быть отличен от нуля. Тогда величины йа (е = 1, ..., и) смогут принимать произвольные значения, так как при любых значениях этих величин мы найдем соответствующие д, (1 = 1, ..., т), разрегцая систему линейных уравнений (4) и (5). При этом получим гЬ = ~ Ьг,и, + Ь, (1 = 1, ..., т), (6) а=-1 Гдв Ьга И Ьг фуНКцИИ От 1 И д11 ° ~ Чгп.
Величины й„являющиеся линейными формами от обобщенных скоростей, будем называть ггсевдосноросгпялги, а символы л, псевдоиооРдинатвми (в = 1, ..., и). В частности, гга могУт совнаДагь с некоторыми обобщенными скоростями. В общем же случае М + 11 величин й, и д, связаны зависимостями (5) и (6). Для того чтобы найти ограничения, налагаемые дифференциальными связями на виртуальные перемещения бде, нужно (см. З2) в уравнениях (4) отбросить свободные члены Ад и заменить д, на бде (1 = 1, ..., и).
Тогда мы получим Ав,бд,=й (13=1,...,д). (4') г=1 В соответствии с равенствами (5) вводим обозначения ') би,=-~~ ~мбд, (е=1,...,н). (5') е=~ По предположению формы (4') и (5') линейно независимы. Поэтому бяа могут принимать произвольные значения, а соответствующие бд, определятся из системы уравнений (4') и (5'): бдг = ~~~ Ьг, би, (1 = 1, ..., т). (6') а=1 Выражение для работы элементарных сил на виртуальных перемещениях можно представить в виде бА= ~ ~Щбдо с=1 1) В случае силерономиой системы бд, = ИЧ, = 4, ае и лоэтому, согласио формулам (о) и (5'), би, =- гге де. 63 5 10.
Уравнения Аппе л где,как и для голономпой системы, и Огт~к. " =1 (1 = 1,..., гп). Теперь, подставив в равенство (7) вместо бг)! выражения (6'), найдем иг и и Ггт бАт~ а;~ )гг,бхвт~ ~~ йи(„)! б ю г=! в=1 в=1 г.=1 т. е. т бА = ~~ П, гггп г=1 (8) где Пт~й!Щт~~ 61, Р, (е=1,...,п). (9) г=1 г=1 г =1 г,=~ е„п,+е„(пт1, ...,%), (10) в=1 где е„и е„(п = 1, ..., Х; е = 1, ..., п) .— некоторые вектор-функции От 1 И г)1 г ..., г)„г.
Из равенств (10) находим ) и бг, = ~~г е„,бпв (и = 1, ..., Х) в=1 (11) и и г т~ е,й,+... (пвх1,...,Х); (12) при этом в правых частях формул (12) выделены лишь члены, содер- жащие псевдоускоренил ~г, (е =- 1, ...,п). Величины г, и, и 4, связаны соотношениями (2), (4) и (5). Исключив из этих соотношений величины ди мы получим формулы (10). Величины бг, Бпв и бд, удовлетворяют однородным соотношениям (2'), (4') и (5'), которые отличаются от соотношений (2), (4) и (5) только отсутствием свободных гленов. Поэтому н формулы (11), являющиеся результатом исключения 54, из соотношений (2'), (4') и (5'), получаются из формул (10) заменой г на Бгю гг, на бп, и отбрасыванием свободных членов е .
Величины П, будем называть обобщенн ми силами, соответствующими псевдокоордииагпам и, (е = 1, ..., п). С другой стороны, подставляя в равенства (2) выражения (6) для г)„ мы получаем 64 Гл. й Дифференциальные уравнение движения С помощью равенств (8) и (11) запишем общее уравнение динамики бА — ~ т,г бг =0 (13) в таком виде а / Ю Л (е, — Л.
л..е) л . = ° . »=л (14) Так как бх, дует: совершенно произвольные множители, то отсюда сле- т ге„=П, (в=1,...,п). (15) е=л Введем в рассмотрение «энергию ускорений» лр Т1 = — ~ гй г» П(т, до 7Г»~ х»). и=1 (16) Замечая, что на основании формул (12) дг, е»» = мы уравнения (15) можем записать так: дП дя» = П, (в = 1,..., п). (и=1,...,Х:,; в=1,...,п), (17) (18) Ав,де + Ад = 0 (д = 1, ..., д) (19) л=1 и с и дифференциальными соотношениями (20) образуют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.
Запишем уравнения Аппеля в развернутом виде, для чего в формулу (15) подставим вместо г, выражения (12). Тогда получим ь ир,Я,+(»»)=Пр (р=1,...,п), (21) Уравнения (18) были впервые получены Аппелем и носят название уравнений Аппелл. Эти и = ЗХ вЂ” и — д дифференциальных уравнений совместно с д уравнениями связей 65 бтО. Уравнения Аипеля где Пр Пр (1 г) тге ) Х ир, — — ить(ь, й,) = ~ ~т,е„е,р (р,з = 1,..., а). (22) о=1 Через (**) в уравнениях (21) обозначены члены, не содержащие псевдоускорепий к, (з = 1, ..., и). Можно доказать. что определитель, составленный из коэффициентов ир„не равен тождественно нулю: 11е1 (ир,)",, ~ 0'). (23) Тогда уравнения (21) можно разрешить относительно псевдоускорений Н (1 Г)1 тгр) (и 1 и) (24) бА = ~~1 Чэба, = ~ Я,*бее (25) В этом случае энергию ускорений 1т можно представить в виде функции В(1, г)1,, и „, г)1, ..., Оо, цт, ..., г)п) и уравнения Аппеля принимают вид дь7 дйе — (з=1,...,тг).
(26) В отдельных точках этот определитель может равняться нулю. Эти особые точки исключаются иэ расслютревия. Обоснование неравенства (23) аналогично обоснованию неравенства гтет(о,ь)", 1 ф О иа с.49. С другой стороны, соотноптения (19) и (20) также можно представить в виде, разрешенном относительно д; (т = 1, ..., т) [см. формулы (6)). Таким образом, движение неголономной системы определяется системой и + т дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций дт, ..., д, тгт,..., тг„, причем эти уравнения разрешены относительно производных. Тогда задание на- ЧВЛЬНЫХ ДаННЫХ дт, ..., Г)ю, ттт,..., тГ„ОДНОЗНаЧНО ОПРЕДЕЛЯЕТ ДВИ- женив системы.
Но с помощью этих начальных данных формулами (1) и (6) задаются совместимые со связями произвольное начальное положение и произвольные начальные скорости. Поэтому задание начального положения, системы и начальных скоростей, не противоречащих конечным и дифференциальным связи, однозначно впределяетп движение негвлонолтой систаемы. 3 а м е ч а н и е 1. Если в частном случае в качестве псевдоскоростей взяты и независимых обобщенных скоростей, например вт, ..., Г)„, то для определения соответствующих обобщенных сил Я', ..., Я*„нужно в равенстве (7) выразить бг)„т1, ..., бд,„через бйт,..., био: 66 Гл.
й Дифференциальные уравнения движения Замечание 2. Уравнения Аппеля можно, в частности, применить и к голономной системе. В этом случае все скорости д, будут независимыми, с„г = с„,*. (г = 1, ..., и') и уравнения (26) представляют собой другую запись уравнений Лагранжа второго рода ). Примеры. 1. При помощи уравнений Аппеля определим движение системы, описанной в примере 88 (см.с.26).
Это позволит читателю сопоставить два метода отыскания движения неголономной системы с помощью множителей Лагранжа и с помощью уравнений Аппеля - и убедиться в преимуществах второго. Введем в качестве независимых координат координаты центра стержня х, у и угол р, образованный отрезком МгМг с горизонтальной осью х (рис. 28). Тогда ! хг = х — — сов гр, 2 Уг=У з'и'Р 2 уз = у+ — яп иг.
2 Рис. 28 Уравнение дифференциальной связи в новых координатах принимает вид х у соз р зш ~р Энергия ускорений бг, как легко проверить, выразится следующим образом: (хг+Уг+*з+Уе) =* +У + г (ф +'Р ) 2 4 Введем псевдоскорость л,полагая х = гг сов х, тогда у = гг зш уц гг'=л + — Рф +... бА = П бл+ Ф бгр = -2д бу = -2д яп рбл. Отсюда П = — 2д яп иг, Ф = О. Составиьг уравнения Аппеля дП вЂ” =П, дл дП вЂ” = Ф.
др г) Однако уранвевия Аллеля л псевдокоординатах лрвмевительио к головомкой системе уже дают иные формы уравнений движения. где невыписанные члены не содержат ускорений. Определим обобщенные силы. Для этого напишем 67 б10. Уравнения Аппеля Интегрируя, получаем с(я 1 д — = — й = — — сйпр, Жр Ф о Найдем х и у; я = — сезар+ 7. д а бх 1 1. д 2 7 — = — х = — зг соя 72 = — сов р -~ — сов р, дд2 о о от о бу 1 1 д — = — у = — я юп 22 = — соя 22 я)п р + — я(п 22. оз о Отсюда х = 22+ ( — -~- — соя 22) я1п р -~- б, д /7 д у = — ( — + — соя ~р) соя 72+ е. /7 д 2~~ Подставляя о8+ )2 нместо 22, получаем конечные уравнения движения, со- держащие пять произвольных постоянных; о, )2, 7, б и е: х = (о1ч-Р)-ь ~ — + 2 соя(од+,3)~ я1п(о1~-Д ~-б, у = — ~ — + соя(о1+ о)) соя(о1+ д) +е, 1'7 ~о 2оз 2.
Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой О. Пусть р, д, г проекции угловой скорости оз на главные оси инерции ОР, ОЧ, Ос. Они,как известно, представляют собой линейные комбинации обобщенных скоростей у), д, ез,где 1б, д, р - углы Эйлера (см, с, 39) "). Поэтому мы можем принять р, 21, г за три псевдоскорости. Вычислим анергию ускорений ): ) Выражения для р, д, г мы получаем, проектируя почленво на оси координат вектоРное Равенством = ыо+ьзе+ аж гДе ыо = УЧ ые = д, ы =-яд Мы Здесь используем извеСтное тождество г х (ы х») -~- ы х (» х г) -~-.» х (г х ы) = О; последнее слагаемое в левой части равно нулю, твк квк» =- ы х г.
Невыписанные члены в формуле (27) не содержат углового ускорения е. В данном случае зти уравнения не содержат координат х, у и имеют вид я= — дяшр, 22=0. 68 Гл. В Дифференциальные уравнения движения 2сс = /ъу дт — /(е х г+ сл х ъ) йт — /~(е х г) дт+ + 2 / (е х г)(ы х и) сст+...
= /(е х г)~ снап+ 2е ~(г х (ис х и)) дт+... = = / (е х г) ~ дт + 2е ~св х / г х и дт~ +... (27) Заметим, что е = дисссЖ = бсвссд1 + ис х ис = бсв/й. Здесь дссЖ и й,СЖ означают соответственно дифференцирование в неподвижной системе осей и в системе осей, неизменно связанных с телом ) . Поэтому р, д, г -. проекции углового ускорения е на оси 05, Оп Об. Тогда по аналогии с выражением для кинетической энергии ) 2Т = /(ы х г) с(т = Ар -~-Ву~+ Сг (А, В и С вЂ” моменты инерции относительно главных осей инерции Об, Ос1, Оу) мы можем написать (е х г) дт = Ар~ + Ву~+ Сг~. С другой стороны, кинетический момент С = ( г х ы с(т имеет компоненты Ар, Вд, Сг, Поэтому окончательно получаем следующее выражение для 2П: 2(С = АР У Вуд "; Сб + 2((С вЂ” В)с1гР+ (А — С)гР9 Ц- ( — А)Рут) + ...
С другой стороны, для элементарной работы внешних сил имеем дА = гвсвд1 = г,ерд1 ' Вьвд1 + Всей. Поэтому уравнения Аппеля непосредственно деиот уравнения Эйлера А — + (С вЂ” В)дг = Вс, Ир д1 — + (А — С)ср = 1 ду д1 с с(г — + ( — А)ру = Вс. сМ с) См., пааримерс Лойцанений Л.П и Лурье Адб Курс теоретической механики. — 1954. — Т.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
