1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (826912), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Так как, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия в1 =... = ал = 0 устойчиво, для любого в ) 0 можно указать в1е) ) 0 такое, что все движения протекают внутри в-окрестности точки О, если начальная точка выбрана в б-окрестности (рис.45). В качестве бе-окрестности возьмем окрестность, в которой выполняется условне (8) з33 (бе < б).
Рассмотрим какое-либо из движений 11111) (1 = 1, ..., и), начинающихся в бс-окрестности. Поскольку при движении энергия Е убывает, то1) 11Ш Е(1) =Е >О, 1ч со причем Е(1) > Е, (1 > 1е). Допустим Рис. 45 сначала, что Е, ф О, т.е. что Е, > О, и рассмотрим последовательность значений времени 1, -1 оо и последовательности значений фазовых координат с1; =- дс(гв), 1), =- д,1гв), 1 = 1, ..., п. Так как вся траектория лежит в в-окрестности, то при всех з и 1 выполняются неравенства ~д,"~<в, ~д," < .
В силу леммы Больцано Вейерштрасса из бесконечных ограниченных последовательностей д~'~ и 1)1'~ можно выбрать сходящиеся подпоследовательностн в,. и 1), Пусть (7) Ь вЂ” 1 ос Ь вЂ” 1 ос Этот предел сугпествует в силу того, что ЕО) — непрерывная вюнотонно убывающая неотрицательная фуниция. 177 у" Зб. Асимптотическая устойчивость при этом (д,*! < е, (с),') < е., т = 1, ..., и. Но тогда, в силу непрерывности Е(т), Е(д;', дг) = 1пп Е(ц~ ~, д( ~) = Е, > О. По предположению точка (с7,*., дг) не совпадает с началом координат, где Е = О. Примем точку (д,'., дг), т = 1, ..., и, за начальную точку движения при 1 = (о.
Так как эта точка не совпадает с точкой О, т.е. не является положением равновесия, то прн движении системы хотя бы одна из обобщенных скоростей д, будет отлична от нуля и потому НЕ,(аь' < О. Но тогда при некотором ( = (й будет выполняться неравенство Е < Е,„,. Рассмотрим далее движение системы, начинающееся при ( = йо из (й) .(й) точки (уС,(),, ). В силу (7) значения д, и у, при достаточно больших (с будут сколь угодно близки к значениям д,* и (),' соответственно. Следовательно, при достаточно болыпих (с будут сколь угодно близки и значения фазовых координат при ( = Х1 у движений, начинающихся при ( = Хо из начальных точек (д, ', д, ) и (((,, д,*) (репсения систелс (й) .(й) дифференциальных уравнений являются непрерывными функциями начальных данных). Поэтому для движения, начавшегося при 1 = (й) .(й1 —. 1о из точки ((( ~ и ()(, при 1 = т1 будет выполняться неравенство Е((т) < Е „, так как полная энергия Е представляет собой непрерывную функцию фазовых координат.
Но в силу единственности решений уравнений Лагранжа, состояние в момент ( = (1 системы, вышедшей (й( .(й) при ( = (в из начальной точки (д(, д( ~), т = 1, ..., п, совпадает ) с состоянием в момент 1й + 11 системы., вышедшей при г =- го из на(о( .(о1 чальной точки (д,, д, ), т = 1, ..., и; поэтому интересующее нас значение энергии Е(1й +11 ) должно удовлетворять неравенству Е((й +1г) < Е а это невозможно, так как Е(1) > Е„при любом 1 > св. Итак, мы пришли к противоречию, допустив, что Е ф О, следовательно, Е =Ои 11шЕ(г)=О.
(8) Е-э х Так как, в силу неравенства (6), равенство Е = О имеет место только в точке О, то из равенства (8) вытекает, что при 1 — > оо точка, Так как в уравнения движения (3) время Г явно не входит, то выбор начала (о) .(о) отсчета времени не играет роли. Поэтому, если вместо д, , д, эа начальное со(в( .(й) стояние принять д~ ~, д(, ( = Ц, п, то в дал1тежпем система буде г проходить те же состоянии, что и в исходном движении, по в иные моменты времеви. 178 Гл.
К Устойчивость равновесия и дви.женил изображающая систему в пространстве состояний, стремится к началу координат, т.е. имеют место соотношения (Ц. Теорема доказана. В примере 3 на с. 1бб Я = (1/2)гпх~ + (1/2)ох~ и 6Е Ж вЂ” = тхх'+ схх = (тх+ сх)х = — 21"х < О, поскольку У > О. Система определенно-диссипативпая, и положение равновесия является изолированным, что следует из уравнения движения при подстановке решения х = солги В силу теоремы положение равновесия асимптотически устойчиво. Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в 2 46. Ляпунов доказал теорему, которая обобщает теорему Лагранжа. Он обратил внимание на то, что пра доказательстве теоремы Лагранжа можно вместо энергии Е взять любую непрерывную (с непрерывными частными производными первого порядка) грункцию И(ую г)г), имеющУю в состомнии Равновес Я стРогий минимУм и не возрастающую при любом движении системы.
Вычислим производную по времени от функции г', использовав при этом уравнения движения (3): сЛ' ггдИ . др — =К( — г.+ —.оггг))=гЗь,г) (г) Ж, 1,дд, ' дб, В частносги, из этой формулы следует, что в начале координат О пространства состояний функции Г обращается в нуль, так как точка О соответствует состоянию равновесия, в кагором все у, = О и все ц', = С, = О.
Если функция И не возрастает при любом движении, то а1г1'д1 = Г(ды уь) < О. В этом случае функция 1г' в состоянии равновесия О имеет максимум. Если же этот максимум строгий, то в окрестности точки О (за исключением самой точки О) )г' < О и при движении системы в пределах этой окрестности функция )' строго убывает.
Теперь можно почти дословно повторить доказательство теоремы Лагранжа, используя вместо Е функпию )г. В случае асимптотической устойчивости (например, для диссипативной системы) доказательство будет даже более простым, если потребовать, чтобы производная д'г'/д1 имела в положении равновесия строгий экстремум прогивоположного типа по отношению к экстремуму функции )г ) . При доказательстве теоремы об устойчивости дигсипатввной системы производеая агдас це имела в положении равновесия строгого максимума. В связи с этим нам пришлось специально оговорить, что положение равновесия является изодироцапцыы.
г Ж условн я устойчивость Заметим еще, что при формулировке критерия устойчивости можно поменять местами слова «минимум» и «максимум», так как замена функции Ъ' па функцию — Ъ' возвращает нас к прежней формулировке. Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему; Теорема. Если дапо положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием сил, не зависящих явно от времени, и существует непрерывная вместе с чащпными производными первого порядка функция Ъ'(дю г)й), имеющая в данном состоинии равновесия строгий экстремум, в гао время как производная Г от, Ъ" по времени (вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом же состоянии экстремум пропщвоположного пшпа, н»о рассматриваемое положение равновесия устойчиво.
Если при эпюм экстпремум производной такоюе является строгим, то полоисение равновесия асимптотически устойчиво. Функцию Ъ'(ды 4), о которой идет речь в теореме, принято называть функцией Ляпунова. й 36. 'Условная устойчивость. Общая постановка вопроса.
Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова В неравенствах (1) и (2) па с. 166, определявших устойчивость положения равновесия, фигурировали все отклонения д, и все обобщенные скорости ог. Однако во многих вопросах мы встречаемся с условной устойчивостпью, когда указанные неравенства выполняются для некоторых из 2п величин ом ..., д„, вм ..., д„нли, в более общей постановке, дня некоторых функций хы ..., х от этих величин: х, = ~,(дг, да) (» = 1, ..., т). (1) Прн этом предполагается, что все функции (1) обращаются в пуль дь =. О, оь =- 0 (асях 1, ..., и), т. е.
1,(0, ..., 0) = О, и удовлетворяют автономной ) системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ) дх, д1 — * = Х,(х,......, хш, 1) (г' =- 1....., т), (2) где Х;(х„..., х, 1) (1 = 1, ..., т) непрерывные функции в области ~х,~ <,Ь, С > Со (» = 1, ..., т) (Со — фиксированный начальный момент времени). ~) См.
примечание к с. ах При исследовании условной устойчивости склерономных систем функции Х, (г .=. 1,, т) не зависят явно от С Зйы вписали» в качестве аргумента в правых частях, имея в виду несклерономные системы и дальнейшие обобщения. 180 Гл. У. Устойчивость равновесия и двиохенил Состоянию равновесия отвечает нулевое решение х,=О (1.=1,...,т) сисгемы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию Х (О, ..., О, г) гн О (! = 1, ..., т).
Н) С математической точки зрения речь идет об устойчивости пулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем эта устойчивость определяется так; для любого е > 0 существует такое б =- б(е) > О, что при любом й > 1о ~х~(1)~ С е (1 .=- 1,..., т), (5) коль скоро (6) хс(10)~ С б (ь =- 1~ ° ~ т). Для геометрической интерпретации неравенств (5) и (6) используются е- и б-окрестности начала координат в т-мерном пространстве (оц,..., х„,). В случае асимптотической устойчивости дополнительно требуется существование такого бо > О,что !пп х,!1) = 0 (г = 1, ..., т), (7) если только ~х,(со)~ ( бо (г = 1, ..., т). (8) Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная!), то н качестве хы ..., х можно взять величины Ом ..., Оо, чы, Чн или ды ..., Он, рм ..., р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
