1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Взятая нами трубка вихревых линий перейдет в трубку перемещенных линий, а контуры С«и Сэ -- в контуры Рг и Рэ (см. рис,34) ') . Так как сдвиг осуществлялся движением частиц жидкости, то при сдвиге интеграл (5) не меняет своего значения: с, и, с» с, но тогда (14) с, сг ибх 4- ибу т тбе — Ебй с (15) Рассматриваемые здесь трубки вихревых линий расположены в четырехмерном пространстве (х, у, «, Е),во иа рве.
34 ось Е ве взебражепа. Рис. 34 Можно считать, что Р«и Рэ — два произвольных контура, охватывающих трубку перемещенных линий. Поэтому равенство (14) выражает инвариантность интеграла (5) по отношению к «перемещенным линиям». При атом вдоль каждой перемещенной линии, как и вдоль вихревой, д1 = О. Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, л«агут обладать только вихревые линии. Значит, перемегценные линии являются вихревыми линиями. При этом время смещения т является произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой. Мы пришли к теореме Гельмгольца, которую можно сформулировать и так: вихревая линия есть жидкая линия. Попутно мы получили,что с каждой вихревой трубкой связана определенная «интенсивностью определяемая иптегралогз 112 Гл.НВ Вариационные принципы Величина этой интенсивности не меняется при движении жидкости. Если будем брать трубку вихревых линий для одного и того же момента времени г (бг = 0), то интенсивность (15) представляет собой циркуляцию скорости вдоль контура С ибх чь обу+ юуж с у 20.
Обобщенные консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, т.е. произвольную (быть может, и ненатуральную) систему, для которой функция Н не зависит явно от времени. Для нее имеет место обобщенный интеграл энергии Н(вг, р;) = и.
Н = Н(й„ 'р,') = Ьо. Тогда основной интегральный инвариант 1 представится в виде п х — 1 г ' ргБцн и=1 (2) поскольку, в силу равенства (1), Н 61 = Ьо бу = О. Этот интеграл аналогичен интегралу сохранения импульса р1 =— = с, который имеет место в случае, когда д1 является циклической координатой, т. е, когда ВН(00, = О. Исходя из аналогии между переменной времени 1 и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью и1ггеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы.
С этой целью рассмотрим обычное (т. е. нерасширенное) 2п-мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины о.„р, (1 = 1, ..., п). Ограничимся рассмогпрением только тех точек фазового пространства, координатны копюрьгх удовлетворяют уравнению (Ц с фиксированным значением постоянной Ьо. Другими словами., мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии 113 2 сб. Обоби1снно-нонссрватионыс системы Теперь разрешим уравнение (1) относительно одного из импульсов, например р11 Р1 =- — К(йм ", Ч, Рг,, Р, Ьо), (3) и полученное выражение подставим вместо р1 в интеграл (2); тогда п У=1(с нь; — кн~. 1'=1 (4) — — — (у =- 2, ..., п). (5) а1р дК йЧ, дЧ, йЧ1 аЧ1 дрз Эти уравнения были полу 1еяы Уиттекером и носят название уравнений Уиттсксра.
Проинтегрировав систему уравнений Уиттекера, мы найдем величины Чб и р. (у = 2, ..., и) как функции от переменной Ч1 и 2п — 2 произвольных постоянных с1, ..., с2„2, кроме того, интегралы уравнений Уиттекера будут содержать произвольную постоянную Ьо, т. е. будут иметь вид Чг Ч21(Ч1, ЬО, с1, ..., с2о 2) Рг 231(Ч1~ Ьо, с1, ..., с2о — 2) (6) (~ =. 2, ..., и). После этого, подставив выражение (6) в формулу (3), найдем анало- гичное выражение для (6') Рг=бг( „Ь, Таким образом определяются все траектории в фазовом пространстве, т. е, геометрическая картина движения.
Зависимость координат от времени 1 мы получим из уравнения Й~1,1сМ = дН)др1 при помощи квадратуры / аЧ1 +его 1; ! Р! (7) при этом в частной производной дН/др1 все переменные выражены через Ч1 с помощью равенств (6) и (6'). Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре— Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины Ч, и р (1 = 2, ..., и), а переменная Ч1 играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см.
3 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2п — 2: Гл. НВ Вариационные принципы Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) люжет быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа: д дР дР— —, — — = 0 (7 = 2, ..., и'), (8) е1ч7 дч,' дчу где Ч' = йц/йЧы а функция Р (аналог функции Лагранжа) связана с функцией К (аналогом функции Гамильтона) равенством ) и Р = Р(йы ", Ч, Че, ", Ч.') = ~ р,Ч,': — К (9) е.=г Обратим внимание на то, что система (8) содержит не и, а п — 1 уравнений второго порядка.
В последней части этого соотношения импульсы р должны быть заменены их выражениями через / иЧэ / йЧп Ч2= ~ ~.. Чп= Чг Ч1 которые могут быть получены из первых и — 1 уравнений (б). Преобразуем выражение для функции Р, исходя из равенств (3) и (9): 1 1 Р= ~РЧЧ, '+Р = —.~РЧе = —. (Т+Н). 7=2 Чг Ч7 ю=1 В случае натуральной, т.
е. обычной, консервативной системы Ь = = Т вЂ” П и Н = Т+ П, следовательно, 1 2Т Р= — (Т,+Н) =— Ч1 Ч1 причем кинетическая энергия Т может быть записана в виде Т: ~ аеь4еЧь: Ч1 С(Чы ° 1 Чп~ Чэ~ ~ Ч )1 (12) ' ьй=1 здесь О(Чы ", Ч, Чз, ", Ч.') = — ~ ~а ьЧ,'Чь (Ч7 =1). (И) г, ь=1 Из равенств (1) и (12) находим ге-и (14) См. равенство (8) па с, 76, у 90. Обобщенно-консервативные системы 115 и получаем для фупкпии Р следующее выражение: Р = —. = 2»ггв(» — в). Й (15) Дифференциальные уравнения (8), в которых функция Р имеет вид (15) и которые, таким образом, относятся к натуральньш|, т.е.
обычным, консервативным системам, носят название уравнений Якоби '). Интегрируя уравнения Якоби, мы определяем все траектории в координатном пространстве (с)1, ..., д„) (17) бИ'* = О, 118) где И'* = Рдд1 (19) действие пв Лагранжу. Здесь «допускаются к соревнованиюв все движения Рис. 35 обобщенно-консервативной системы, которые переводят систему из заданного начального положения д," в заданное конечное положение ц1 (рис.35). При этом моменты времени те и гт не фиксируются и при переходе от прямого пути к окольш|м могут варьироваться ) . Эти уравнения были выведены немецким математиком К.
Якоби и содержатся в его классических «Лекциях по динамике», изданных в 188бг (русский перевод ГОНТИ, 1936), В случае ненатуральной обобщенно-консервативной системы функция Р, входящая в уравнения Якоби, определяется формулой (9). Равенство (18) устанавливает, что для прямого пути действие по Лагранжу имеет стационарное значение. Вопрос о том, когда действие И" имеет для прямого пути наимеш шее значение, решается с привлечением кинетических фокусов совершенно так же, как и для принципа Гамильтона.
Более подробно об этом см. [25, 1 218!. Переходим теперь к установлению принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа. Поскольку уравнения (8) являются уравнениями типа Лагранжа, то из них вытекает вариационный принпип, согласно которому «1 для прямого пути 116 Гл. Ш. Вариационные прина,ипы Выражая в интеграле (10) функцию Р с помощью равенства (10), находим связь между действием по Лагранжу И'* и действием по Гамильтону И': с, И = (1+ 0)Ю = аду+ 6 сН = Ис+ 6(1с — Хо) (20) со со со В случае обычной (натуральной) консервативной системы можно воспользоваться выражением (11) и представить действие по Лагран- жу в виде 1 и * .,'а=~~ ...с,. о о с, а'" = 21' го1= 1' г с о а=с о (21) Но при этом уже имеется в виду, что ак соревнованию» допускаются только те движения системы, при которых полная энергия системы имеет одно и то же значение Ь (изоэнергетичность!).
Полученное выражение для И" показывает, что действие ио Лагранжу И" равно работе векторов количеств движения точек системы на соотвегпствующем перемещении системы. Вариационный принцип (18) носит название принципа наименьшего действ л Мопертюи — Лагранжа с). В качестве примера рассмотрим сравнение оптического принципа Ферма с принципом наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа ).
Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы время пробега (22) о было минимальным. Введя в каждой точке среды коэффициент преломления и = с,со — отношение скорости света с в пустоте к скорости о в данной среде, — мы преобразуем зту формулу к виду 1 = — ус и де, о где п . функция точки среды.
Поэтому принцип Ферма запишется так; о (23) Впервые в несколько туманной формулировке этот принцип был сформулпроаан Мопертюи а 1747г. Строгая формулировка и обоспоааппе принципа были даны Лагранжем а 1760 г. г) См.,например, (23. — С.93-94). 1 21.движении по инерции С другой стороны, для одной материальной точки с массой т принцип Мопертюи- Лагранжа дает 1поскольку 111'2)тог + П = 6) д / пло йв = лгт 6 /,( 2(Ь вЂ” П) йв = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
