1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 16
Текст из файла (страница 16)
770-771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гамильтона Остроградского. б бб. принцип Гамильтона Вычислим вариацию действия И', т. е. дифференциал по вв Здесь мы преобразовали интеграл при помощи интегрирования по частялс, использовав для этого перестановочиость операции варьирования б и операции дифференцирования по времени с(ссй: дд д(д 1 д бс), = б — с),(6, сс) = — — с)с (~, сс) бес = — ~ — с),(У, о) бсс~ = — — бд,. й ' ' дссй ' ' й(до ' ' ~ й Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве. Поэтому при 6 = 1о и при 1 = 11 вариации бс), = О и проинтегрированная часть обращается в нуль.
Из равенства (3) видно, что для прямого пути, т.е. при сб = О, выражение, стоящее под знаком преобразованного интеграла, в силу уравнений Лагранжа, равно нулю. Поэтому для прямого пути бИ' = О. Это и есть математическое выражение принципа Гамильтона. Имеет место и обратное утверждение: если для некоторого пути бИ' = О, то этот путь является прямым.
Действительно, вследствие произвольности вариаций бд, (с = 1, ..., и) (они на концах равны нулю, в остальных же точках пути совершенно произвольны) из условия бИб = О, в силу равенства (3), следуют равенства (2), т.е. уравнения Лагранжа для прямого пути. Поскольку из принципа Гамильтона вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах (и наоборот), то принцип Гамильтона может быть положен в основу динамики гвлвнвмных системс).
Прямые пути, т. е, «истинные» движения при заданной функции А, могут быть охарактеризованы как при помощи дифференщсабсьыых уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариационного принципа Гамильтона. Однако лбе>к>ту дифференциальными Приведенная выше формулировка принципа Гамильтопа предполагает (н случае натуральной системы) существование потенциала сил. Полее общая формулиронка принципа, охватывающая и случай пепотенциальных сил, будет дана ниже (формула (9) иа с. 96). с, Сг бь' — ) и бг — ) > се б,=1 с е г г 1 ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ и | ~ ~ ~ с ~ о | дП дЬ гг дЬ с, —,)бе бг= ) г ( — — — —,)б,,е.
сгс с=1 0 94 Гл. 111. Вариационные принципы уравнениями движения и вариациопными принципами имеется одно принципиальное различие. Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собой момент времени 1, положение системы, скорости и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом.
Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функпионала, выделяющее прямой путь среди других кинематическн возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики. Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация бИ>, где интеграл И' имеет вид (1). В вариацнопиом исчислении уравнения (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи с, б Ь(1, йо с)с) сМ = О.
со Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения, в случае натуральной системы, были получены из общего уравнения динамики ~(Р, — сп г„)бг, =6. Покажем, как принцип Гамильтона может быть непосредственно обоснован с помощью общего уравнения динамики 15). Тогда уравнения Лагранжа сразу получаются из принципа Гамильтона.
Если в выражениях для г г, = г,(С, д,) 1о = 1, ..., Х) вместо д, подставить функции д,(С, о), то г, станет сложной функцией от С и сс Продифференцируелс ее по и, т, е, вычислим вариации бг, = ~~ — ' Бд, 1о = 1, ..., Х). дд, (6) Эти формулы совпадают с формулами (8) на с.
41, определяющими виртуальные перемещения точек голономной системы. Таким образом, вариации радслусов-векторов прсл любом С явля>отел виртуальными перемещениями точек системы. 95 616. Принцип Г миль!пана Рис. 30 !( с( д д — бг, = — — г (Г,о) бо = — г (1,о) бо = бг . Ж ' Ж до ' ' до Поэтому М М Х гп„г„бг, = — У гп„г„бг, — У тп„г„— Жг аГ! =! =! =! бг, = н !г = — ~тг,бг„— ~~ тг бг, Ф =! =1 М вЂ” гп г,бг, — 6Т, (7) Ж где бТ -- вариация кинетической энергии Т = (1!!2) 2",' ! т,гг.
Обозначая по-прежнему через 6А элементарную работу активных сил Р, на виртуальных перемещениях бг, (и = 1,..., Х), мы с помощью преобразования (7) записываем уравнение (5) в виде 6Т+ 6А — — ~ т,г„бг, = О. а! М =! Проинтегрируем обс части этого уравнения по г в пределах от ! = гс до 1 = 1! !' Гк 3 '=" (6Т -!- 6А) Ж вЂ” ~~ тп,г, бг,~ = О. а =1 !=!с Здесь [~,, означает разность между значениями (при 1 = 1! и 1 = 8с) г=г! выражения, стоящего в квадратных скобках. Но при г = гв и 1 = 1! радиус- вектор г, не варьируется, поскольку началыюе и конечное положения системы заранее фиксированы; г (1с,о)=г„ В справедливости этого положения можно убедиться и не прибегая к формуле (б), а исходя только из определения вариации и виртуального перемещения.
Действительно, вариация бг, = (дг,!!до) бп представляет собой бесконечно малое перемещение точки системы Р,, переводящее точку траектории, получающейся при некотором фик- р, г(с! ба) l сированном значении и (для прямого пути о = 0), бг, г в точку смежной траектории, соответствующей значению параметра о + бег (рис,30). При этом обе точки берутсл длл одного и того г!се момента времени 1, так как при дифференцировании по и значение 1 фиксируется. Следовательно бг осуществляет переход из одного возможного положения точки Р в момент времени 1 в другов возможное положение для того же момента 1, т.
е. бг„— виртуальное перемещение точки системы Р,. Таким образом, в общем уравнении динамики (5) мы можем считать бг вариацией радиуса-вектора г . Но тогда можно изменить последовательность выполнения операции !1,!сГг и операции б дифференцирования по ои Гл.111. Вариационнме принципы Поэтому бг, = 0 при г = ге и при г = гг.
Второй член в равенстве (8) равен нулю,и это равенство принимает вид (6Т+ 6А) вге = О. (9) гг Рассмотрим тот случай, когда силы имеют потенциал П = П(й 9,). В этом случае 6А = -6П, где 6П виртуальный дифференциал (вариация) функции П(г, вг) '), и равенство (9) записывается так: (6Т вЂ” 6П)Ж= /61М=О, откуда гг гг ьа~ =16ь,г=о. го го Таким образом, основное уравнение диналгики (5) привело нас к принципу Галгильтона 6И' = О, а отсюда, как было указано вьппе, сразу получаются уравнения Лагранжа г1 дЬ дЬ вЂ” — — — =0 (г=1,...,п). Ж дг[, дд, В случае непотенциальных сил г)г для получения уравнений Лагранжа следует исходить из равенства (9) [вместо равенства (4)[. Применяя к интегралу [," 6Тг1г формулу (3) [с заменой функции Ь функцией Т(г, у„ф)[ и используя выражение для элементарной работы активных сил 6А = 1," г гЕ, 69и мы найДем / 2' (а, + — — —, — ) 69.
Аг = О. г г (10) Отсюда, в силу произвольности величин 69, (г = 1, ..., и), должны быть равны нулю выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла (10), т. е. для прямого пути должны выполняться уравнения Лагранжа Н дТ дТ вЂ” — — — = 1,1, (г = 1, ..., и). (Щ 61 дд, дд, ) То есть 6П = ~,' (дПггдд,) бд,. Выясним, является ли значение действия для прямого пути каи- менъшим по сравнению с окольными путями.
97 Х16. Принцип Г мильтона Рассмотрим в качестве примера движеиие несвободной материальной точки, вынужденной двигатьсл по сфере при отсутствии силового полл (движепие по инерции па сфере). Пусть ъсасса точки т = 1. В сферических координатах (рис. 31) 2 3 Х, = — = — (ф +вш срсд ). п2 2 '3 2 2 Для прямого пути Н дХ дХ дЬ вЂ” — — — = О и —. = солгу д1 дф др д,), (ф циклическая координата), т. е. ср — вш ср сов ср с)сг = О, Ряс. 31 всп ФФ = в1п сро Фо.
Без нарушения общности можем считать, что для пряъшго пути начальная скорость сгд направлена по меридиану (са = сопвФ), т.е. фв =- О; тогда уз = О, р = сопвС и иг = гсгра = сопв1. Таким образом, пряъсой путь представляет собой равномерное движение по дуге большого круга. При этом с, с, Иок Искр = си ид)дс = ив (о иа)сХс+ 2/ са са с, с, 2 + / (и ие) да о ио (и ио) саа оо(оок апр).
2/ са са Длина дуги болыпого круга апр меньше длины о, любой другой кривой на сфере, соединяющей те же точки ЛХо н ЛХс. Поэтому И пр ( Иок. Однако это справедливо липсь тогда, когда опр —— МвМс ( кП. Если опр > кП, то Искр Уже не всегда бУдет меньше И'ок, а наименьшее значение действия И' будет достигаться на дополнительной дуге большого круга, которая в этом случае будет представлять собой кратчайшее расстояние между Ма и Мс. Если будем двигать точку Мс по дуге болыпого круга, увеличивая эту дугу, то критической 98 Гл.Ш. Вариационные принципы точкой М* (до этой точки И'яр будет минимумом, а после перехода точки ЛХг через Мо уже не будет таковым) является точка, диаметрально противоположная точке Мо.
Аналогично обстоит дело и в общем случае. Доказывается ), что если точка ЛХ« выбрана достаточно близко к Мо, то через Мо и Мг проходит один прямой путь. Но при достаточном удалении точки ЛХ1 от Мо через Мо и М«может проходить два прямых пути илн даже целый пучок прямых путей. Такое положение ЛХО точки М«называют сопряженным кинетическим фокусом для ЛХО. Установлено, что действие вдоль прямого пути МОМ«имеет наименьлпее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге МОМ, неп«сопряженного для ЛХо кинетического фокуса ЛХО. 3 17. Вторая форма принципа Гамильтона Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п -р Ц-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п -р Ц-мерное расширенное фгиовое пространство, в наторел« координатами точки являются величины о„р„ (« = 1, ..., и) и а В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки Во(Ч,, ро, го) и В«(д,', р,', 1«), а также всевозможные другие кривые, соединяющие эти точки («окольныеэ пути; см.
рис. 32, и = Ц. Функции о,(г) н р,(г) (« = 1, ..., и), задающие прямой путь, удовлетворяют уравнениям Гамиль- тона ду; дН др, дН вЂ” — — — — («=1,...,п). (Ц дг др,' дг дд, Рис. 32 Ь = ~~', р4* — Н(1, Оо р,). =1 (2) С помощью этой функции канонические уравнения Гамильтона (Ц, как легко видеть, могут быть записаны в форме Лагранжа: д дХ' дЕ' — — — — = О (« = 1, ..., и). (3) дг др, д ВВ" дй — — — — =О, сЫ дд, до, «) См. (3). ) В правую часть равенства (2) величины р, фактически яе входят.
Поэтому функция й* э данном случае от этих величин яе зависит я дй*/др, = О (« = = 1, ..., и). Введем в рассмотрение функцию от Хп+ 1 независимых переменных ь (1 д«р 4 р,), определяемую равенством ) 99 516. Основной интегральный инвариант «/ В'(1, йо р„би р,) «~ имеет стационарное значение «/ «/ б«/'« =/1 (« .«,— и)/ =О. /ь (5) С первого взгляда может показаться, что вторая форма (5) для принципа Гамильтона ничем не отличается от первой бИ' = О, поскольку, согласно формуле (8) на с. /6, выражение Ь* совпадает с функцией Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
