1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В интеграле Пуанкаре Картана (12) время 1 входит на правах координаты вм а роль соответствующего импульса играет величина — Н, т.е. энергия, взятая с противоположным знаком. Это далеко идущая аналогия. Сделаем в интеграле 1 замену переменных, введя новую переменную г, связанную со старыми переменными соотношением (19) г = — Н[1, йн р;). Мы получаем еще тождество аН(~П = УН(дй которое является следствием канонических уряявевяй Гамяльтояа [см.раяеястяо [20]яа с.79]. 106 Гл.
111. Вариацианнме прина;ипи Из этого соотношения выразим РП Р = — К(1, 1ы ". 1, х, Р, "., Р ). Тогда основной интеграл 1 в новых переменных запишется так: (20) 1 = зб1+рзбдз+ +р„бдп — Кбды (21) Таким образом, и в новых переменных интеграл 1 имеет вид интеграла Пуанкаре. Картава, но только теперь роль времени играет переменная ды а вместо прежней энергии Н стоит импульс рм взятый с противоположным знаком, т.е. К. Поэтому, согласно доказанному ранее, в новых переменных движение системы должно описываться следующей гамильтоновой системой дифференциальных уравнений: ~й ОК бф дз' сЬ дК Нд~ д1 ' (1 = 2, ..., и). (22) сЩ дК бФ дру Ир, дК Йе~ дд1 Здесь независимой переменной является д~. Проиллюстрируем это па примере линейного осциллятора.
Для него Н = — + —. Р са йтп 2 откуда Таким образом, в нашем случае х= — ' — 2 Соответствующие канонические уравнения (22) запишутся так: Из второго уравнения х = сонет = — й. При помогци квадратуры находим й Составим канонические уравнения, приняв за независимую переменную е. Для этого положим 107 б19. Гидродипал»ическал интерпретация где и = З»»сутт, а о — произвольная постоянная, или » с и»» -~- а = агсз»п ((' — у, )» 2»» т, е. Г26 1 »» = А е»п(ы»+о) А = 1»вЂ” с у 19. Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инвариапта.
Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях Для конкретной интерпретации понятия об интегральном инварианте рассмотрим движение идеальной жидкости под действием внешних сил с потенциалом П(», х, у, с). Как известно из гидродинамики ~), уравнение движения частицы такой жидкости имеет вид 1 а = — яга»1 П вЂ” — ягас(р, Р й=п+ / — ", .I' Р мы запишем уравнение (Ц в виде а = — ягас» П. Последнее уравяение показывает, что движение частицы жидкости идентично движению материальной точки с массой»п = 1 в потенциальном поле П = П(», х, у., х). Позтому для движения частиц жидкости интегральным инвариантом будет интеграл Пуанкаре — Картана, который в данном случае имеет вид 1 = ~ибх+ сбу+»гбз — Еб», (2) где и, и, »с — компоненты скорости частицы (опи в данном случае (при т = 1) представляют собой импульсы р,), Š— энергия, определяемая формулой Е = — (и + п~ +»п~) + й(», х, у, з).
2 (3) Таким образом, интеграл (2), взятый вдоль произвольно замкнутого контура в семимерном пространстве (», х, у, ц и, и, ш), не меняет своей См., вапрвмер, (12. — С. 48). где а — ускорение частицы, р и р — ее плотность и давление, а потенциал П отнесен к единице массы. Примем, что Р и р связаны функциональным соотношением р = »(р) (зто, в частности, имеет место при изотермическом протекании процесса).
Тогда, положив Гл. Ш. Вариационные принс;ипы величины при произвольном смещении точек контура в соответствии с дви- жением жидкости. Это движение происходит в соответствии с дифферен- циальными уравнениями, которые в силу формулы (1') имеют вид дх — =и, Ж ди дй д1 дх' дг дл ай ду ' (4) Для данного частного случая уравнения (4) представляют собой канонические уравнения Гамильтона. Если задано конкретное движение жидкости, при котором поле скоростей известно, т. е. если известны функции и(1, х, у, г), о(1, х, у, г), и«(л, т, у, г), то интеграл (2) можно рассматривать как интеграл в расширенном координатном пространстве, т. е.
в четырехл<ерном пространстве 1, х, у, г. Значение этого интеграла не меняется, если мы точки контура интегрирования произвольно слшстим вдоль путей движения частиц, т. е. интеграл и(Е, х, у, г) дх+ о(г, х, у, г) ду+ ю1<, х, у, г) дг — Е(с, х, у, г) де (5) с является интегральным инвариантом в расширенном координатном пространстве для движения жидкости с заданным полем скоростей. Если контур интегрирования состоит из одновременных состояний (л = = сове!), то интеграл (2) принимает вид ибх+ обу+ юбе. с !6) / ббубг-~ цбгбх ч- Гбхбу, !7) с !) См., например, )27. — Т.2.
— Гл.22, 44). В гидродинамике этот интеграл называется циркуляцией скорости вдоль контура С. Мы попутно получили теорему Томсона о сохранении циркуляции скорости: величина циркуляции (6) не изменится, если частицы жидкости, образующие контур в момент времени 1л, перевести в положения, занимаемые ими в произвольный другой ма иент времени 8г.
Если частицы жидкости в некоторый момент времени образуют линию, то эти же частицы в другой момент образуют другую линию. Мы будем говорить о перемещающейся и деформирующейся со временел! <жидкой линии!. Аналогично определяется понятие «жидкой поверхностил. Теорема о сохранении циркуляции утверждает, что каждой замкнутой жидкой линии отвечает определенная циркуляция. Заметим, что согласно формуле Стокса ) интеграл (6) записывается в ! виде интеграла по поверхности Я, ограниченной контуром С: 109 619. Гидродинамическая интерпретация где дю ди ди дго до ди (8) ду дз' дг дх ' дх ду — компоненты некоторого вектора Й,называемого вихрем (ротором) скорости или просто вихрем. Интеграл (7) обычно представляют в виде (7') с[х — =и(1,х,у.,г), сЫ вЂ” =о(?,х,у,з)., с[у 61 — = гс(1, х, у, г). (9) й По отношению к интегральным кривым системы (9) интеграл (5) является интегральным инвариантом.
Поставим вопрос, какие другие системы дифференциальных уравнений вида е[х с(у бе М Р(йх,у,г) О(?,х,у,з) К(?,х,у,г) (?(1,х,у,з) наряду с системой (9) обладают тем же свойством, т. е. для каких еще систем интеграл (5) является интегральным инвариантом? Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях систегаы (10) параьгетр р и приравняем, как зто делалось в предыдущем параграфе, отношения (10) произведению х(1, х, у, з) бр, где к — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий зту трубку замкнутый контур С, для которого р, = сопес = с.
Заметим,что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величины р = с. Обозначая буквой Н дифференцирование по р и проводя те же рассуждения, что и на с. 105, мы гюлучим, опираясь на формулы (8); 0 = д ~ и бх + и бр+ иг бз — Е 61 = с[ибх+ с[ибу+ с[игбз — с?Е61 — бидх — бис[у — бис[э+ 6ЕМ = Отсюда, в частности, следует, что в жидком объеме идеальной жидкости вихри не могут нв исчезать, ви появляться [если, конечно, силы имеют потенциал и имеет место соотношение Р = г (Р)].
где Ʉ— проекцин вектора Й па нормаль к поверхности, а бд — элемент площади поверхности Я. Отсюда видно, что интеграл (7) задает величину потока вихря через поверхность. Теорема о сохранении циркуляции скорости переходит в теорему о сохранении потока вихря: каждой ограниченной жидкой поверхности соотвегпствует определенная величина потока вихря через эту поверхность г Движение жидкости с заданным полем скоростей определяется дифференциальными уравнениями 110 Гл.Ш. Вариационные принципы анди дЕ 1 ~ — ь'ау-~- наг-~ ~ — з; — ) а1~ бх -~ )*) Бу-~- [*) Бг -~- ди до дш дЕ -1- ~ — йŠ— — йх — — с)у — — ах+ — а1~ Й, д1 д1 д1 д1 где коэффициенты при бу и бг получаются из коэффициента при йх циклической перестановкой. Заменим ах, ау, аг, а1 знаменателями дробей (10), умноженными на я(й х, у, г) ай Так как при любом выборе функции я (й х, у, г) выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом, то оно должно тождественно равняться нулю.
Поэтому выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю (после замены в них дифференциалов ах, ау, йг, сй пропорциональными величинами Р, Я, В, У), т.е. имеют место равенства: l ди дЕ1 ОВ-Ю+) — + — ) и=О, )д д) сР— 5В. ~- ~ — + — ) П = О, /до дЕ'с 1д1 ду) /дш дЕ'~ ~б1-О. + ~ — + — ) юг=в )д1 ' дг) Соотношение (12) является следствием равенств (11), если 5Г Р О, и равенств (11) и (1'), если У = О.
Равенства (11) совместно с уравнениями (10) определяют все дифференциальные системы, по отношению к которым интеграл (5) является интегральным инварнантом. Среди этих систем будем искать те, для которых У = О, т. е. а1 = О. Тогда из (11) найдем: Р Я Р О и система [10) примет вид ах ау аг аг 7 о Интегральные кривые системы (13) носят название вихревых линий. Таким образом, система ди44еренциальных уравнений вихревых линий лвляетсл единственной системой с а1 = О, по отношению к которой ингпеграл (ог) лвллетсл интегральным инвариантом ). 1 ) Интеграл (5) является интегральным иввариантом н для других систем )например, Лля системы (9)), у которых Ж И' О. 419.
Гидродинал«ическая интерпретация Из этого положения вытекает важное следствие. Возьмем в пространстве (х, у, х, 1) произвольную трубку вихревых линий и два охватывающих ее контура С«и Сэ (рис. 34), В силу инвариант- ности интеграла (5) относительно вихревых лпний ибх+ вбу+ т бе — Ебе = ~ибх+ ибу+ тбе — Е бб с, Зададим произвольно величину т > О и переместим любую точку пространства (х, у, х, 1) в точку (х, у, х, 1+ т) где х, у, х - координаты в момент Г+т той частицы жидкости, которая в момент Г имела координаты х, у, х. При таком сдвиге вдоль траекторий частиц жидкости вихревые линии перейдут в некоторые новые линии, которые мы назовем «перемещенными линиями».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
