1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

У. Устойчивость равновесия и движения Пусть по-прежнему в положении равновесия дз=.. =д =0 и П(0,...,0)=0, Напишем разложение потенциальной энергии в ряд по степеням координат («отклоненийь): п = и., (д„..., д.) + и „(д,...., д.) + ..

(И (дм ..., д„) ~ О, > 2), Т = (1/2) ~ ~а,ьд,дь , ь=! разложим коэффициенты а,ь(дз, ..., д„) в ряд по степеням координат и обозначим через а,„снободпые члены (т. е. значения функций а,ь(дз,..., д ) о при дз = ... = д„= О). Тогда, полагая Те = (172) 2 ", „, ае„д,ды будем имЕть Т = То + (*), П = Пэ + (*); здесь и далее через (*) обозначаем сук«му членов, имеющих более высокий порядок малости относительно координат и скоростей, чем выписанные ранее члены. Так как То — положительно определенная квадратичная форлза с постоянными коэффициентами, то при помощи неособенного линейного преобразования переменных можно одновременно принести две квадратичные формы То и Пг к сумме квадратов, после чего разложение для Т и П в новых переменных Вз, ..., В„примет вида) т = —, ~ ~' в,'.

-г (*), 1 п = †, 2 л,в„ 'й (.). 1 (2) Поскольку квадратичная форма Пг принимает некоторые отрицательные значения, то, по крайней мере, одно Ль ( О. В координатах Вь уравнения Лагранжа запипзутся так: В = — Л В.+(*) (1«=1,...,п). То есть т = 2 и Пг — квадратичная форма, принимающая отрицательные значения (быть может, наряду с положительными). ) Коордянатьз Вз, ..., В„носят название нормалььнх иля главных координат. Более подробно опя будут рассъ|отреяы в 141.

где Пь(дз,..., д ) "-однородная функция к'-зй степени (к = т, т+ 1, ... ), а наинизшая из степеней членов, фактически входящих в разложение, т зэ 2, так как в положении равновесия все (ди/дд,)о = О. Теорема Ляпунова 1. Если потенциальная энергия П(дз,..., д„) консерва«пивной системы в положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно усмотреть иэ ленов второй степени Пг(дз, ..., д„) в разложении (Ц ), зпо данное положение равновесия неустойчиво.

Доказательство. В выражении для кинетической энергии 173 9 54. Признаки неустойчивости рассмотрим вспомогательную квадратичную форму р 2 1 =--~еь~(Ль-,Ль+ — )Вь+ 2 2) ь=г + д(1 — Л,)вьв, + (1+ Л, + — ) Вь], (4) р'л . 2) где еь = 1 при Ль > 0 и еь = — 1 при Ль < 0 (й = 1, ..., и), а число р > О. Непосредственно проверяется,что в силу уравнений (3)и равенства (4) при движении системы — (е Я~)Г) = е о~ р~ еь ~ль-1- — ~ (Во+ Вь) +(*) . (5) Не нарушая общности, будем считать, что Л1 < 0 и что Лг — наибольшее число из отрицательных Ль.

Положительное число р выберем так, чтобы одновременно выполнялись неравенства л + — < о, л', + л + — > о. д' 2, и 4 2 (б) Из первого неравенства следует, что сумма в правой части равенства (5) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Но тогда при достаточно малых (по абсолютной величине) Вь и Вь ~В ~< Л, ~В ~<11 (В=1,...,и) (7) правая часть равенства (5) будет всегда положительна. т.е. — (е о Ъ') > О, еЫ откуда е о 1 > е и о)" или 1; > 55 яо-м1 (8) ) Доказательства читатель может найти е следующих книгах: Ляпунов А.М. Общая задача сб устойчивости движения.

— 1935. — 516 и 25; 'Хетаев Н.Г. Устойчивость движения. — 1965. — 5 17; Малкин Н.Г. Теория устойчивости движения.— 19о2. — 5 14 и 17. Положим все начальные значения Вь, Вь (1с = 1, ..., и) равными нус 'о лю, за исключением Ве, которое возьмем по людулю меныпнм зл. Тогда, используя выражение (4) и второе неравенство (6), находим Ис > О. Но при етом движение обязательно выйдет за пределы окрестности (7), как бы мал ни был ~В~~, так как в противном случае из неравенства (8) следовало бы, что 1пп И = оо, а квадратичная форма И в окрестности (7) ограничена.

Теорема доказана. В случае, когда в разложении (Ц т > 2, можно применять следующие две теоремы, которые приведем без доказательства'). 174 Гл. И Устойчивость равновесия и дви.женил Теорема Ляпунова П. Если потенциальнаг энергия П консервативной системы при дг = ... = д„= О имеет строгий максимум и этв обстоятельство может быть определено, исходя из членов наин зтей степени П (дм ..., д„) (т > 2) в разложении (Ц ), тв положение д1 =... ... = д„= О лвллетсл неустойчивым положением равновесия системы. Теорема Четаева.

Если потенциальная энерг л П консервативной системы лвллетсл однородной функцией отклонений дм ..., д„и в положении равновесия д~ = ... = д„= О не имеет минимума, то этв положение равновес л неустойчиво. Примеры. 1. Пусть П = А(1 — соз од); и = 1. Функция П в точках дгь = 2вл/о имеет строгие минимумы, а в точках дгь г = (2в — Цх/о строгие максимумы (й = О, х1, х2, ...). При этом последнее обстоятельство следует из вида члена наинизшего порядка в разложении по степеням отклонений г П = — — (д — ды — 1) м 2 Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкам дгг соответствуют устойчивые, а точкам дгг г — неустойчивые положения равновесия.

2. П = Адг... д„. Из теоремы Четаева следует, что положение дг = ... ... = д„= О является неустойчивым положением равновесия. й 35. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Днссипативные системы Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотичсски устойчивым, если опо устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени 1 стремятся к нулю, т.е. если существует такое число бо > О, чгпо дг(г) = О~ )пп дг(С) = О ($ = 1,, и) (1) всякий раз, когда удовлетворяются неравенства !дг~ < бе~ ~д, ~ < бе (г 1, ..., и).

При геометрической интерпретации (рис.44) зто означает, что в пространстве состояний (дп д,) все траектории, начинающиеся в бе-окрестности начала координат О, асимптотическн приближаются (при 1 -э сю) к точке О. В рассмотренных на с. 166 167 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым. ) То есть в некоторой окрестности начала координат (исключгя само начало) всегда П, (ди ..., д ) < О. Это возможно только пря четном т. у" Зй. Асимптотическая устойчивость 175 2 П = П(6ь), Щ = 1,);,(уры уй) (2) (г=1, ..., и). В этом случае время 1 не входит явно в Рис.

44 уравнения Лагранжа, которые могут быть записаны в следующем виде (разрешенном относительно обобщенных ускорений) (см. 9 7, с. 52): в, = С,(уы дй) (1 = 1, ..., и). В рассматриваемом случае полная энергия Е склерономной системы не содержит явно времени: Е = Е(вы вь). (4) Вычисляя ее полную производную по времени при движении системы, находим: НЕ гг дЕ, дŠ— — У'. ( — в -.'- —.

о,) — е'(«, «Аг с(1 ч (г дде " две (5) Таким образом, в каждой точке пространства состояний (вго вь) пе только полная энергия, но и ее полная производная по времени имеют определенные значения. Если силы сГ, (1 = 1, ..., и) являются диссипативными (см. 98), то при движении системы НЕ/пс < О, т, е, функция Е'(ды дь) в рассматриваемой области пространства состояний принимает лишь неположительные значения. В случае определенно-диссипативной системы (см.

98) дЕ/й Е'(6„, 6,) обращается в нуль только в тех точках пространства состояний, где все д, = О, 1 = 1, ..., и, Будем предполагать, что положение равновесия системы является изолированным, т.е. в его окрестности нет других положений равновесия ). Тогда имеет место Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П с лерономной определенно-диссипативной На зто обстоятельство не было обращена внимания в первом издании книги, и теорема об асимптотической устойчивости в той форме, как она была там сформулирована, неверна (смз Гантмахер Ф.Р. Зм«ечание ио книге «Лекции по аналитической механике», Физьгатгиз, Москва, 1960,7 Прикл. матем. и мех.

1962. Т. 26. Выл. 2). Мы будем рассматривать склерономные системы, находящиеся под воздействием потенциальных снл — дП/дуг и непотенцнальных сил «г, (1 = 1, ..., и'), и будем предполагать, что потенциальная энергия П и непотенциальные силы 1,1, не зависят явно от времени: 176 Гл. У. Устойчивость равновесия и движения системы в яеквтврвм положении равновесия имеет строгий минимум и эп1в положение равновесия яв яется изолированным, тв положение равновесия асимпп1вп1ически устойчиво.

Доказательство. Пу.сть снова в положении равновесия в1 — -вз= =-в„=ОиП(О)=-0. Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, выберем в пространстве состояний е-окрестность начала координат О, в которой энергия Е положительна Е(ц„с)1) > 0 (6) во всех точках, отличных от О, н в которой пет состояний равновесия, отличных от О.

Характеристики

Список файлов лекций