1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из инвариантности интеграла Пуанкаре— Картина следует, что и и б Рсббс — Вбб = фб Р, ббц с с о (4) С ребре — Вбб =фС р,ббс б=-! б=! с Со С другой стороны, если в универсальном интегральном инварианте ф 2 ",. Рр бб1б пеРейти к пеРеменным б1бр Р, (б = 1, ..., и) с помощью канонического преобразования (1), то этот интеграл перейдет в некоторый универсальный интегралыбый инвариант первого порядка в 2п-мерном фазовом (!1о р,)-пространстве; по теореме Ли Хуачжуна полученный инвариант может отличаться только постоянным множителем с от ф 2 ', р, об1б.
Поэтому фУ-б.ба =.фт „еб, б=! р=! Счо а (6) Из равенств (4) — (6) следует, что и и С 'ребр; — Вбб = ф С'рсбр, — Ябб~ . бб! б=! с с Если в первом интеграле считать, что переменные дб, ..., ри выражены через переменные дб, ..., р„(при этом контур интегрирования С заменяется контуролб интегрирования С), то равенство !б7) может быть переписано так: и и с рбдб7, — Йй~ — с ~~ р,бб1, — Нб1 =О.
(8) а=! Но С вЂ” совершенно произвольный контур в (2п + 1)-мериен! расширенном фазовом пространстве. Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным диффеРенЦиэлом некотоРой фУнкЦии от 2п+ 1 аРгУментов б1б, Рб, ..., ди, Ри у 2Ч.Канонические преобразования и й Эту функцию нам удобно будет обозначать через — Р(1, уе, р,); тогда ) р,бу1 — ЙЫ = с (~ р,б1)1 — Нб1 — 6Г, ~=.1 (9) Йг — Й = с(Нг — Н). Умножая обе части этого равенства на б8 и вычитая почленно полученное равенство из равенства (9), получаем: и с' п р, б$ — Й1 б1 = с ~ ~ ~р, бд, — Н1 й — бР. ~=1 Е=1 Такигл образом, равенство (9) справедливо для любой функции Нз и соответствующей Н1.
Здесь бг = ~," з ((ОГ)дрл) бд, Ч- (дг)бр,) бр,) т (ОГ)д1) бв По отношению к везависвмым переменным д„р„ц а следовательно, и по отношению к независимым переменным Ен р„1 (1 .— — 1, ..., и). Однако отсюда ве следует, что каноническое преобразование можно определить как преобразование, переводящее одну заданную гамильтонову систему в некоторую другую гамильтонову систему.
Так, например, произвольное неканоническое преобразование ой = д,(дь, рь), р, = р,(СЬ, ра) (1 = 1, ..., и) переводит гамильтонову систему с Н =. О в гамильтонову систему с Й = О. Заметим, что постоянная с в тождестве (9) всегда отлично от нуля, с р О, так как выражение ~„,.' р, бд; — Нб1 не является полным дифференциалом а) и потому пе может быть равным — бЕ. Функцию Е будем называть производящей функцией, а постоявную с " валентностью рассматриваемого канонического преобразования (1).
Каноническое преобразование будем называть унивалентнымч если для него с = 1. Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (1) является существование производящей функции Е и некоторой постоянной с, при которых равенство (9) тождественно выполняется в силу преобразования (1). Замечание. Если преобразование (1) является каноническим, то существуют производящая функция Е и валентность с ~ О такие, что имеет место равенство (9) при любой функции Н и соответствующей Н. Однако если равенство (9) справедливо для одной пары функций Н и Й, то преобразование (1) уже является каноническим з).
Действительно, наряду с Н возьмем произвольную другую функцию Н1 и определим Н, из условия 132 Гя.1У. Канонические преобразования Канонические преобразования иногда называют также контактными преобразованиями. В литературе часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования. Многие авторы ошибочно считают, что этими преобразованиями исчерпываются все преобразования (1), переводящие гамильтоновы системы снова в гамильтоновы.
Этн авторы не замечают произвольного постоянного множителя с., который должен фигурировать в общей формуле для произвольного канонического преобразования. $ 2б. Свободные канонические преобразования Проведем более подробное исследование так называемых свободных канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются дополнительно неравенством д(с)1 ....., е)я) д(91, ..., 1)„) Тогда основное тождество (9) предыдущего параграфа запишется так: п / и ~ре бд, — Й 61 = с ~ ~ р, бд, — Н б1 — 68(1, 91, д,). (2) з=.1 з=1 Приравнивая слева и справа коэффициенты при бум б$ и б1, получим следующие формулы; дд — = ср„ дде дд — = — р, (1=1,...,п), (3) че дд Н = сН+ —. д1 (4) 1) В случае иесвободиого каиоиического преобразования величииы 1, И, рб (з = 1,...,п) связаны некоторыми зависимостями.
ОбЕСПЕЧИВаЮЩИМ НЕЗаВИСИМОСтЬ ВЕЛИЧИН 1, С)1, ..., Г)в, Д1,..., Е)в, которые теперь изогут быть выбраны в качестве основных переменных '). Действительно, это неравенство позволяет из первых п уравнений (1) З 24 вьгразить обобгпенные импульсы р1, ..., р„через 2п+ 1 величин 1, 91, д, (1 =. 1, ...,и) и, следовательно, позволяет представить любую функцию от переъзенных 1, до р, (1 = 1, ..., и) в виде функции от переменных 1, 1)м 1)1 (1 = 1,..., п). В этом случае можно считать, что производящая функция представлена в виде функции Я от этих переменных: у зб. Свободнеье канонические преобразован я 133 Уравнения (3) определяют рассматриваемое каноническое преобра ввание.
Покажем, что они могут быть приведены к виду (1) 9 24. Частные производные ддььдвь (ь = 1, ..., п), стоящие в левых частях первых и уравнений (3), как функции величин вь, ..., дв независимы, потому что в силу формул (3) зависимость ') /дд дЯ П~~ (,дч дй. перешла бы в равенство П(срь, ..., ср„, вь, ..., вп) = О, что возможно лишь при й : =О, так как координаты точки фазового пространства в„р; (ь = 1, ..., и) — независимые величины.
Из независимости производных дЯ/ддь (ь = 1, ..., и), рассматриваемых как функции переменных ь1ь, ..., в, следует, что якобиан этих функций не равен тождественно нулю. Таким образом, для производящей функции Я свободного канонического преобразования должен быть отличен от нуля определитель (5) деб ~ О. Из неравенства (5) следует, что первые и уравнений (3) можно разреьпить относительно вь (ь = 1, ...., и) и таким образом все новые фазовые переменные вы р, (ь = 1, ..., п) выразить через старые переменные вп р; (ь = 1, ...., и). Полученное таким образом преобразование вида (1) будет обратимым, т.
е. для него д(йь, "., р ) д(йь, ..., рп) так как в силу неравенства (5) последние и равенств (3) можно разрешить относительно а, и., следовательно, выразить все в„р, через ь1ь, р; (ь = 1, ..., и). Таким образом, уравнения (3) определяют свобпдипп каноническое гьрьпобрыпвавие с дивной производящий функиаей Я(1, йо вь) и с данной валентностью с у: О. Формулы же (4) устанавливают простую связь между функциями Гамильтона Н и Н. Перебирая различные производящие функции Я, удовлетворяющие услоььиьо (5), и различные валеятности с ф О, мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования ~).
В этой зависимости величины дь, ..., д„рассматриваются как параметры. з) Для несвободных канонических преобразований существуют определяющие формулы, аналогичные (3). Эти формулы будут установлены в 129. 134 Гл.1У. Канонические преобразования Для упивалептных (с = 1) свободных канонических преобразований формулы (3) н (4) принимают более простой вид дЯ вЂ” = — р; (1=1,...,п) дч, дЯ вЂ” Ре~ оЧ (6) дЯ Н =Н+ —. д1 (7) Последнее равенство показывает, что после применения одного и того же свободного унивалептного канонического преобразования к различным гамильтоновым системам во всех случаях разность между Й и Н будет одной и той же (равной да)дб).
Из равенства (4) следует, что Й = сН тогда и только тогда, когда дЯ/д1 =- О, т.е. когда производящая функция Я не зависит явно от й В этом случае в силу равенств (3) время 1 не будет входить явно в формулы канонического преобразования. При таких канонических преобразованиях функция Н существенно не меняется, она умножается только на константу с. Поэтому, если мы желаем получить новую систему с существенно более простой функцией Гамильтона, мы обязательно должны взять свободное каноническое преобразование, содержащее время 1 как параметр. Примеры.
1. На с. 129 были рассмотрены три канонических преобразования: 1) ч,=ачн р,.=брп 2) ч,=ар., р,=;3чп 3) Ч,=р,ейй р,=Ч,с181 (1=1,...,п). Ч=аЧяФ: (аД ае 3 т'- 0). (8) Р=а ч+Ар Подставим правые части равенств (8) в основное тождество (9) на с. 131. Поскольку переменная 1 ие входит в правые части (8), мы и Е будем ис- кать в виде функции, не зависящей от времени 1 явно: Е = с (Ч, р). Тогда основное тождество примет вид (а1ч -~- 61 р) (о бч е- р бр) — ср бч = — бр, или б ( —, ааеч л- — ДЯр ) + а16чбр+ (абе — с)рбч = — бр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
